- 165 名前：１３２人目の素数さん [2023/02/03(金) 11:50:53.45 ID:OOOXQ2PB.net]
- >>155
つづき
その後, 頂点代数と言う非常に大きな無限次元代数が存在して, その自己同型群がモンスターであり, 頂点代数の表現が次数を持っていて次元を並べたものが j関数になっていると言う説明がフレンケルやボーチャーズ達の仕事によって明らかにされました. モンスターと言う群は, 単純群の分類の仕事の途中で発見された群で, 複雑なものなのですが, それが一見何の繋がりもない j関数(こちらはよく知られた保型形式)と関連するところが興味深いところです. このように思わぬところに顔を出すところに, 保型形式の奥の深さを感じます.
次に, 保型形式と楕円曲線(トーラス)の関係を説明しましょう. 楕円曲線とは, 複素平面を 1と上半平面の点zで生成される格子で割ってできる1次元の複素多様体です. 実多様体としては, 2次元のトーラスです. 実は, zとz'が SL2(Z)で移りあっているときは, 対応する楕円曲線は複素多様体として同型であることが分かります. 楕円曲線の全体を考え, 同型なものを同じと見なしてできる空間を(楕円曲線の)モジュライ空間と言います. 従って, 重みが0の保型形式は, モジュライ空間上の正則関数に他なりません. 重みがkのものは, モジュライ空間上のある直線束の正則な切断です. このように見れば, 保型形式と楕円曲線が関係することは明らかです.
(引用終り)
以上
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