- 596 名前：[10] などを参考にしました. その他の参考文献については末尾の文献リストをご
らんください.
1 ルベーグ測度と測度の問題の概略
19 世紀の終わり近く, 数直線が G.Cantor の集合論の言葉できちんと定義できることが理解され, 関数の概
念が点と点の対応という抽象的な定式化を獲得したころから, 古典数学で確立された解析学の諸結果を集合論
的枠組みの中で新しく得られるであろう一般的な関数にまで拡張する必要が認識されてきました.
積分は長さや面積の概念と切っても切れない関係にあります. 直観にもとづいた古典幾何の図形概念が, 平
面の点集合という抽象的な概念に吸収された結果として, そうした一般的な点集合にまで, 長さや面積の概念
を拡張できるかどうか (あるいはそもそも面積という概念は厳密にはどういうものなのか) を, ハッキリさせ
る必要が生じてきました.
H.Lebesgue が学位論文において展開した測度の理論は, それらの問題に答えようとするものでした.
実数の一般の集合にまで長さの概念を拡張しようという着想は, さらに E.Borel にまでさかのぼります.
Borel は (いわゆる) ボレル集合の概念を提唱し, 数直線上のボレル集合の長さが, そのボレル集合自体が生成
されてくる過程に沿った超限再帰によって定義できることを示しました. 測度 (英:measure, 仏:mesure) とい
う言葉も, Borel が提唱したもののようです.
E.Borel(と R.Baire) は, 20 世紀の初頭にフランスで活躍した数学者たちのなかでは, 集合論を応用した新
しい解析学の展開に貢献しながらも, 構成主義に近い強硬な立場に立っていたことで知られており, ボレル集
合の範囲を超えた実数の集合を考察することを, 事実上, 拒否していました. いっぽう, Lebesgue は Borel や
Baire よりはいくぶん穏健な立場で, 長さや面積をきちんと定義できる点集合のクラスとしての可測集合の概
念を考案し, それらに対して Borel が定義した測度を拡張しました.
(引用終り)
以上 [] - [ここ壊れてます]
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