同じ剰余類に属する元は，同値であると言われるのでした．もし，元 b が a の剰余類 aH に属するとすれば，ある H の元 h_{b} が存在し， b=ah_{b} なる関係がなりたつはずです．これを数式で書けば，次のようになります(これは左剰余類の例です．以後，簡単のために全て左剰余類で剰余類を代表させて議論を進めます．) a 〜 b ⇔ ∃ h s.t. b = ah (h ∈ H) 群 G の元のうち，同値ではない a1,a2,...,am のそれぞれの剰余類を a1H,a2H,...,amH と置くと， G は次のように類別されます． G=H+a1H+a2H+...+amH (1) 大事なポイントは，群 G とその部分群 H をまず想定し， H を使って元 a の剰余類を作ったという点です．言い方を変えれば，群 G にまず部分群 H を与えると， G の元の中で H に含まれない残りのものは， H と， G の元を使って表現し尽せるということでもあります．当然のことながら，部分群 H の選び方によって aH は異なってきます．この意味で，この類別を 部分群による類別 と呼ぶこともあります． もう一つ確認しておくことは，類が一般には群にならないという点です．類別とは，集合の元を分類することなのであって，元の代数構造は一般に継承されません．
