- 71 名前：現代数学の系譜 雑談 [2020/06/29(月) 07:29:59.79 ID:zK2xtwvj.net]
- 上半平面 H は、良く出てくる
双曲幾何と関連しています
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9D%E3%83%AF%E3%83%B3%E3%82%AB%E3%83%AC%E3%81%AE%E4%B8%8A%E5%8D%8A%E5%B9%B3%E9%9D%A2%E3%83%A2%E3%83%87%E3%83%AB
ポワンカレの上半平面モデル
半平面模型の星型正七角形による敷詰
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/49/Poincare_halfplane_heptagonal_hb.svg/400px-Poincare_halfplane_heptagonal_hb.svg.png
非ユークリッド幾何学におけるポワンカレ半平面模型（はんへいめんもけい、英: Poincare half-plane model）は、上半平面（以下 H と記す）にポワンカレ計量と呼ばれる計量をあわせて考えたもので、二次元双曲幾何学のモデルを形成する。
名称はアンリ・ポワンカレに因むものだが、そもそもはベルトラミが、クライン模型・（リーマンによる）ポワンカレ円板模型とともに、双曲幾何学がユークリッド幾何学に無矛盾等価（英語版）であることを示すために用いたものである。円板模型と半平面模型とは共形写像のもとで同型である。
目次
1 対称性の群
2 等距対称性
3 測地線
対称性の群
射影線型群 PGL(2,C) はリーマン球面に一次分数変換で作用する。この群の部分群で上半平面 H を H 自身の上に移すものは、すべての係数が実数であるような変換全体の成す群 PSL(2, R) で、その作用は上半平面上推移的かつ等距ゆえ、上半平面はこの作用に関する等質空間となる。
つづく
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