IUTを読むための用語集資料集スレ

109 名前：現代数学の系譜 雑談 [2020/07/11(土) 19:45:09.94 ID:PRf3fy9U.net] 楕円曲線、判別式 Δ:=-16(4a2-27b2) www.suri-joshi.jp/enjoy/rational_points_of_elliptic_curve/ 数理女子 楕円曲線の有理点 楕円曲線と有理点 Q 上定義された楕円曲線とは、 a1, a2,…,a6∈Q に対し、 y2+a1xy+a3y=x3+a2x2+a4x+a6 で表される曲線です。ただし2次曲線の場合と同様、退化する場合は除いておきます。 この曲線は y2=x3+ax+b,(a,b∈Q) という形の標準形へ持って行くことができることが知られています。このとき、 退化するのは「右辺=0」という方程式が重根を持つ場合、 つまり判別式 Δ:=-16(4a2-27b2)が0 となるときです。上の方程式で表される楕円曲線を Eと書き、 その有理点全体の集合を E(Q) と記します。ただし無限遠点を１つ余分に付け加えておきます。 すなわち、 E(Q):={(x,y)∈Q2?y2=x3+ax+b}∪{∞} とします。 Mordellの定理とBirchとSwinnerton-Dyer予想 以上の考察から、楕円曲線の有理点は二次曲線の場合とは異なり、有理点の数が有限個だったり無限個だったりと複雑な振る舞いをしていることが分かります。 これに関して、以下の大事な結果が知られています。 Mordellの定理　 E(Q) は、有限個の有理点 P1,…,Pn から上記の操作で生成される。 与えられた楕円曲線の有理点の個数の大きさを予想しているのがBirch and Swinnerton-Dyer予想です。 Birch and Swinnerton-Dyer予想（BSD予想）は、楕円曲線の有理点の大きさが、 L関数と呼ばれる関数で記述されると予想しています。 この予想は、幾何学的な対象の数論的な情報と L関数の関係を調べるという、整数論と呼ばれる数学分野の中心的なテーマの１つであり、今後取り組むべき重要な７つの問題としてクレイ数学研究所により選ばれたミレニアム懸賞問題の１つでもある、とても大切な問題です。 www.math.kyoto-u.ac.jp/~tetsushi/files/Galois_fest_ito_200705.pdf ・「楕円曲線の数論幾何」伊藤哲史先生（京都大学）のスライド

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