- 1 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/05(水) 23:14:26 ID:wk+QTUAy.net]
- なんの役にも立たない
余弦定理の証明に使う事実をその場で紹介して、それでお終いで良い
- 469 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/02(水) 11:57:22.78 ID:5wpmvlS6.net]
- >>460
同意
現代数学のルーツがガロア理論にあることは間違いないが中学で作図などを教えたら
飛び級入学を許して、ゲーデルの不完全性定理やラッセルの論理学などどんどん読み進めるのがよいと思う
不完全性は量子力学などでも基本的な概念であるから幅広く応用が効く
その基礎がユークリッド幾何学で身につけた論述の能力にあることは疑いようがない
現行のカリキュラムは実用性だけを重視し結果だけ示して細部は曖昧にしているが、これらは現代数学の基礎だから完全に修める必要がある
そういう人は足し算や掛け算もペアノの公理から厳密に示すべきだし、微分積分は測度論などを使い厳密に論ずるべき
- 470 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/02(水) 12:16:58.77 ID:ArXE/Avq.net]
- ユークリッド幾何学不要派のような知識だけを得て万能感に浸っているのは愚者だと思う
ガロアによる方程式の不可解性定理や作図不可能性定理、ゲーデルの不完全性定理などにより
知性の限界を認識し、世界に対して謙虚になるのが真の教養というものだろう
表面的に数学の問題が解けたからと世界に対して傲慢になっている者たちの顛末が
・リーマンショックによるサブプライムローン崩壊
・チェルノブイリや福島の原発事故
・AIの暴走による核戦争と人類の家畜化
などのカタストロフィだ
ユークリッド幾何学が役に立たないという人は自分では筋の通ったことを言っているつもりなのだろうが
こういう統合的・逆説的な見地から見れば実に浅薄極まりない
- 471 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/09/02(水) 12:30:49.42 ID:tYairTYr.net]
- また文系ポエムか
- 472 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/09/02(水) 12:32:55.20 ID:tYairTYr.net]
- >>461
それほとんどお前だろ
- 473 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/02(水) 13:06:03.81 ID:g5qR2vWb.net]
- ユークリッド幾何学の応用例として
3次元空間の体積を持つ立体を有限個に分割して
各ピースを合同変換により再配置することで
元の立体の2倍の立体を構成できるという
バナッハタルスキーの定理がある
これは常温核融合の数学理論だと思われており
現代の資源工学における中心的な研究分野になっている
- 474 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/02(水) 14:14:09.20 ID:YNJ9m2pF.net]
- 「ポエム」や「パズル」を蔑称として使ってる奴いるな。
言葉に失礼だからやめろ。
- 475 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/09/02(水) 14:44:40.40 ID:tYairTYr.net]
- >>474
どうして蔑称だと思ったんですか？
- 476 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/03(木) 08:47:37.57 ID:Mc9UxcV9.net]
- 経済学者や統計学者からの声が強いんだろ
応用数学を後々するにしても
微分積分、ベクトル、行列なんかは絶対必要だし
確率論もねじ込みたいのもわかるが流石に高校生には理解できないから内容が浅すぎるし
現行のユークリッド幾何の撤廃は同意だわせめて小中
デュドネみたいに数学的な基礎が甘いからとかじゃなくてチェバやメネラウスの定理はマジで必要ないわ
- 477 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/03(木) 08:48:48.44 ID:Mc9UxcV9.net]
- 古典的幾何学は純粋に図形を描いて考えるんだろうけどそんな面倒臭いこと教えるより
解析幾何でも教えればいいんだよ
- 478 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/03(木) 09:03:46.22 ID:Xltt/8Is.net]
- >>476
同意
- 479 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/03(木) 09:18:08.24 ID:Mc9UxcV9.net]
- 高校の段階では後々みんな純粋数学をするとは限らないからあくまで使える理論を教えてやればいいと思う
日本の数学書の悪しき習慣の定義定理の羅列
ひどいのは公式の羅列
証明は理解できないから省くにしてもただの羅列はダメだわ
ワイは物理数学を専門としてるけど、数学科に入ってくる新入生の中には全く物理を理解できない奴がいる
高校の段階で定義定理で覚えてるからその応用例や物理的な考えがわからない
高校数学なんだから広く浅くでいいからもっと実際の応用的な部分も示すべきだわ
だから数学は役に立たないなんて言う輩も出てくるんだよ
データとかユークリッド幾何とか以前に
高校の教科書開いて見てよめちゃくちゃ面白くないから
- 480 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/09/03(木) 09:33:39.33 ID:9okSQb6o.net]
- >>479
別に物理的な考え方が分からなくても、例えば量子力学ならノイマンの公理から始めればいいし、
場の量子論ならワイトマンの公理系から始めればいいのでは？
- 481 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/03(木) 09:39:40.90 ID:Mc9UxcV9.net]
- >>480
それが純粋数学の考え方なんだと思うわ
- 482 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/03(木) 09:42:35.60 ID:tHLHxbIJ.net]
- ユークリッド幾何学必要派が連レスしてるな
ほとんど全部間違ってて個別に訂正するのも面倒くさい
- 483 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/03(木) 10:05:45.90 ID:6U/HRTRR.net]
- >>473
これは言うまでもなくトンデモ
>>469
>>470
これはただのポエム
おそらく書いてるのは文系で、自分が引用している数学基礎論の内容も理解していない
- 484 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/03(木) 10:32:01.31 ID:6U/HRTRR.net]
- ID:5wpmvlS6
ID:5Mq2H/2e
ID:bBBBI4+7
ID:UFuF6Htm
ID:OEAe+7as
ID:Q32UwMtw
こいつら（こいつ）は壊れたスピーカーみたいに同じこと繰り返してるが、的を射たことは何も言っていない
まず「ユークリッド幾何学は公理から論証するから厳密」云々というのが、いろいろ論破されて最後の拠りどころになってるようだけど
これはこいつが勝手に持ち出した基準。現状、そんなものを重視して教育している人は、（ごく一部の人を除いて）いない
数学をどこまで「厳密に」やるかは、その教育の目的に応じて決まるのであって、その意味で現行の中学高校のカリキュラムは十分に厳密に数学を論じている
また、群論などの抽象代数学は「公理から厳密に論証」している数学らしいけど、これも間違い
自分でも言ってるけど、代数学では集合を扱うけど公理的集合論をやってないし、通常の足し算掛け算やるのにペアノの公理からやってないから厳密ではない
「厳密」の基準が場当たり的に変わっていて一貫していない
「ユークリッド幾何学をやらやければ、抽象代数学の理解度に影響がある」云々もただの思い込み
代数学が苦手な奴がどこで躓いているのかというのは、多くの数学科教員は認識していて、それは「公理から証明する」云々とはほとんど関係ない
具体的なポイントはたとえば以下。
・線形代数をやる際に、高校で行列や一次変換をやっていない
・一階述語論理に慣れていない
・商集合、双対空間などが理解できていない
等。
- 485 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/03(木) 11:01:26.03 ID:6U/HRTRR.net]
- あと、数学的に間違った記述が誰からも指摘されないのは良くないと思うので指摘しておく
> ガロア理論では作図が主に扱われるからユークリッド幾何学応用になっている
全く違う
ガロア理論が扱うのは代数拡大の構造であって、作図はその一例にすぎない
また作図は特に重要な例でもない
> 群論やガロア理論は対称性を扱う数学で対称性とは回転や相似変換などの一般化だから
> やはりユークリッド幾何学を学ぶことは群論やガロア理論を学ぶことに役立つ
これも相似変換などは、群作用の一例に過ぎず、群論をやるためにユークリッド幾何学が必要ということではない
そもそも、相似変換などをユークリッド空間への群作用として扱うなら、ユークリッド幾何学の枠組で扱うよりも、解析幾何の枠組で扱う方が自然
> 特に群論では、群の正規群（特異点を持たない群）による商で対称性を分類する
意味不明
「正規群」っていうのが正規部分群のことなら、定義が全然違う
正規部分群は内部自己同型で不変な部分群のこと
> この割り算にはユークリッドの互除法のアルゴリズムを用いることができるからユークリッド幾何学の応用になっている
これも意味不明
剰余群をとる操作と、整数の割り算はほとんど関係がない
そもそも「ユークリッドの互除法」は初等整数論の理論であって、ユークリッド幾何学とは全然関係ない
> 群論の一部であるリー群ではユークリッド空間の回転である直交群を扱うからこれもユークリッド幾何学が直接役に立つ
「リー群」を「群論の一部」だと思っている人はほとんどいない
これも上で述べたように回転や鏡映などを群として扱うなら、ユークリッド幾何学ではなく解析幾何の枠組で扱う方が自然
もう疲れた
ほとんど数学を知らない（おそらくユークリッド幾何学すら知らない）奴が、想像上の基準に基づいて「ユークリッド幾何学は必要」と言っている
相手にする価値無し
- 486 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/09/03(木) 11:29:14.19 ID:9okSQb6o.net]
- >>481
そう言われるとそうかもしれんな
>>484
少なくとも俺と俺以外がいる
俺は下2つだが、>>485で指摘してることは全て俺のレスではないな
そんなものを重視してる人はごく一部を除いていない、とあるが、
https://matheducators.stackexchange.com/questions/2074/is-euclid-dead-or-should-euclidean-geometry-be-taught-to-high-school-students
では21票入っており最多得票の回答となっている
抽象代数学が厳密ではないという話は、深く考えるとややこしい話になりそうだが、
少なくとも例えば環の中で「積の単位元の和における逆元 を2つかけると、積の単位元になる」となることに集合云々は必要ない
こういう推論は環の公理しか使わない厳密なものだろう
- 487 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/03(木) 12:04:56.81 ID:MbmLWA+Y.net]
- そう思うなら文科省に訴えてくればいいじゃん
「stackexchangeで22票獲得してるんですよ」
って言ってさ
- 488 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/03(木) 12:10:45.62 ID:MbmLWA+Y.net]
- > 少なくとも例えば環の中で「積の単位元の和における逆元 を2つかけると、積の単位元になる」となることに集合云々は必要ない
じゃあ、高校数学における多項式の定義や定理も与えられた仮定にのみ基づいているので厳密なものです
あなたが「厳密」の意味を場当たり的にすり替えているだけです
- 489 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/09/03(木) 12:41:06.62 ID:9okSQb6o.net]
- >>488
多項式の理論が展開できる公理系があったら、それで論文が書けそうなレベルだが……
- 490 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/03(木) 12:45:48.43 ID:suN4tfLD.net]
- >>489
どういうこと？
ｋｗｓｋ
- 491 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/03(木) 13:00:07.50 ID:ZeLvSWTQ.net]
- もう論点ずらしと都合の悪いことに答えないことが癖になってるんだな
- 492 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/03(木) 13:42:28.35 ID:F6umGzGP.net]
- 数学科で勉強しながらずっとスレタイと同じこと思ってたわ
数学オタクしか使わんやんけ
- 493 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/03(木) 13:43:06.33 ID:kF2wa/4I.net]
- >>492
× 数学オタク
○ 受験数学オタク
- 494 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/09/03(木) 13:45:07.11 ID:9okSQb6o.net]
- >>490
もしも「多項式の公理系」みたいなものがあるなら、研究対象として興味深いかもしれないわな
そんなの見たことがないしふんわりとしか言えないが
今現在は多項式は環やら集合やらの概念に根ざしていて、>>418などで再三再四述べているように「公理系から出発して形式的証明をしていく」ような教え方は到底できないが
- 495 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/03(木) 13:57:08 ID:Mc9UxcV9.net]
- >>486
これ皮肉ってわからん？
- 496 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/03(木) 14:21:01.73 ID:kF2wa/4I.net]
- 迷惑な人には
名前をつけて区別しましょう
>>494
キミは「公理系くん」
わかったね？
- 497 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/03(木) 14:22:29.71 ID:Mc9UxcV9.net]
- 数学の公理で物理数学を考えないで欲しいな
物理は結局数学ではないし
数学はただの道具なんだから
- 498 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/03(木) 14:23:34.24 ID:Mc9UxcV9.net]
- 本質的に物理学には公理は存在しない
加えて現行の数学の公理はただの集合論の中の形式系の中の話であって公理＝万能な数学の原理真理ではないよ
- 499 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/09/03(木) 14:39:51.95 ID:9okSQb6o.net]
- >>495
ローコンテクスト文化にいるから分からんな
もうユークリッド幾何学に関しては
https://matheducators.stackexchange.com/questions/2074/is-euclid-dead-or-should-euclidean-geometry-be-taught-to-high-school-students
などをまずはよく読んで、海外の意見を把握してから主張してとしか言えんな
- 500 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/03(木) 14:40:34.64 ID:5VcwdFbB.net]
- 自然界は無矛盾なので真の物理学はその公理系の内部にある＾＾
- 501 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/03(木) 14:44:00.38 ID:6xrEcX11.net]
- そもそも
「公理系から論じていれば厳密な数学で、そうでなければ厳密ではない」
などと言うのは、原文にも書かれておらす、彼が勝手に持ち出した視点なのだが
まあ、妄想と現実の区別ができていないのだろうな
- 502 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/03(木) 14:45:20.97 ID:Mc9UxcV9.net]
- >>500
物理学に数学的な公理は存在しないと思う
数学的な公理もあくまでその形式系の空間内でのスタートなだけで数学の哲学的なレベルでのスタートではないからね
物理の場合数学的な公理は＝ただの記述の限界であると思うから物理学じたいの法則、物理学を包括した公理というのは存在しないと思うな
もっと言えば始まりの現象というのはあったのかということだと思う
少なくとも現代物理じゃわからないし
- 503 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/03(木) 14:46:55.41 ID:Mc9UxcV9.net]
- >>501
まぁそうだと思うけど
質問だけど、では数学上の厳密性とは何に因るの？
あくまで形式系のなかでの話ではないの？
- 504 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/03(木) 14:55:26.02 ID:6xrEcX11.net]
- >>503
そもそも「数学上の厳密性」という観点を議論に持ち込んだのはあなたであって、あなたの想像上の概念なのですから、我々が知る由もありません
- 505 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/03(木) 15:05:55.15 ID:6xrEcX11.net]
- それ以前に、参照先に書かれていないことを不正に引用したことへの釈明はないのでしょうか？
- 506 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/03(木) 15:16:01.07 ID:Mc9UxcV9.net]
- >>504
俺「数学上の厳密性」なんて一言も言ってないけど
誰かと勘違いしてない？
俺はレスバをしたいんじゃなくて単純に質問したんだよ
- 507 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/03(木) 15:17:19.07 ID:Mc9UxcV9.net]
- あと数学上の厳密性っていうのが想像上の概念ってのもよくわからん
数学には厳密化運動は確かに存在しただろ
- 508 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/03(木) 15:20:10.61 ID:6xrEcX11.net]
- またすっとぼけて誤魔化すんだ
懲りないね
- 509 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/03(木) 15:23:07.11 ID:Mc9UxcV9.net]
- >>508
は？俺のレスの履歴でも見ろよ
あとお前のレス全く内容がないんだな
- 510 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/03(木) 15:23:54.69 ID:Mc9UxcV9.net]
- >>508
なんで物理数学や応用数学やってる奴が数学の厳密性なんて気にするんだよw
- 511 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/03(木) 15:26:47.34 ID:mphDjIpS.net]
- 「自分に都合の悪いことは見えない」
という病気なんだな
- 512 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/03(木) 15:31:32.29 ID:Mc9UxcV9.net]
- >>511
それはお前がな
- 513 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/09/03(木) 15:46:01.77 ID:PrbiJqms.net]
- >>479
物理数学を専門にしている人は今はいない筈。主に数理物理か理論物理か応用数学のどれかだな。
物理数学の内容にもよるが、物理をする人にとって物理数学は出来て当たり前。
高校の教科書は下らないけど、ここで文科省が関わるような数学教育をいくら議論しても意味ない。
- 514 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/04(金) 03:51:19 ID:0DCXjVY3.net]
- 結局アンチとクレーマーの掃き溜めだなここは。
- 515 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/04(金) 10:21:52.44 ID:QWqAAWzR.net]
- >>514
同意
世界的に見てユークリッド幾何学を教えるべきなのは常識
ユークリッド幾何学では公理系から始めて論述によって命題を証明する
これは現代数学の基本
群論やガロア理論などの抽象代数学も公理系から始めてすべての命題を示す
代数や微分積分はただの計算だからユークリッド幾何学をやらなければ論述の力が身につかず
抽象代数学が理解できなくなってしまう
- 516 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/04(金) 10:29:35.04 ID:QWqAAWzR.net]
- https://matheducators.stackexchange.com/questions/2074/is-euclid-dead-or-should-euclidean-geometry-be-taught-to-high-school-students
を見れば明らかなように
海外ではユークリッド幾何学を教えるべきという意見が主流
アンチはユークリッド幾何学を教えるべきとする意見が21票を獲得していることをどう思うのか
- 517 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/04(金) 10:37:41 ID:QWqAAWzR.net]
- ユークリッド幾何学は現代数学や物理の基本にもなっている
リー代数という抽象代数学の公理系では、リー群やリー環などの
ユークリッド幾何学の回転や相似変換を一般化した構造を扱う
ユークリッド幾何学を学ばなければこういうものも分からなくなってしまう
- 518 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/04(金) 11:27:08 ID:hI8rxTNt.net]
- いやお前もユークリッド幾何以外のアンチだから。
ユークリッド幾何アンチとユークリッド幾何以外のアンチが不毛な戦争してるだけだから。
- 519 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/09/04(金) 11:35:34 ID:fw4sb+Ex.net]
- >>515
>代数や微分積分はただの計算だからユークリッド幾何学をやらなければ論述の力が身につかず抽象代数学が理解できなくなってしまう
文脈上代数とは線形代数を指すのだろうが、線型代数も微分積分もただの計算ではない。
ユークリッド幾何をしなくても、抽象代数は理解出来る。
ユークリッド幾何は大事だが、公理系からやり出したらキリがないから、趣味でやればいい。
平行線の公理が実は公理になってはなく、非ユークリッド幾何が誕生した過程などの歴史的背景も大事。
>>517
>リー代数という抽象代数学
リー代数は、抽象代数というより、リー群の表現論かリー代数の表現論で扱い、
任意の体上のリー括弧積による特殊な制約がついた線型空間で、線型代数で扱うことも出来る。
- 520 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/04(金) 12:17:28.90 ID:NGerw1dN.net]
- >>519
それはあなたの解釈ですよね
https://matheducators.stackexchange.com/questions/2074/is-euclid-dead-or-should-euclidean-geometry-be-taught-to-high-school-students
などの海外サイトでは
ユークリッド幾何学を教えるべきという意見が
21票で最多の得票をしていることについて
どう思っているのでしょうか？
- 521 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/09/04(金) 12:39:00.43 ID:fw4sb+Ex.net]
- >>520
高校以下であれば、どうしても教科書作りやセンター試験などで、最終的には文科省が関わって来る。
高校以下の数学は、基本的には文科省の検定に通った教科書に沿って教えている。
そういう高校以下の数学教育の内容をここで議論しても意味ない。
- 522 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/04(金) 15:42:06.48 ID:vVArViGn.net]
- >>521
負けを認めるわけね
- 523 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/04(金) 15:44:58.29 ID:vVArViGn.net]
- つまり結論はユークリッド幾何学は必要ってことで
- 524 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/04(金) 16:10:23 ID:TE9LdJE/.net]
- スレタイは、中学高校教育から、だからねえ
「高校以下の数学教育の内容をここで議論する」ものだと思うよね
大学の数学に必要か、という話でユークリッドの公理系からスタートして幾何学をやるべき、と主張してる人は居ないんじゃないかな。流石に。
- 525 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/04(金) 16:14:21 ID:XbmiQvll.net]
- 〜ここまでのまとめ〜
ぼくわずけえがにがてなのでてすとにださないでください
てすとにでないのでべんきょおしなくてもいいです
ずけえはいりません
- 526 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/04(金) 16:53:47 ID:3phS7bcx.net]
- >>525
同意
ユークリッド幾何学不要派は自分が問題解けないコンプレックスで
ユークリッド幾何学が教育に不要とこじつけているだけ
https://matheducators.stackexchange.com/questions/2074/is-euclid-dead-or-should-euclidean-geometry-be-taught-to-high-school-students
のような海外サイトでは
ユークリッド幾何学が必要であると
説得力ある根拠付きで述べられている
- 527 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/04(金) 17:04:54 ID:3phS7bcx.net]
- ユークリッド幾何学では公理系から論述によって命題を導く
これは現代数学の基本
代数や微分積分などは計算さえできればできるが
ユークリッド幾何学では厳密な論述を学べる
ユークリッド幾何学をやらなければ、抽象代数学などが理解できなくなることは自明
- 528 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/04(金) 17:08:40.44 ID:3phS7bcx.net]
- >>524
https://matheducators.stackexchange.com/questions/2074/is-euclid-dead-or-should-euclidean-geometry-be-taught-to-high-school-students
では21票で最多の指示を受けています
これについてはどうお考えでしょうか
- 529 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/05(土) 01:46:58 ID:zHK4gEvT.net]
- >>528
それは、中等教育では数学がただの計算ではないと知るために有効という意見でしょう？
高等教育で幾何学をどう教えるか、ということには触れてないと思うから、>>524で言ったことと交わる部分がないと思うんだけど、何を主張したいの？
- 530 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/09/05(土) 14:33:46.01 ID:eaK3tyIy.net]
- 私はスレを頭からはよく読んでいないから
「スレタイどおりに不要」という人々が
いるとは思えないけど、
「まともな反論」があったら知りたいものです。
このスレの過去か、未来に。
ここで「まともな反論」というのは、
[1]ユークリッド幾何学やれば解析幾何は不要、っていう意味に
拡大解釈（こじつけ）せず
[2]ユークリッド幾何学なしにユークリッド距離を理解・納得する
代案を提示
した反論。はいどうぞ。
ただし、何の反論にもならない無理やりなレスは不要です。
- 531 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/09/05(土) 14:39:17.40 ID:eaK3tyIy.net]
- スレタイの「廃棄すべき」に、賛成派か反対派かに二分するようなら、
対立軸を明確にして、各派の論点を比較できるようにしたいものだね。
第三者的な目線で、まとめるのは難しいかな。数学知識者らしからぬ。
- 532 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/05(土) 14:46:26.86 ID:zjQoHbPy.net]
- >>530
君は「ユークリッド距離くん」
わかったね？
- 533 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/05(土) 21:05:29.27 ID:NhCiefx6.net]
- 不毛な叩き合いしてる暇あったら文部科学省に就職したらいいだろ
- 534 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/09/07(月) 14:00:41 ID:a9Sokd/8.net]
- 高専出身の俺としてはユークリッド幾何学はやるべきだよ
高専数学はまさにスレ民が提案するような線形代数や微積分などの実用的な数学がメインだったけどそのせいで空間認識能力とかが身につかなかった
実際に研究したり高度な学問をするには空間認識能力は必要不可欠でそれが欠落してるというのは致命的と言う他ない
故に直観的なイメージ能力を鍛えるためにもユークリッド幾何学は必要不可欠、むしろデータ分析とかそういうのが不要
- 535 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/07(月) 15:23:33.26 ID:0mBB8SJ4.net]
- ユークリッド幾何学で空間認識能力が身につくという根拠は？
3次元空間は座標空間やベクトルでも扱えるわけだけど、それでは身に付かないの？
- 536 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/07(月) 15:31:24.78 ID:8ISlPvg1.net]
- 身に付きませんね。
ユークリッド幾何学では公理系から論述によって命題を導く。
これは現代数学の基本。
代数や微分積分などは計算さえできればできるが
ユークリッド幾何学では厳密な論述をしなければいけない。
- 537 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/07(月) 16:50:38.52 ID:bE/6WhUJ.net]
- >>534
空間認識能力とは？
線形代数とはまさに空間認識そのものだが？
- 538 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/07(月) 18:33:48.07 ID:tporYAIp.net]
- なんでもいいから 科学技術分野の実験ん、製図をかいてみな。
https://i.imgur.com/Hs1SEQI.gif
- 539 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/08(火) 11:57:48.39 ID:1AxSeWu3.net]
- >>536
どの分野も計算だけじゃできないよ。
論述はどの分野も必要。
それに計算を論述じゃないと思ってるようだが、
計算とはある式や数値が見かけが異なる別の式や数値と等しいことを証明する行為で、立派な論述だよ。
- 540 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/08(火) 12:00:00.74 ID:1AxSeWu3.net]
- どの分野も論述が必要。
だからこそ、特定の分野を外せなどというのは単にその分野が気に入らないからに過ぎない。
- 541 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/08(火) 18:10:01.11 ID:lcPieF1g.net]
- 明らかに結論出てるからもっも生産的な議論をしよう
- 542 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/08(火) 18:11:27.72 ID:lcPieF1g.net]
- ユークリッド幾何学はやる必要はなく、余弦定理を示す道具として必要な事項のみ教えればよい
これが結論
- 543 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/08(火) 18:14:52.39 ID:lcPieF1g.net]
- まず余弦定理
△OABにて∠AOB、OA、OBが分かっているとする
点AからOBに垂線を引きその交点をHとすると
相似な直角三角形△OAHと△ABHができるので
この2つに三平方の定理を適用することで余弦定理が出る
したがってまず三平方の定理が必要
- 544 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/08(火) 18:17:14.99 ID:lcPieF1g.net]
- 三平方の定理
△OABにて、∠AOBが直角とする
これも点OからABに垂線を引き、その交点をHとすると
相似な三角形△OAHと△BOHができて
これから三平方の定理が分かる
なので、三角形の相似条件が必要
- 545 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/08(火) 18:18:16.55 ID:lcPieF1g.net]
- 三角形の同値条件を示すには
中点連結定理とその逆が必要
- 546 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/08(火) 18:18:36.79 ID:lcPieF1g.net]
- × 同値条件
○ 相似条件の同値性
- 547 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/08(火) 18:20:09.80 ID:lcPieF1g.net]
- 中点連結定理とその逆を示すには
平行四辺形の成立条件の同値性が必要
- 548 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/08(火) 18:20:44.17 ID:lcPieF1g.net]
- 平行四辺形の成立条件の同値性を示すには
三角形の合同条件の同値性が必要
- 549 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/08(火) 18:22:53.95 ID:lcPieF1g.net]
- 三角形の合同条件の同値性を示すには
平行線の同位角が等しいことを使う
これがユークリッド幾何学の公準
なので、
平行線の同位角は等しく、逆に同位角が等しければ平行線
を認めて、上の議論を逆にたどればよい
- 550 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/08(火) 18:30:03.80 ID:lcPieF1g.net]
- まず2つの直線の対頂角は等しい
αとβ、γとδが対頂角とすると
α + γ = β + δ (= 180°)
α + δ = β + γ (= 180°)
なので
α - β = γ - δ = 0。□
これには「直角はどこに描いても等しい」という公準（と等式の性質）を暗に使っているが、
まあ中学生や高校生相手なら敢えて意識させることもなかろう
- 551 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/08(火) 18:32:41.93 ID:lcPieF1g.net]
- で、平行線の同位角が等しいことと、2直線の対頂角が等しいことから
平行線の錯角が等しいこと、また錯角が等しければ平行線
ということが分かる
- 552 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/08(火) 18:35:34.28 ID:lcPieF1g.net]
- 平行線の錯角が等しいことから
三角形の内角の和は常に180°であること
が分かる
ある頂点を通って、その対辺に平行な直線を引けばいい
- 553 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/08(火) 18:47:55 ID:lcPieF1g.net]
- 三角形の合同条件で最もよく使われるものは以下の3つ
(1) 3辺の長さがそれぞれ等しい
(2) 2辺の長さとその間の角がそれぞれ等しい
(3) 1辺の長さとその両端の角がそれぞれ等しい
このどれかを定義にして、他2つは定理とする
（つまり、定義をみたすならそれが成り立ち、逆にそれが成り立つなら定義もみたすことを示す）
まあ直感的に2つの三角形がぴったり重なるイメージに一番近いのは(2)だろうから
(2)を定義にすればいいんじゃなかろうか
- 554 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/08(火) 18:55:18 ID:lcPieF1g.net]
- まず(2)⇒(1), (3)は明らか
平行線の性質を使えば(2)の否定から(3)の否定が言えるので(2)⇔(3)
同様に(3)の否定から(1)の否定が言えるから
(1)⇒(3)⇔(2)⇒(1)
なので(1)⇔(2)⇔(3)
- 555 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/08(火) 18:59:52 ID:lcPieF1g.net]
- 平行線の性質と三角形の合同条件から
これで平行四辺形の特徴付け
・対辺同士が平行
・対辺同士の長さが等しい
・対角同士の大きさが等しい
・対角線がそれぞれの中点で交わる
の同値性が証明できる
- 556 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/08(火) 19:06:20.18 ID:eorQ5dCo.net]
- 平行四辺形の性質をやるついでに
三角形の面積の公式を証明できる
- 557 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/08(火) 20:18:26.96 ID:/6ZUXgin.net]
- 合同条件やると二等辺三角形の特徴付けが示せる
二等辺三角形の特徴付けと合同条件から、円周角の定理とその逆を示せる
（もちろん、「円が存在する」ことは認める）
- 558 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/08(火) 20:29:27.18 ID:/6ZUXgin.net]
- 中点連結定理を示すと、三角形の相似条件が同値であることが示せて、三平方の定理が示せる
ここまでが通常中学校でやる平面幾何学のすべて
相似条件を直角三角形に対して考えると三角比が定義できて、
三角形の相似条件と三平方の定理から余弦定理が示せる
ユークリッド幾何学はここまででオーケー
作図はいらない
三角形の重心や垂心はベクトルで扱えばよい。外心の存在は円周の方程式からただちに分かる。内心と傍心は全く重要ではない
チェバだのメネラウスだのは不要
- 559 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/08(火) 20:36:01.32 ID:/6ZUXgin.net]
- 立体は明らかにベクトルおよび微分積分を用いて扱うべき
まあ、微積をやるまで円の面積すら分からないのはアレなので
例の三角形の面積で近似するやつで説明しとけばよかろう。実際これは正しいわけだし
球の体積は、円柱から円錐を引いたものとどの断面でも断面積が同じことから証明可能
（まあ、断面積が同じなら体積が同じなのは積分を使って証明するんだけど。あと、円錐の体積も）
- 560 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/08(火) 20:38:34.08 ID:/6ZUXgin.net]
- むしろ積分の考え方を早めに導入できる例なので積極的に扱うべき
- 561 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/08(火) 20:44:28.41 ID:/6ZUXgin.net]
- 平行線の公準からスタートして形式的にやっても
・無駄なことをやらず
・適宜、実例を交えて
やれば、わりとコンパクトかつ分かりやすくまとめられる気がする
- 562 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/08(火) 21:35:49 ID:I3t8ZAZE.net]
- 相似条件の同値性ってどうやって示すの
相似比が無理数のときどうしようもなくね
- 563 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/08(火) 21:59:00.71 ID:I3t8ZAZE.net]
- まず直角三角形について示して、面積比で示すか
- 564 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/08(火) 22:40:25.47 ID:bb70YJis.net]
- 台形の中点連結定理を使うか
- 565 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/09(水) 00:01:41.23 ID:C0ClCchY.net]
- 公準
L, L', L''を直線とし、LはL', L''と交わるとする。
このとき、同じ側の内角の和が180°より小さければ、L'とL''はそちら側の1点で交わる
- 566 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/09(水) 00:12:58 ID:C0ClCchY.net]
- 定理1
L, L', L''を直線とし、LはL', L''と交わるとする。
L', L''が平行 ⇔ その同位角は等しい
∵
⇒) 公準の対偶より、L', L''が平行ならば、Lのどちら側の内角の和も180°より小さくない
両側の内角の和は360°だから、どちら側の内角の和も180°
同位角 = 180° - 反対側の内角 = 元の角
<=) 同位角が等しければ、そちら側の内角の和は180°
両側の内角の和は360°だから、反対側の内角の和も180°
よって、L', L''は交わらない
- 567 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/09(水) 00:19:05 ID:C0ClCchY.net]
- 定理2
対頂角は等しい
∵
2直線のなす角をα, β, γ, δ、
αとγ, βとδが対頂角とすると
α + β = γ + δ = 180° --- (1)
β + γ = δ + α = 180° --- (2)
よって
(1)の左辺 - (2)の左辺より
α - γ = 0
(1)の左辺 - (2)の右辺より
β - δ = 0
- 568 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/09(水) 00:22:14 ID:C0ClCchY.net]
- 定理3
L, L', L''を直線とし、LはL', L''と交わるとする。
L', L''が平行 ⇔ その錯角は等しい
∵
錯角は同位角の対頂角なので、定理1, 2より従う
- 569 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/09(水) 00:25:49 ID:C0ClCchY.net]
- 定理4
△ABCの内角の和は180°
∵
点Aを通り、辺BCと平行な直線を引く
∠A + ∠Bの錯角 +∠Cの錯覚 = 180°
なので、定理3より
∠A + ∠B + ∠C = 180°
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