- 934 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/11/02(火) 18:10:52.97 ID:W8uEDlcI.net]
- ■補題3
Aを極大元を持たない順序集合とすれば
φ:A→Aで、任意のx∈Aについて
φ(x)>xとなるものが存在する
（証明）
Aの全ての空でない部分集合からなる集合系をMとする
選出公理によって、Mで定義された写像Φで
Mの全ての元mに対しΦ(m)∈mとなるものが存在する
Aは極大元を持たないと仮定されているから
x∈Aに対して{y|y∈A,y>x}=m_xとおけば、
どのx∈Aに対してもm_x≠{},すなわちm_x∈M
そこで、任意のx∈Aに対し
φ(x)=Φ(m_x)
としてφ:A→Aを定義すれば、
φ(x)∈m_xであるから、φ(x)>xとなる
