- 370 名前：１３２人目の素数さん [2022/06/16(木) 02:07:03.15 ID:SWAjn0BI.net]
- (ED)⇒(PID) の証明って、 A⊂R を R の任意のイデアルとするとイデアルの性質より、0∈A である。 (i) A={0} のときは明らか。 (ii) A≠{0} のとき、 0 ではない A の元をとることができ、特に元 m∈A を ϕ(m) が最小となるようにとる。ここでPIDの性質より、任意の a∈A に対してa=mq+r；r=0 または ϕ(r)<ϕ(m) なる q,r∈R が一意的に存在し、a∈A,mq∈A より、r=a−mq∈A である。ϕ(m)の最小性よりr=0であるから任意のa∈Aに対して q∈R が存在して a=mq が成り立つからA⊂mR である。また、m∈A より、任意の q∈R に対して mq∈A であるから、mR⊂A である。ゆえにA=mRが言え、(ED)⇒(PID) が示せた。であってる？
