- 320 名前：現代数学の系譜 雑談 [2021/01/02(土) 00:05:04.26 ID:k00K5jWz.net]
- >>300
つづき
定理 10.6 (第 3 同型定理)
G を群，M, N を M ⊂ N を満たす G の正規部分群とする．このとき，剰余群 N/M は剰余群 G/M の
正規部分群であり，
(G/M)/(N/M) → G/N, (gM) ・ N/M → gN
は well-defined な群同型になる．特に，(G/M)/(N/M) ? G/N である．(M を “約分” できる．)
証明. 写像
Φ: G/M → G/N, gM → gN
を考える．これが well-defined であることは以下のように確かめられる：
g1M = g2M であるとき，g1N = g2N
となることを示せばよい．g1M = g2M のとき，g1
M〜L g2 なので，ある m ∈ M が存在して，g1 = g2m とな
る．いま M ⊂ N であるので，m は N の元でもあるから，このとき g1 N〜L g2 でもある．よって，g1N = g2N．
いま，任意の g1, g2 ∈ G に対し，Φ(g1M ・ g2M) = Φ(g1g2M) = g1g2N = g1N ・ g2N = Φ(g1M) ・ Φ(g2M)
となるので，Φ は準同型である．また，
Im Φ = {Φ(gM) | g ∈ G} = {gN | g ∈ G} = G/N,
Ker Φ = {gM ∈ G/M | gN = N} = {gM ∈ G/M | g ∈ N} = N/M.
よって，第 10 回講義資料命題 9.3 (2) から N/M は G/M の正規部分群であり，準同型定理から，
(G/M)/(N/M)〜-→ G/N, (gM) ・ N/M → gN
は well-defined な群同型になる．
つづく
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