背理法で、 3 の倍数でない整数 a, b に対し、 a^2 + b^2 = c^2 を満たす整数 c が存在すると仮定して矛盾を導く。 a, b, c の最大公約数を d とすると、 a = dA, b = dB, c = dC となる整数 A, B, C が存在し、 A^2 + B^2 = C^2 かつ A, B, C の最大公約数は 1 が成り立つ。このとき、 A か B の少なくとも一方は奇数である。 対称性から、 A が奇数であると仮定しても一般性を失わない。 A^2 = (C+B)(C-B) において、 A が奇数ならば C+B と C-B は互いに素である。 （なぜなら、もし C+B と C-B の両方を割り切る素数 p が存在すれば、 上の式より p は奇数 A を割り切るので p ≠ 2 である。すると、 (C+B) + (C-B) = 2C (C+B) - (C-B) = 2B より、 p は B と C も割り切るが、これは A, B, C の最大公約数が 1 であることに矛盾する。） したがって C+B と C-B はどちらも平方数であるので、 C+B = m^2 C-B = n^2 となる整数 m, n が存在する。このとき、 A^2 = (mn)^2 となるので、背理法の仮定より m, n はどちらも 3 の倍数でない。すると、 2B = m^2 - n^2 = (m+n)(m-n) は 3 の倍数となる。 しかし、背理法の仮定より B は 3 の倍数でないので矛盾する。
