- 794 名前：現代数学の系譜 雑談 [2021/06/01(火) 00:12:12.26 ID:nGHQy4Vx.net]
- >>717 さらに補足
1．文 a)1∈2∈3∈・・∈∀n
は、丁寧に書くと、
∀n∈N（1∈2∈3∈・・∈n）但し n ＞ 3 ・・(1)
ってことだけど
2．これ以上の説明は、大学生には不要だろうが
高校生向けに、形式的に数学的帰納法を適用してみよう
1)上記(1)は、n=4で成立する
2)(1)がｎで成立するとして、n+1は？
ノイマン構成（>>678）だから、n∈n+1 が成り立つ
よって、1∈2∈3∈・・∈n∈n+1 が成立する
3)(下記)数学的帰納法より、(1)は n ＞ 3 なる全ての自然数で成立する
（本当は、わざわざ数学的帰納法を使うまでもないことだが）
3．(1)の列は有限か？
1)まず、列 1∈2∈3∈・・∈n の項の数は明らかにn個で、よって列の長さはｎだ
2)確かに、個々のｎを見れば有限だが、∀n∈Nだったことを思いだそう
3)仮に、(1)の 1∈2∈3∈・・∈n の長さに、上限Lがあるとする（これは項の数の上限がLであることを意味する）
しかしながら、かならず上限Lを超える数ｎを取ることができるから （∵∀n∈Nだから）
よって、(1)の 1∈2∈3∈・・∈n の長さには、上限がない。つまり、上限がないという意味での無限である
4)もう一つの理解の仕方は、(1)の∀n∈N（1∈2∈3∈・・∈n）では、n→∞ と考えることでしょうかね（＾＾
ここは、各人が自分で考えて納得してもらうしかない（＾＾；
（参考）
www.u.dendai.ac.jp/~ochi/introalg.html
越智禎宏 電大
代数入門
1. 数と式
www.u.dendai.ac.jp/~ochi/introalg01.pdf
代数入門：数と式
1.1 数学的帰納法
自然数で重要な性質として次がある：
（性質 N) 空でないどんな部分集合 S ⊂ N には必ず最小元が存在する．
これは当たり前のようにも思える．この原理から，次の数学的帰納法（mathematical induction) が導かれる：
（数学的帰納法) 自然数に関する命題6P(x) に対して，P(1) が正しく P(k)
が正しいなら P(k + 1) も正しい，が任意の自然数 k に対して成り立つなら
ば，全ての自然数 n に関して P(n) は正しい．
実際，S = {a ∈ N : P(a) が正しくない } とおく．もし S≠ Φ ならば，性
質 N より，S に最小元 b が存在する．
略
(引用終り)
以上
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