- 252 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/10/14(木) 19:18:41.69 ID:mdAX1Bxg.net]
- 232を踏まえて
>>221
>さて、上記 Neumann constructionの自然数の集合Nは、
>{}のネストの深さは可算無限（非有限）だ
この文章に誤解が潜んでいる
1.もし、Nの{}のネストの深さに上限がない、という意味なら正しい
つまり任意の自然数nについて、nよりも深い{}のネストの深さを持つNの要素が存在する
(例えばn+1)
2.しかし、Nのある元がmが存在して、その{}のネストの深さがいかなる自然数nよりも深い、
という意味で、ネストが無限だ、といっているのなら誤りである
なぜなら、Nのいかなる元も、そのネストの深さは有限であるから
>では問う
>{}のネストの深さが可算無限（非有限）の集合が、あってはいけないのか？
繰り返すが
1.の意味ならOKだが、
2.の意味ならNG
>では、なぜ可算無限重シングルトンはダメというのか？
シングルトン、すなわち要素が1つであるから
その唯一の要素の{}のネストの深さがいかなる自然数nよりも深い
ということになるが、それは正則性公理に反する
Nの場合、それぞれの要素の{}のネストの深さは有限である
しかし、要素は無限にあって、最大の{}のネストの深さを持つ元はない
したがってNの{}のネストの深さに上限がないにもかかわらず
正則性公理に反しない
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