- 71 名前：１３２人目の素数さん [2022/05/24(火) 21:23:36.76 ID:CuQTUJu7.net]
- >>66
1/a[n]=b[n]と置くと b[1]=1 b[n+1]=b[n]n!+1
b[n+1]/b[n]=n!+1/b[n] このときもし1/b[n]を無視できれば
b[n+1]/b[n]=n! だからb[n]=b[1]Π[k=1,n-1]k!=Π[k=1,n-1]k!
となるがこのΠ[k=1,n-1]k!を簡単にn?とする
(n+1)?/n?=n! 2?=1 さらにb[1]=1となるよう1?=1とする
b[n]をc[n]n?と置くと b[n+1]-b[n]n!=1 における左辺は
c[n+1](n+1)-c[n]n?n!=(n+1)?(c[n+1]-c[n]) だから c[n+1]-c[n]=1/(n+1)?
ゆえにc[n]-c[1]=Σ[k=1,n-1]1/(k+1)?
そして b[1]=c[1]1? より c[1]=1 だから c[n]=1+Σ[k=2,n]1/k?
よってb[n]=c[n]n?=(1+Σ[k=2,n]1/k?)n? だから
a[n]=1/Π[k=1,n-1]k!/(1+Σ[k=2,n]1/Π[m=1,k-1]m!)
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