- 1 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/17(木) 20:18:50.48 ID:lnjH0V31.net]
- さあ、今日も１日がんばろう★☆
前スレ
分からない問題はここに書いてね 467
rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1619884204/
(使用済です: 478)
数学@5ch掲示板用
☆掲示板での数学記号の書き方例と一般的な記号の使用例
mathmathmath.dotera.net/
☆激しくｶﾞｲｼｭﾂ問題
web.archive.org/web/20181107033930/
www.geocities.co.jp/CollegeLife-Club/7442/math/index.htm
- 12 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/18(金) 09:08:43.30 ID:WnFSc8Xp.net]
- >>5
期待値の算出法でも投稿すればいいのに。
定義通りに計算すれば出てくる。
- 13 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/18(金) 12:30:38.37 ID:eh1zlDVL.net]
- s,t,p,qは実数の定数で、s≦t<0≦p≦qとする。
xy平面上の放物線C:y=x^2+ax+bがx軸のs≦x≦tの部分とただ一つの点で交わり、同様にp≦x≦qの部分とただ一つの点で交わるという。
(1)実数a,bの満たす関係式を求めよ。
(2)a,bが(1)の条件を満たしながら動くとき、Cが通る領域をDとする。Dと直線y=t(-∞<t<∞)の交線の端点の座標をs,t,p,qで表せ。ただし交線が2つ以上の線分に分かれる場合、各線分の端点すべてについて述べること。
- 14 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/18(金) 12:31:33.08 ID:eh1zlDVL.net]
- >>12
s≦t≦0≦p≦qの間違いです、すいません
- 15 名前：１３２人目の素数さん [2021/06/18(金) 13:16:10.99 ID:tYTboDZs.net]
- 表に 5 または 10、裏に 2 または 3 の数字が書いてあるカードが 13 枚ある。
その内訳は、以下のようになっているものとする。
表に 5 が書いてあるカードの枚数 = 6
表に 10 が書いてあるカードの枚数 = 7
裏に 2 が書いてあるカードの枚数 = 9
裏に 3 が書いてあるカードの枚数 = 4
カードを1枚引くときの、表の数字を X とし、裏の数字を Y とする。
E(X + Y) を求めよ。
E(X + Y) = E(X) + E(Y) が成り立つ。
この式を用いて、計算すればよい。
表に 5 が書いてあり、裏に 2 が書いてあるカードの数、
表に 5 が書いてあり、裏に 3 が書いてあるカードの数、
表に 10 が書いてあり、裏に 2 が書いてあるカードの数、
表に 10 が書いてあり、裏に 3 が書いてあるカードの数。
これらが分かっていないにもかかわらず、 X + Y の平均が求まるのって不思議に感じるのですが、不思議に感じるのは正しい感覚ですか？
- 16 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/18(金) 13:41:29.79 ID:1TEFPw6W.net]
- >>14
> 不思議に感じるのは正しい感覚ですか？
逆に聞くけどさ、正しい感覚への憧れがあるの？もっと普通になりたいと思うの？
だったら回線切って、いろんなところに出向いて店員さんとでもいいから会話した方がいいぞ
- 17 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/18(金) 14:10:02.36 ID:Xfezzw6f.net]
- 「期待値の線型性」にちょっとした驚きがあることは自然なことだと思うな
- 18 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/18(金) 14:11:46.65 ID:gy72L7Rq.net]
- マルチしてたのかよ
- 19 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/18(金) 14:30:09.24 ID:mWUH7RNm.net]
- >>11
マルチポストするな尿瓶ジジイが。
- 20 名前：１３２人目の素数さん [2021/06/18(金) 14:30:38.67 ID:tYTboDZs.net]
- >>16
やはり不思議ですよね。
- 21 名前：１３２人目の素数さん [2021/06/18(金) 15:27:35.18 ID:M1IYKoOJ.net]
- 不思議に思う事が「正しい感覚」かどうか尋ねられても答えようがないよね
>>16の言う「自然な感覚」ならば理解できるけど
- 22 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/18(金) 16:23:05.44 ID:jJtCPzqc.net]
- >>12
(1)
aa - 4b ≧ 0, (実根をもつ)
t ≦ -a/2 ≦ p, (軸のx座標)
s^2 + as + b ≧ 0,
t^2 + at + b ≦ 0,
p^2 + ap + b ≦ 0,
q^2 + aq + b ≧ 0,
- 23 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/18(金) 17:47:30.36 ID:lTQnYJ8E.net]
- 時限爆弾が100個送られてきた。
いずれも60分以内に爆発することは判明しているが、それ以外に情報がない。
爆発までの時間を一様分布と想定する。
爆弾が到着してから10分以内に爆発する爆弾の数の95%信頼区間を有効数字３桁で求めよ。
- 24 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/18(金) 19:01:45.40 ID:NUaNBqw+.net]
- >>22
nCr(a,b)の定義を述べ、以下の（1）～（3）を計算せよ。
定義に基づくと計算不可能である場合は、計算不可能と記せ。
（1）4C2(8,3)
（2）nCr(7,2)
（3）nC1(2a,a)
- 25 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/18(金) 19:16:13.28 ID:N9mseVWv.net]
- >>14
表裏のカードの配分が決まってないから独立としか言いようがないわな
逆に決まってたら独立じゃない
- 26 名前：１３２人目の素数さん [2021/06/18(金) 20:18:20.61 ID:wkvb3cRD.net]
- これを証明したいのですが、どのように証明すればいいでしょうか
https://i.imgur.com/2LUN8VF.jpg
- 27 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/18(金) 21:04:46.99 ID:jJtCPzqc.net]
- 〔系 A.1〕
n個の "互いに独立" な正規確率変数 X_1, X_2, …, X_n が "同一
の" 正規分布 N(μ,σ^2) に従う時、加重和 Σ[i=1,n] (c_i X_i) は
正規分布 N(M,S^2) に従う。ここに
M = μΣ[i=1,n] (c_i)^2, S^2 ＝ σ^2 Σ[i=1,n] (c_i)^2.
- 28 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/18(金) 21:16:42.79 ID:jJtCPzqc.net]
- n=2 の場合から μ と σ^2 の加成性が分かる。
n>2 は nについての帰納法で出る。
n=2 のとき
軸の回転
Y1 = (c1 X1 + c2 X2)/c,
Y2 = (-c2 X1 + c1 Y2)/c
c = √{(c1)^2 + (c2)^2},
これは直交変換だから
f(X1)f(X2) = f(Y1)f(Y2),
Y2で (-∞, ∞) で積分すれば、Y1の分布が出る。
- 29 名前：１３２人目の素数さん [2021/06/18(金) 22:16:52.61 ID:M1IYKoOJ.net]
- >>21
s=-1 t=-0.1 p=0.1 q=1 a=-0.3 b=-0.5 とすると、
a^2-4b=2.09>0：成立
t≦-a/2≦p ... -0.1≦0.15≦0.1：不成立
s^2+as+b=0.8≧0：成立
t^2+at+b=-0.46≦0：成立
p^2+ap+b=-0.52≦0：成立
q^2+aq+b=0.2≧0：成立
つまり条件未達なのにx^2-0.3x-0.5=0の2実根は-0.573と0.873で題意を満足しています。
条件を広げる必要があるのでは？(どこをどう広げるべきなのか分からないけれど)
- 30 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/18(金) 22:23:00.70 ID:dUD46s6V.net]
- 軸の条件抜くだけやん
- 31 名前：中学生 [2021/06/18(金) 22:31:57.32 ID:BZm2CHcz.net]
- 正八面体の対面が平行である証明を教えてください！
ベクトルとか座標平面ではなく、空間幾何として解いていただくとありがたいです
- 32 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/18(金) 22:56:57.54 ID:dUD46s6V.net]
- 立方体ABCD-EFGHの6面の重心を結んで正八面体が得られるからコレについて言えれば良い
ABCD,AEFB,AEHDの重心をPQRとして平面PQRが対角線AGと垂直である事を示せば良い
A中心に2倍に相似変換して平面CFHと対角線AGが垂直である事を示せば良い
C,F,Hから直線AGに下ろした垂線の足をU,V,Wとする
△ACGはAC:CG=√2:1の直角三角形で△AUC、△CUGはコレと相似だから線比よりAU:UG=2:1, すなわちUはAGを2:1に内分する点である
V,Wについても同様であるからU=V=W
特にUを通りAGに垂直な平面上にC,F,Hが乗るとわかる
よって平面CFHとAGは垂直
- 33 名前：１３２人目の素数さん [2021/06/19(土) 00:03:50.38 ID:qkL8CkN+.net]
- >>27
すみません、文系の統計レベルでもこの証明になる感じでしょうか。
加重和の期待値、分散は使いませんか？
- 34 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/19(土) 00:26:25.63 ID:/fMPlG8T.net]
- >>30
隣接辺への鏡映変換を2度行うから平行になる
- 35 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/19(土) 01:56:47.20 ID:Izf7+Y5w.net]
- >>32
n=2 だけでいいなら、畳み込んだ方が簡単かも知れません。
c1 X1 + c2 X2 = Y
とおき
g(Y) = ∫[-∞,∞] f(X1) f((Y-c1X1)/c2) dX1 = …
>>27 では
正規分布N(μ,σ^2) の分布関数が
f(X) = a e^(-(X-μ)^2/(2σ^2)), a = 1/√(2πσ^2),
であり、直交変換では (X1-μ)^2 + (X2-μ)^2 = (Y1-M)^2 + (Y2)^2 となるため
f(X1)f(X2) = f(Y1-M)f(Y2),
となることを利用しました。(*)
n>2 への拡張もできるし、
分子軌道(MO)法 計算ソフト"GAUSSIAN" でも使われているらしいです。
なお、初めから正規分布になることが分かっていれば、
平均値と分散だけ計算して完了です。
- 36 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/19(土) 02:58:54.95 ID:f1l0lA4K.net]
- 尿瓶プロおじ懲りないね
- 37 名前：１３２人目の素数さん [2021/06/19(土) 10:13:28.92 ID:qkL8CkN+.net]
- >>34
平均値と分散は加重和のやつを計算するということですか？
正規分布になることが分かってる状態です。
- 38 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/19(土) 10:27:57.15 ID:IdOfjWky.net]
- >>36
プロおじそんなこともわからないんだ…
- 39 名前：１３２人目の素数さん [2021/06/19(土) 10:37:40.64 ID:qkL8CkN+.net]
- >>37
僕はガイジなの🥺
- 40 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/19(土) 11:14:32.07 ID:pW8kC5f5.net]
- >>38
知障の手帳upしろ
- 41 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/19(土) 11:49:51.31 ID:LhMrC8Uk.net]
- >>30
正八面体の六つの頂点を、N-ABCD-Sとします。(外接球を考え、Nは北極、Sは南極、ABCDは赤道上の正方形)
四角形NASCは四辺が等しいのでひし形 → NA∥SC
同様に四角形NBSDもひし形 → NB∥SD
NA∥SC かつ NB∥SD → NABを含む平面∥SCDを含む平面
- 42 名前：１３２人目の素数さん [2021/06/19(土) 11:56:47.53 ID:qkL8CkN+.net]
- >>39
自称だからない🥺
- 43 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/19(土) 12:33:06.30 ID:QDYC1aE8.net]
- この問題の(1)って
焦点をFとして
F1 P + F2 P = 2a
|F1 P - F2 P| = 2a
が与式になるを示せばいいだけ？
あと、>>6 も教えていただけると助かります
https://i.imgur.com/L9fSvm1.jpg
- 44 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/19(土) 12:53:16.89 ID:Yf/a7uHS.net]
- >>30
合同な正偶数角錐の底面合わせて立体を作ると平行な面の組み合わせができる
って補題行けそうだけど
正八面体は点対称な立体だから必ず平行な面の組み合わせができる
とか
- 45 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/19(土) 13:30:03.34 ID:iWPphUFG.net]
- 【難しかったので改題】
s,t,p,qは実数の定数で、s≦t≦0≦p≦qとする。
xy平面上の放物線C:y=x^2+ax+bがx軸のs≦x≦tの部分とただ一つの点で交わり、同様にp≦x≦qの部分とただ一つの点で交わるという。
(1)実数a,bの満たす関係式を求めよ。
(2)a,bが(1)の条件を満たしながら動くとき、Cが通る領域をDとする。D上の点を(x,y)とすると、yには最小値が存在することを示し、その値をa,b,s,t,p,qのうち必要なもので表せ。
- 46 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/19(土) 15:21:26.41 ID:whu1B+jw.net]
- >>42
それおもろいなぁ
(1)はそう
そのせつもんの文章なら
「楕円とはある定数tと焦点F,F'の距離の和FP+F'Pがtに等しくなる点の軌跡」
と定義されてるので求められてるのは
∃t FP+F'P = t ⇔ x^2/a^2+y^2/b^2 = 1
tが存在すれば2aである事が必要なのもすぐ出るから実質
FP+F'P=2a⇔x^2/a^2+y^2/b^2=1
そんな難しくない、てか(1)はネットにアホほど転がってますがな
- 47 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/19(土) 15:23:06.22 ID:whu1B+jw.net]
- >>44
もう答え出てたんじゃなかったっけ？
- 48 名前：１３２人目の素数さん [2021/06/19(土) 15:55:23.44 ID:aEJvEOq2.net]
- 何かの問題だったと思うが、条件 a,b,c は正の実数で
a^2≦b^2+c^2
b^2≦c^2+a^2
c^2≦a^2+b^2
を満たすとき、次の不等式が成立することを示せ。また、等号成立条件は何か。
（a+b+c）（a^2+b^2+c^2）（a^3+b^3+c^3）／（a^6+b^6+c^6） ≧ ４
検討した結果
x^6+y^6 ≦ 7/2
を言えばいいというところまでたどり着いたが、あってるかどうか分からない上に、中々正解が出ません。かなり難しい問題だと思うのでどうにかしてください。
- 49 名前：１３２人目の素数さん [2021/06/19(土) 15:58:40.11 ID:aEJvEOq2.net]
- 上の条件は
１ ≦ x^2+y^2
x^2 ≦ y^2+1
y^2 ≦ x^2+1
という条件の下である。この領域の図を書くと、 単位円と y=xの交点 ないしは y=x が境界条件になるが、おそらく y=x のときが解である。
- 50 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/19(土) 17:42:25.44 ID:Izf7+Y5w.net]
- (略証)
aa = A, bb = B, cc = C とおく。題意より
0 ≦ A ≦ B+C, 0 ≦ B ≦ C+A, 0 ≦ C ≦ A+B,
（a+b+c)(a^2+b^2+c^2)(a^3+b^3+c^3) - 4(a^6+b^6+c^6)
≧ (a^2+b^2+c^2)^3 - 4(a^6+b^6+c^6) (コーシー)
= (A+B+C)^3 - 4(A^3+B^3+C^3)
= 3A(B+C-A)^2 + 3B(C+A-B)^2 + 3C(A+B-C)^2 + 6(B+C-A)(C+A-B)(A+B-C) (*)
> 0,
(*) Ravi変換を利用するのが便利…
もし {B+C-A, C+A-B, A+B-C} のうちの2つ以上が0ならば、それらの和も0,
∴ ABC = 0, abc = 0,
となり、題意に反する。
- 51 名前：１３２人目の素数さん [2021/06/19(土) 17:47:57.28 ID:aEJvEOq2.net]
- >>49
コーシー、ホルダー、イエンセンなどの定理は知らなかったら終わりであり、こうした既知定理を使う手法は醜悪とされているので
もっとエレガントなものを頼む。
- 52 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/19(土) 18:12:40.34 ID:iWPphUFG.net]
- a,b,cを正の実数とするとき、
{(a+b+c)^2}{(c/ab)+(a/bc)+(b/ca)}
の取りうる値の範囲を求めよ。
- 53 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/19(土) 18:15:24.98 ID:TAgIXne2.net]
- そうだね、知を積み重ねる学問は知らなかったら終わりだから醜悪だね
なので>>50は数学に限らず学問そのものに興味を持たなくてもいいんだよ
- 54 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/19(土) 18:24:27.88 ID:whu1B+jw.net]
- そもそもこの程度自力でできない時点で数学的脳力なんかたかがしれとるわな
- 55 名前：１３２人目の素数さん [2021/06/19(土) 18:25:26.45 ID:aEJvEOq2.net]
- 平成時代の学生は、コーシーなどを習っていないから反則
マジクソだな
必要な既知定理は、ＡＭＧＭくらいしか学ばせなかったせいで数学教育が崩壊したんだよ
- 56 名前：１３２人目の素数さん [2021/06/19(土) 18:27:30.53 ID:aEJvEOq2.net]
- つうか文部科学省が 学習指導要領から 幾何 関数等式 整数 組合せなどを削除した上、更に滅茶苦茶になり
東大生ですら、数オリのレベルは解けない時代にしてしまったせいでこうなっている
- 57 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/19(土) 18:30:20.86 ID:Izf7+Y5w.net]
- コーシーのところをラグランジュ恒等式で表わせば
(a+b+c) (a^3+b^3+c^3) - (aa+bb+cc)^2
= ab(a-b)^2 + bc(b-c)^2 + ca(c-a)^2
≧ 0,
等号成立は a=b=c.
- 58 名前：１３２人目の素数さん [2021/06/19(土) 18:33:11.21 ID:aEJvEOq2.net]
- >>56
a=b=c では等号が成立しないから誤り
コーシーを使う、ないし、知っているという卑怯な方法を使ってるから上では正解が出ているが
コーシーやホルダーはほとんどの人が習ってないから反則
- 59 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/19(土) 18:37:52.02 ID:whu1B+jw.net]
- wwwwwwwww
- 60 名前：１３２人目の素数さん [2021/06/19(土) 18:45:48.79 ID:aEJvEOq2.net]
- 不等式に関する コーシーが示した定理でもその一部は知ってる人は知ってるが、 イエンセンやホルダーは無理
また、東大生レベルになると、 そういう大きな定理でなく
a^2+b^2+c^2 ≧ ab + bc + ca
くらいしか知らない。後は 相加相乗
- 61 名前：１３２人目の素数さん [2021/06/19(土) 18:54:47.83 ID:O37V/skE.net]
- 横文字の読みにケチつけるのも何だけど、あれは普通ヘルダーって読むんじゃない
- 62 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/19(土) 18:56:09.07 ID:Izf7+Y5w.net]
- >>51
a=b=c の場合は 27a だから、正の実数(すべて)
>>54
習ってないから分からんでもいい、という不思議な考えは
入試にしか通用しないマジクソだと思うよ。
出所は 受験産業(塾・予備校)あたりかな。
>>55
つうか文部科学省が削除したおかげで知ってる者が少ないから、
簡単なのにマウント取りやすくなった。
>>57
> a=b=c では等号が成立しないから誤り
要確認
- 63 名前：１３２人目の素数さん [2021/06/19(土) 19:00:02.76 ID:aEJvEOq2.net]
- >>47
一番最初のこの式で a=b=cとしても、４にならないから間違い
- 64 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/19(土) 19:02:18.84 ID:GGU6pU0E.net]
- まともな受験業界は「習ってないからできなくてもいい」とは決して言わない
「出ないからできなくてもいい」とは言うが
- 65 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/19(土) 19:06:50.02 ID:whu1B+jw.net]
- 数オリどうこういう以前に高校で習う普通の技術ができませんがなww
- 66 名前：１３２人目の素数さん [2021/06/19(土) 19:07:38.34 ID:aEJvEOq2.net]
- 教育の元締めの文科省が、 数オリに出るものを全部削っているのだから、特殊な学校や予備校で習ったところでどうにもならない
数オリの問題が解けるのは 灘高校や開成高校の一部の人とばれている 国民のほとんどの人は この種の問題を見ても理解できない
- 67 名前：１３２人目の素数さん [2021/06/19(土) 19:24:42.00 ID:aEJvEOq2.net]
- >>63
さすがに東大、京大、一ツ橋 などなどでは幾何学は出ないが、 整数論は出るからな
組合せ論かどうかは分からないが、それに近い物が、 平成１４年東大文系数学第４問に出た
あと、１９９８年に 東大理系後期が、 グラフ理論という、組合せ論で、しかも超難問を出してしまい、予備校講師はフランスの数学教授から解答を聞いて
模範解答を作成できたという
- 68 名前：１３２人目の素数さん [2021/06/19(土) 20:00:58.62 ID:aEJvEOq2.net]
- >>49
受験ではコーシーシュワルツの不等式として知られているが、この問題は簡単ではなく、コーシーシュワルツで華麗に変形してやらないといけない
不等式にも簡単な部類はあるが、コーシーシュワルツを使うことに気づかないと解けないこの問題はかなりの難問
コーシーを使わない解き方が求められる
- 69 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/19(土) 20:03:25.10 ID:ilxqumAW.net]
- 放物線C:y=x^2上の点P(p,p^2)における接線をlとする。lを反時計回りに30°回転させた直線をm、mとCとの交点のうちPでないものをQとする。またQを通りPQに直交する直線をn、nとCとの交点をRとする。
3点P,Q,Rが三角形をなすとき、△PQRの面積の最小値を求めよ。
- 70 名前：１３２人目の素数さん [2021/06/19(土) 20:37:02.46 ID:Wu0TQSwg.net]
- へんな問題文
- 71 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/19(土) 21:13:02.16 ID:Izf7+Y5w.net]
- Q(q, qq), R(r, rr) とおく。
L: y = 2px - pp,
m: y = (p+q)x - pq,
n: y = (q+r)x - qr,
tan(30゜) = 1/√3 より
p + q = (2p + 1/√3)/(1 - 2p/√3) = m,
q + r = -1/m,
p - q = 2p - m,
q - r = 1/m + 2(m-p),
r - p = -1/m -m,
⊿PQR = |(p-q)(q-r)(r-p)|/2 = …
かな
- 72 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/19(土) 21:45:21.44 ID:whu1B+jw.net]
- そもそもなさそうな気しかしない
- 73 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/19(土) 22:03:56.84 ID:QDYC1aE8.net]
- >>42
この問題の(2)からどうやってときますか？
- 74 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/19(土) 22:17:49.02 ID:whu1B+jw.net]
- >>72
(2)はx=acosθ、y=bsinθ、df/dθ=f^としてy'=y^/x^=-(b/a)cotθを代入して確認
(3)はx=c coshθ、y=dsinh(θ)で同じ作業
(4)は(***)を解いて
y'' = (-x^2+y^2+u^2 ± √((x^2-y^2-u^2)^2-4x^2y^2))/(xy)‥①
のうち第一象限でy'がマイナスの方が楕円だから±が−の方が楕円、+の方が双曲線
よって(***)の各(x,y)を通る双曲線と楕円は解と係数の関係から常に直交するとわかる
そして領域xy≠0で①の右辺はリプシッツ連続だから解があれば唯一
よって求める方程式は①の±がプラスの方
(5)は双曲線
- 75 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/19(土) 22:22:32.52 ID:whu1B+jw.net]
- 訂正
(***)を解いてのとこは
y'=...
ね、2次方程式の解の公式
- 76 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/19(土) 22:37:26.00 ID:QDYC1aE8.net]
- >>73
ありがとうございます
(2)は代入してy'を代入してどんな形になることを示せばいいの？
- 77 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/19(土) 23:13:28.19 ID:tl2lK6Fl.net]
- もちろんゼロ
- 78 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/19(土) 23:35:43.82 ID:tl2lK6Fl.net]
- xy(y')^2+(x^2-y^2-u^2)y' -xy
= abcosθsinθ(-b/a cotθ)^2 + (a^2cos^2θ-b^2sin^2θ-u^2)(-b/a cotθ)-absinθcosθ
= abcosθsinθ(-b/a cotθ)^2 + (a^2sin^2θ-b^2cos^2θ)(-b/a cotθ)-absinθcosθ
= b/a cotθ( b^2 cos^2θ + a^2sin^2θ - b^2cos^2θ - a^2 sin^2θ)
=0
(3)も一緒
- 79 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/19(土) 23:51:50.62 ID:QDYC1aE8.net]
- >>77
何度も申し訳ないのだけど、=0になることがどうしてEuに属する任意の楕円がこの微分方程式を満たすことをになるの？
- 80 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/20(日) 00:00:23.13 ID:KZE6Olb+.net]
- だってEUに属する楕円とはa^2-b^2=u^2を満たす定数によってx=a^2cosθ、y=bcosθとパラメータ表示できる関数ですがな
このパラメータ表示された関数が(1)の(*)を満たすことは一瞬でわかりますがな
実際x,yが(*)を満たす変数の時、新しい変数θをθ=acos(x/a)で定めればy=±bsinθが確定する
-のほうはθ→-θと置換すればy=bsinθの場合だけ確認すればいいとわかる
- 81 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/20(日) 00:15:00.78 ID:D/WuJVBA.net]
- >>79
(*)はそもそもEuを満たす楕円の集合であってこの式を満たすx yをパラメータ表示して、(***)に代入して等式が成り立てばそれで、Euに属する楕円がこの微分方程式を満たすっていうことか
そういうことか、基本がわかってなかった
- 82 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/20(日) 00:24:46.59 ID:KZE6Olb+.net]
- まぁもちろんパラメータ表示使わずに
変数(x,y)が(*)を満たす⇔y=±b√(1-((x/a)^2)
を利用して(***)に代入してゴリゴリやってもできるけどな
いい計算練習にはなるかもしれないけどやはりそれでよしとしていたのではちょっとな
- 83 名前：１３２人目の素数さん [2021/06/20(日) 01:07:43.42 ID:cnZVxdX7.net]
- >>61
数学は簡単というか、ここでやってる奴は所詮知識なんだよな 昭和時代という恵まれた時代にあらかた勉強したから、コーシーでもなんでも
使えるわけで
平成の若者は、そもそも学習指導要領から不等式なども削られているから、そこらへんの元高校生は、そんなん知らん
- 84 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/20(日) 01:26:34.35 ID:an3t7Ks+.net]
- 誰か放物線y=x^2を使った傑作問題を考えてください
- 85 名前：１３２人目の素数さん [2021/06/20(日) 01:38:47.18 ID:cnZVxdX7.net]
- （a+b/n）^(1/n) が何に収束するかを検討したら e^(a/b) という美しい式になりました。
これを利用し、 ｎ＾(1/n) → １ を証明したいと思うが、 a=0 とおけばよい。すると、 最初の式から、n^(1/n)→1がいえる。
この推論は正しいか。
- 86 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/20(日) 01:48:23.11 ID:KZE6Olb+.net]
- バカだなぁ
- 87 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/20(日) 03:54:19.04 ID:1XoPw825.net]
- >>42
(1) 楕円
e = (1/a)√(aa-bb), (離心率)
F1 (-ae, 0)
F2 (ae, 0)
とおくと
(F1P)^2 = (x+ae)^2 + y^2 = (a+ex)^2 + bb{(x/a)^2 + (y/b)^2 -1}
(F2P)^2 = (x-ae)^2 + y^2 = (a-ex)^2 + bb{(x/a)^2 + (y/b)^2 -1}
点P(x,y) は楕円上の点だから
(x/a)^2 + (y/b)^2 - 1 = 0,
F1P = a+ex,
F2P = a-ex,
よって
F1P + F2P = 2a,
- 88 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/20(日) 03:56:44.81 ID:1XoPw825.net]
- >>42
(1) 双曲線
f = (1/c)√(cc+dd),
F1 = (-cf, 0)
F2 = (cf, 0)
とおくと
(F1P)^2 = (x+cf)^2 + y^2 = (fx+c)^2 - dd{(x/c)^2 - (y/d)^2 -1},
(F2P)^2 = (x-cf)^2 + y^2 = (fx-c)^2 - dd{(x/c)^2 - (y/d)^2 -1},
点P(x,y) は双曲線上の点だから
(x/c)^2 - (y/d)^2 - 1 = 0,
F1P = fx+c,
F2P = fx-c,
よって
|F1P - F2P| = 2c,
- 89 名前：イナ mailto:sage [2021/06/20(日) 04:53:58.44 ID://EbZ0I8.net]
- >>83
考えた。
傑作だ。
答えはある。まだ解いてないだけで。
- 90 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/20(日) 05:47:37.01 ID:1XoPw825.net]
- >>70
p = -5/(2√3) = -1.443375673
q = r = 1/√3 = 0.577350269
m = -(√3)/2 = -0.866025403
のとき
⊿PQR = 0.
- 91 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/20(日) 10:53:12.23 ID:3LEPME35.net]
- 0^0=eとなるような0^0の妥当な定義を与えよ。
- 92 名前：１３２人目の素数さん [2021/06/20(日) 11:26:32.34 ID:fpW7qxhc.net]
- キモいのが湧いてきた
- 93 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/20(日) 11:40:38.08 ID:Q3hS75zk.net]
- >>83
任意の放物線が互いに相似であることを示して
- 94 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/20(日) 11:43:38.33 ID:Q3hS75zk.net]
- 互いに相似っていうか2つの任意の放物線が相似って表現の方がいいか
- 95 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/20(日) 11:47:57.30 ID:MG7itG+h.net]
- >>92
有名事実ではないか
多少は工夫した問題を作成せよ
- 96 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/20(日) 12:46:21.17 ID:aE9TXCL8.net]
- >>94
思いつかない
- 97 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/20(日) 13:08:52.19 ID:TcDhz1EC.net]
- すごく面倒くさい問題
xy平面上の2点A(t,0),B(t+1,3)をひとつの対角線とする正方形Tを考える。
Tと領域D:y≧x^2が共通部分を持つように実数tが動くとき、その共通部分の面積の最大値を求めよ。
- 98 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/20(日) 14:27:25.94 ID:D/WuJVBA.net]
- >>73
(4)の楕円に直行する曲線の微分方程式は、(***)の楕円の微分方程式の逆数にマイナス掛けたやつだよね？
(5)ってどうやって解きますか
- 99 名前：１３２人目の素数さん [2021/06/20(日) 15:04:26.17 ID:T3v6J9nz.net]
- 算数の速さや割合の問題って、代数を使って解けるものなのでしょうか？
- 100 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/20(日) 15:24:19.78 ID:fCf5r1xG.net]
- すみませんこの問題の答えを教えてください
https://i.imgur.com/u7wtOvy.jpg
- 101 名前：１３２人目の素数さん [2021/06/20(日) 15:31:23.86 ID:De00mPCW.net]
- >>90
顔真っ赤になって必死に考えたのだろうが、 （b/n）^(1/n) は、 bのｎ乗根／ｎのｎ乗根
ｎ→∞で、分子は１に収束し、分母は１に収束する
- 102 名前：１３２人目の素数さん [2021/06/20(日) 15:53:13.81 ID:De00mPCW.net]
- >>84は何か考え違いをしたと思うが
（a+b/n）^(1/n) は １に収束する。
このことから、a=0 b=1としても１に収束するから、 ｎのｎ乗根は１に収束する。
- 103 名前：１３２人目の素数さん [2021/06/20(日) 16:00:41.36 ID:De00mPCW.net]
- nのｎ乗根が１に収束することの論証は一般に簡単なものは知られていないから、（a+b/n）^(1/n)が１に収束することからこれをいうのは華麗である
以下、 （a+b/n）^(1/n) は １に収束することを論証する
（a+ab/an）^(1/n)＝ a^(1/n)*(1+b/n)^(1/n) ★
b/n=1/kとおくと、 1/n=1/bk よって ★ ＝ a^(1/n)*(1+1/k)^(1/bk) ｎ→∞のときに ｋ→∞だから
★ → １＊e^0 =1
よって、（a+b/n）^(1/n) は１に収束する。
- 104 名前：１３２人目の素数さん [2021/06/20(日) 16:05:41.34 ID:De00mPCW.net]
- これの味噌は 結局 （１＋1/k）^k → eを利用したものだが、この既知結果が良く�
- 105 名前：mられているので、これを通しての論証は華麗である
他にも （1/n）^(1/n)のn→∞の収束値は、 1./n=kとおいて、 k^k が k→０を見るということにもなるが、関数 y=x^xがx=0で１ということは
直観的には知られていても、なぜそうなるのかというと、難しい議論が必要である。 [] - [ここ壊れてます]
- 106 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/20(日) 16:07:02.80 ID:GkOyKAgr.net]
- >>96
どなたかこれお願いします
- 107 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/20(日) 16:10:32.77 ID:PGBQ0FOy.net]
- >>96
面倒くさいし、代数的に解けない
t=-0.46844122 のとき 4.6995256
- 108 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/20(日) 17:22:09.89 ID:nHxKFylL.net]
- >>97
いや(***)の方程式は楕円と双曲線が両方解として出てくる
それを示せが(2)と(3)
だから(5)について改めて解く必要はない
もうすでに(2)と(3)で解が2個見つかってて常微分方程式のかいの一意性(今回の場合は局所的にリプシッツ連続になってる事)を利用して高々解が２つしかない事からわかる
- 109 名前：１３２人目の素数さん [2021/06/20(日) 17:34:47.03 ID:De00mPCW.net]
- 微分積分のアイデア自体はいたるところで使われていますが、積分が何の役に立つんですか
面積を計算したかったら どんな複雑な図形でも、点をランダムにたくさん落とし、その点の個数の割合で計算するという方法が知られている
積分の公式を使ってシコシコ計算するより、こちらの方が直截で、美しいように見える
- 110 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/20(日) 18:04:53.92 ID:D/WuJVBA.net]
- >>106
そっかそっか
- 111 名前：１３２人目の素数さん [2021/06/20(日) 18:12:15.86 ID:De00mPCW.net]
- 数学は現代の日本人にとって難しいというより
自分でやる → 公理の構築からしてほぼ不可能
色々な定理も含めガリガリ勉強しズルをする → バカでもできる
- 112 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2021/06/20(日) 18:12:58.63 ID:aLctkghf.net]
- >>107
それ近似値しか出ないですよね
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