定義 体 K に係数を持つ不定元 X に関する多項式とは p=pmX^m+p_m-1X^m-1+・・・+p1X+p0 の形の式のことである。ここで p0, …, pm は K の元で、p の係数といい、X, X2, … は形式的な記号だが X の冪という。
注意すべき点として、多項式には項が有限個しかないこと ?つまり十分大きな k（ここでは k > m）に関する係数 pk がすべて零であるということ? は、暗黙の了解である。多項式の次数とは X k の係数が零でないような最大の k のことである。特別な場合として、零多項式（係数が全て零）の次数は定義しないか、あるいは負の無限大 ?∞ と定義する。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BD%A2%E5%BC%8F%E7%9A%84%E5%86%AA%E7%B4%9A%E6%95%B0 形式的冪級数 形式的冪級数（英: formal power series）とは、（形式的）多項式の一般化であり、多項式が有限個の項しか持たないのに対し、形式的冪級数は項が有限個でなくてもよい。 定義 A を可換とは限らない環とする。A に係数をもち X を変数（不定元）とする（一変数）形式的冪級数 (formal power series) とは、各 ai (i = 0, 1, 2, …) を A の元として、 Σ _n=0〜∞a nX^n=a0+a1X+a2X^2+・・ の形をしたものである。ある m が存在して n ≧ m のとき an = 0 となるようなものは多項式と見なすことができる。
より形式的な定義 N を非負整数全体の集合とし、配置集合 AN すなわち N から A への関数（A に値を持つ数列）全体を考える。この集合に対し (an)n∈N+(bn)n∈N:=(an+bn)n∈N (an)n∈N・(bn)n∈N:=(Σk=0〜n akbn-k)n∈N によって演算を定めると、AN は環になることが確かめられる。これが形式的冪級数環 A[[X]] である。 ここでの (an) は上の 蚤nX^n と対応する。 (引用終り) 以上
