自然数の全体 N は減法について閉じていないが、上ではそれを補完するものとして負の整数を導入し、整数の全体 Z を構成した。それと本質的には変わらないが、よく知られる方法[3]としてここでは、減法を陽に持ち出さずに、自然数の加法と乗法のみから同値関係や商集合といった道具を使って、整数がきちんと厳密に構成できることを記しておく。[note 3]
まず、直積集合 N^2 = N × N = {(a, b) | a, b は自然数} を考えよう[note 4]。N^2 に同値関係 〜 を
記号の濫用ではあるが、自然数 m を埋め込んだ先と同一視して m = [m + 1, 1] と書くことにし、これを（正の）整数 m と呼ぼう。
自然数 m に対し、新たな記号 -m を [1, m + 1] を表すものとして導入し、これを負の整数 -m と呼ぼう。負の整数同士の積が正の整数になっていることが確認できる。
このとき、m + (-m) = [m + 1, 1] + [1, m + 1] = [m + 2, m + 2] = R だから、負の整数 -m = [1, m + 1] は N^2/〜 においてはちょうど、正の整数 m = [m + 1, 1] の加法に関する逆元になっている。R をあらためて 0 と書くことにして、N^2/〜 = {m, 0, -m | m ∈ N} を整数全体の集合とよび、あらためて Z と書くことにしよう。
このようにして整数の全体 Z が厳密に定義されたが、なお定義に従えば Z において結合法則や分配法則などの環の公理が満たされることがきちんと証明できる。 (引用終り) 以上
