超限帰納法、下記だね （>>163より 東北大 尾畑研） www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/file/2018-13_WellOrdered.pdf 第13章 整列集合 GAIRON-book : 2018/6/21(19:23) (抜粋) P12 超限帰納法 自然数の配列にもとづく数学的帰納法を整列集合にもとづく証 明法に拡張したものが超限帰納法である. 整列可能定理によってその適用範囲 は極めて広い. 定 理 13.18 (超限帰納法) (X, ≦) を整列集合とし, P(x) を x ∈ X を変数とす る命題関数とする. もしすべての x ∈ X に対して条件「y ≺ x を満たすすべて の y ∈ X に対して P(y) が成り立てば P(x) も成り立つ」が成り立てば, すべ ての x ∈ X に対して P(x) が成り立つ.4)
証 明 A = {x ∈ X | P(x) が偽 } とおいて, A = Φ を示せばよい. そのため に, A ≠ Φ を仮定して矛盾を導けばよい. X は整列集合であるから, a = min A が存在する. そうすると, x ≺ a を満たす任意の x ∈ X は x not∈ A であるから P(x) は成り立ち, 仮定によって P(a) も成り立つ. しかし, a ∈ A であるから, これは矛盾である.
注） 4)ふつうの数学的帰納法であれば, N の最小元である 1 に対応する命題を別に扱って「P(1) が 成り立つ」ことから始める. ここに述べた条件において, x = 1 とすると y ≺ x を満たす y が存在 しないことから「P(1) が成り立つ」ことは既に条件に含まれていることに注意しよう. (引用終り) 以上
