ユークリッド幾何学は中学・高校数学から撤廃すべき

1 名前：１３２人目の素数さん [2020/02/05(水) 23:14:26 ID:wk+QTUAy.net] なんの役にも立たない 余弦定理の証明に使う事実をその場で紹介して、それでお終いで良い 374 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/30(日) 20:00:15.33 ID:ZFDWT5Ci.net] >>371 > アメリカの高校では、逆に幾何学以外の講義は計算ばかりで理由が明らかにならないんだが、 > その反動として、幾何学の講義では「厳密な形で」証明を学ぶ これも何度も言われてるように、数学はすべて証明問題なのだから、代数だろうが幾何だろうが証明を課せばよい話 また日本の場合、大学入試はもちろん、高校入試でさえほとんどが論述式で、数学的に厳密に合ってなきゃ点くれないけど 375 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/30(日) 20:40:52.20 ID:37KGVLJ1.net] >>374 代数は視覚化できない 376 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/30(日) 20:50:19.07 ID:fBQLIFXj.net] >>375 �@ 「代数も厳密な論述を課すことができる」ということを言っているのであって、視覚化できるかどうかを問題にしていません。 �A そもそも代数は視覚化できます。「2次曲線と直線が接するのは、定義する多項式が重根を持つことと同値」「x^2 + y^2 = 1は単位円周を表わす」など。 論点をずらさないで下さい。 後出しで条件を足すならば、「なぜそのような条件が問題になるのか」を明らかにして下さい。 377 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/30(日) 20:53:55.07 ID:37KGVLJ1.net] >>376 論点はスレタイ スレタイに対して21票貰ってる答えがある(ただし「日本のユークリッド幾何学」ではない) その回答である「ユークリッド幾何学は3つの特徴を持つ」に対して、「でも2つ目の特徴は代数でもできる」などと局所的に反論することこそが論点からずれている 378 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/30(日) 20:57:23.97 ID:37KGVLJ1.net] 主題を議論したいならやるべきことは「21票も貰っている回答を否定できるほどのものを持ってくる」ことであって、「俺を言い負かす」ことではない だから俺に対する意見を求めることは論点から見てなんの意味も無い 379 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/30(日) 21:02:09.17 ID:fBQLIFXj.net] >>377 �@ 局所的にではなく、すべての論拠に対して反論しています。 「証明がある」「視覚化できる」という論拠に対しては、代数でも全く同様のことが言えると言っています。 「計算がない」という論拠に対しては、>>372で「それがどうして理由になるのか」と質問しています。早く答えて下さい。 �A そもそも「論点の1つに反論するのは論点ずらし」というのは意味不明です。 380 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/30(日) 21:04:11.88 ID:fBQLIFXj.net] >>378 要は議論する気がないと言うことね ついでに言えば、stack exchangeの回答よりも説得力のある対立意見はこのスレで何度も出ている 381 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/30(日) 22:06:46 ID:37KGVLJ1.net] >>379 代数がユークリッド幾何学と比較しても視覚化できるということに同意する人はあまりいないと思う 実際、俺はそうは思わないので、あなたが代数を持ち出したところで「ユークリッド幾何学の視覚化できるという利点を無視して、局所的に反論している」ように見えた どうしてそれが理由になるのか、は Many proofs in Euclidean Geometry include no calculations at all, others only as small substeps. Consequently, students can learn that way, that maths is not just calculations. と記載されている >>380 それを確証バイアスと言います 382 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/30(日) 22:20:58.57 ID:5icKnGWa.net] >>381 > 代数がユークリッド幾何学と比較しても視覚化できるということに同意する人はあまりいないと思う んなこたないでしょ 現状、日本の高校2年生以上の数学（幾何学）はユークリッド幾何学式の方法によらないやり方で記述されているんだけど 383 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/30(日) 22:24:57.35 ID:5icKnGWa.net] というより、このスレの何人かが言っているような 「ユークリッド幾何学を公理から初めて厳密に展開すべき」 なんてことを主張している人こそ少ないでしょ 事実、現状そうなっていないし 384 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/30(日) 22:29:34.50 ID:37KGVLJ1.net] >>382 ベクトルのこと？ もしベクトル空間から始めるならやはり可視化しづらいし、 高校数学的なベクトルなら結局計算でしょ 「3つの条件すべて」を満足する代替案を持ってこないと上の回答の反論にならないって >>383 日本ではそうだな でも日本のやり方、日本人の考え方が正しいとは限らないしな 385 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/30(日) 22:30:21.03 ID:5icKnGWa.net] これも何度か言ってるのに無視されるんだけど、>>376に書いてある 「放物線と直線が接する条件」（中学3年生〜高校1年生で習うごく基礎的な事項） を、座標と多項式使わずに、ユークリッド幾何学の公理から定式化して欲しいんだけど 386 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/30(日) 22:37:05.21 ID:5icKnGWa.net] >>384 > ベクトルのこと？ ベクトルに限らず、座標平面も、三角関数も、複素平面も、微分積分も、二次曲線も全部そうだけど > 「3つの条件すべて」を満足する代替案を持ってこないと上の回答の反論にならないって これも何度も言ってるが 「その3条件を満たす ならば 高校数学で教えるべき」 という根拠を示せよ 特に�Bの「計算がない」ってやつを 387 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/30(日) 22:44:28.52 ID:5icKnGWa.net] >>386で言っている根拠について >>370に書いてあるような論拠で言ってるなら、それについては反論しているから、再反論をするべき そうでないなら、新しい論拠を示すべき 388 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/30(日) 23:03:20.03 ID:37KGVLJ1.net] >>386 おおよそ代数じゃないしやはり計算がメインだな 当てずっぽうで解けるのを防げるだのは全く関係ないのでともかく、 体積を求める問題やら放物線と直線が接する条件やらをユークリッド幾何学の範疇でやるとは誰も言ってない ユークリッド幾何学のwikipediaにも「最初の公理系と形式的証明として教えられる」とあるように、それが目的なわけで、放物線と直線が接する条件やらは必要なら別の機会にやればいい 389 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/30(日) 23:47:46 ID:lJULvR7z.net] まあ確かに掛け算の順序問題的な側面はあるのかもね 論理が正しければどこまでもついて来れる人と、 論理の正しさよりも身体的な感覚との一致や、問題を解く上でのルールがないとついて来れない人のどっちもいて、 どちら向きの授業をすればいいのかという話。 促成教育を狙うあまり結果として現場や細部が歪んでしまっているということはあるのだと思う。 390 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/31(月) 04:52:44.57 ID:NQCGKPkd.net] 代数式オンリーの立場だったら、例えば、三角形の内角の和が180°という定理の証明はかなり難しいと思う。 そもそも角度の概念を代数式だけで会得するのは無理 天下りの定義を覚えるのが関の山で教育的ではない 391 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/31(月) 05:03:13.56 ID:RBiy3OQM.net] >>390 そうだね でも、そんなこと誰も主張してないよね 392 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/31(月) 11:18:16.53 ID:IimFfnh5.net] >>388 何度も言ってるんだけどさ、 「公理系と形式的証明を教えられる ならば ユークリッド幾何学を教えるべき」 となる根拠を示してよ 393 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/31(月) 11:59:39.06 ID:HOEGN9xh.net] >>381 > Consequently, students can learn that way, that maths is not just calculations. これは単なる教え方の問題であって ユークリッド幾何学に限らないですよね 394 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/31(月) 12:21:49.13 ID:Q32UwMtw.net] >>392 現代数学、特に抽象代数の基本だからだが >>393 数学はただの計算ではないことを学べて、かつ第一、第二の理由も満たすものでユークリッド幾何学以外に例えば何？ 395 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/31(月) 12:22:34.17 ID:HOEGN9xh.net] >>394 > 数学はただの計算ではないことを学べて、かつ第一、第二の理由も満たすものでユークリッド幾何学以外に例えば何？ すべての数学がそうだろ 396 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/31(月) 12:25:50.45 ID:HOEGN9xh.net] >>394 > 数学はただの計算ではないことを学べて、かつ第一、第二の理由も満たすものでユークリッド幾何学以外に例えば何？ 二次関数 三角関係 解析幾何（数2の図形と方程式） ベクトル・一次変換 複素平面 二次曲線 微分積分 すべて �@ 可視化できて �A 様々な方法で証明できて �B ただの計算ではないことを学べる 397 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/31(月) 12:30:00 ID:HOEGN9xh.net] >>394 > 現代数学、特に抽象代数の基本だからだが じゃあ微分積分やベクトルにおける論証は現代数学の基本ではないの？ 398 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/31(月) 12:36:22.54 ID:Q32UwMtw.net] >>396 ただの計算だが 逆に聞きたいんだけど回答者+21票の22人全員が、それを知らずにユークリッド幾何学を認めたと思ったの？ >>397 だから微分積分の講義もベクトルの講義もあるだろ 399 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/31(月) 12:49:06 ID:Q32UwMtw.net] 微分積分やベクトルで論証が学べる、と思ってるというのは、 そもそも抽象代数学のような厳密な数学が微分積分、ベクトルの計算より歴史的に圧倒的に後であることを知らないのだろう 微分積分、ベクトルなど「だけ」をやっても、抽象代数学が発展する前の非厳密な数学の時代と同じこと 400 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/31(月) 12:52:23 ID:Q32UwMtw.net] と思ったけど矢印ベクトルはそんな昔でもなかった まあ矢印ベクトルは19世紀で抽象代数学は20世紀初頭 もし微分積分やベクトルによって厳密な数学の理解が得られるのなら、抽象代数学の登場はもっと早かったということになる 401 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/31(月) 13:13:42.96 ID:sekpxyAl.net] >>398 > ただの計算だが では、以下の命題を「ただの計算」で示してみて下さい。 �@ 実数係数の多項式f(x)と、0でない実数係数の多項式g(x)に対して、多項式q(x), r(x)が一意的に存在して、f(x) = q(x)g(x) + r(x) (deg(r) < deg(g))を満たす �A tan(1°)は無理数である �B 実数係数の3次多項式は、実数根を少なくとも1つ持つ > 逆に聞きたいんだけど回答者+21票の22人全員が、それを知らずにユークリッド幾何学を認めたと思ったの？ 22人が「ユークリッド幾何学を認めた」から何なんだ？ こっちは首尾一貫して、「その論拠はユークリッド幾何学に限らず当てはまるから、ユークリッド幾何学を特別教えるべき理由にならない」と言っている それに対して全く反論がてきていないのはそっち > だから微分積分の講義もベクトルの講義もあるだろ じゃあ、微分積分の講義とベクトルの講義をすれば「現代数学の基本」は学べるわけだから、ユークリッド幾何学は必要ないよね 402 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/31(月) 13:22:33.00 ID:sekpxyAl.net] >>399-400 全く以て意味不明 > 微分積分やベクトルで論証が学べる、と思ってるというのは、 > そもそも抽象代数学のような厳密な数学が微分積分、ベクトルの計算より歴史的に圧倒的に後であることを知らないのだろう > 微分積分、ベクトルなど「だけ」をやっても、抽象代数学が発展する前の非厳密な数学の時代と同じこと �@ 微分積分やベクトルが「厳密な数学ではない」というのが間違っている 日本の高校数学では極限の定義と中間値の定理の証明を省略していることを除いて、すべての命題に対して証明を与えている （円周の長さの定義が循環論法になるが、それを問題にするなら、ユークリッド幾何学を前提に円周の長さを扱っているカリキュラムはすべて同様） �A 現れた時代が前だから厳密でないというのも間違い そもそもそれを言ったらユークリッド幾何学は微分積分なんかよりもずっと前に出現しているのだが 403 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/31(月) 13:23:15.89 ID:Q32UwMtw.net] >>401 例えば「多項式ってなんですか？」っていう論理ギャップの指摘に「多項式環の元です」と答えられる高校生はどれだけいるのか 計算でなければその問いに答えられる高校生はほぼゼロだろうね ユークリッド幾何学の講義にはそれがない 上にも書いたが「理由」が明らかになるアメリカの唯一の講義が幾何学 そもそも22人の指示がある回答をまるで理解できてないストローマン論法を繰り広げてるから、それに対して反論というのもおかしな話だが 微分積分と線形代数「も」現代数学の基本「の一部」は得られる 404 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/31(月) 13:26:19.75 ID:sekpxyAl.net] >>403 多項式の定義は中学の教科書に載っていますよ 405 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/31(月) 13:29:08.61 ID:Q32UwMtw.net] >>402 例えば多項式と多項式関数を同一視してるが、多項式関数の一致の定理は高校のどこで示してるんだ？ それ以前に多項式は多項式環の元のことだが、そう定義している高校数学の教科書なんてどこにあるのか ユークリッド幾何学およびユークリッドの公理系は前で、実際ユークリッドの公理系そのままでは現代から見て厳密ではない Burkhoff's axiomsやSMSG axiomsがその厳密化 >>404 中学の教科書で多項式環が説明してあると？ 406 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/31(月) 13:35:25.41 ID:eezJq8U+.net] そもそも、その基準で言えば「多項式環の元」というのも厳密ではないのだが 多項式環って何？ 環って何？ 集合って何？ という問に詳らかに答えていけば、最終的には公理的集合論に行きつくのだろうが、 「ユークリッド幾何学を教える意義」をこれと同レベルのものに求めるなら、まず間違いなくそっちの方がstackexchangeの回答を曲解してるぞ 407 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/31(月) 13:40:43.98 ID:Q32UwMtw.net] >>406 そうだな だから「最終的にユークリッド幾何学の公理系に行き着く」もので教えるんだけどな 408 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/31(月) 13:43:48.71 ID:eezJq8U+.net] どういう人が「ユークリッド幾何学を教えるべき」と言っているのかは、もう十分にはっきりしたと思う。 これ以上は議論の価値無し 409 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/31(月) 13:50:44.68 ID:5D4+y8sX.net] 「中学数学の図形の問題」 AB = 8, BC = 12, ∠B = 60°, ∠C = 40°のとき、 三角形ABCに外接している円の半径を求めよ。 中学数学の範囲での解説をよろしくお願いいたします。 suseum.jp/gq/question/3187 410 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/08/31(月) 13:53:41.41 ID:5D4+y8sX.net] 題意より AB : BC = 8 : 12 = 1 : 1.5　　　　････ (1) 題意より ∠A = 180°- ∠B - ∠C = 180°- 60°- 40°= 80° sin(C) : sin(A) = sin(40ﾟ) : sin(80ﾟ) 　= 1 : 2cos(40ﾟ) 　= 1 : 1.532088888　　　　　　････ (2) (1)(2) より、正弦定理が不成立。(矛盾) 中学数学の範囲でこの矛盾を示すのは難しいですね。 中には騙される人もいるのでは？ 411 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/31(月) 22:51:51 ID:aleATQLL.net] >>366 >>367 >>368 中傷はNG 412 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/31(月) 22:51:51 ID:aleATQLL.net] >>366 >>367 >>368 中傷はNG 413 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/31(月) 22:51:51 ID:aleATQLL.net] >>366 >>367 >>368 中傷はNG 414 名前：１３２人目の素数さん [2020/08/31(月) 22:54:15 ID:aleATQLL.net] >>408 議論の価値がないのは不要派がそういう中傷ばかりしてるからだぞ。 415 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/01(火) 00:53:14.05 ID:vYt34lhw.net] 中学・高校数学から排除すべきかどうかは義務教育、準義務教育をどうすべきかという話と密接に関連してるので、 数学的に論理の筋が通ってればいいかというとそういうものではないと思う。 きっと教育学は必要だし、割と学際的な知識が必要かと思うよ。 まずは過度に一般論化せず、自分の中高時代にどう感じたかを表明するべきではないか？ 416 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/09/01(火) 01:19:27.76 ID:Ax57znWV.net] 補助線パズル教えるくらいなら他の事教えろよとは思ったな これこそまさに「何の役に立つの？」ってやつだろ 417 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/01(火) 01:47:58.72 ID:t31d9Yry.net] どうしても廃止したけりゃ文部科学省に就職すればいい。 ただしここのようなヘイト丸出しの態度では省内からも社会からも賛同を得るのは難しいだろう。 418 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/09/01(火) 09:15:30.82 ID:OEAe+7as.net] >>408 どうも伝わってないようだが、公理的集合論だけでなく、群や環などの抽象代数も公理系から始めて形式的証明をしていくし、言わずもがな非常に重要な概念 でも抽象代数は視覚化できないし難しいから、ユークリッド幾何学で練習する、というのがアメリカの幾何学の役割だろう 上で貼った海外の回答を理解するには(そしてスレタイについて議論するには)アメリカなどの幾何学教育がどういうものかまず調べるべき 自分からは何も学ばないが主張はして、それに反対する者は言い負かそうとするだけの輩がぁ、多いんだよねぇ 419 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/01(火) 10:44:24.70 ID:UFuF6Htm.net] >>418 そうですね 私もそう思います 420 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/01(火) 10:46:08.42 ID:UFuF6Htm.net] >>418 私は完全に同意します 微分積分やベクトルは計算だけで底が浅いので教える価値はありませんが ユークリッド幾何学は絶対に教えなければいけません たとえば微分積分の問題は覚えた公式に当てはめれば計算するだけで解けますが ユークリッド幾何学は論理を完全に理解していなければ解けません ここに教育的な意義があります 421 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/01(火) 10:47:14.40 ID:UFuF6Htm.net] >>418 あなたが完全に正しいと思います ユークリッド幾何学の 公理から命題を導くというプロセスは 数学の基礎です したがって初等教育ではこれを教えなければいけません。 422 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/01(火) 10:48:34.50 ID:UFuF6Htm.net] >>418 公理系から厳密な論証を経て定理を導くというのは すべての数学の基本構造です 微分積分などは単に計算すれば当てずっぽうでも答えが出ますが ユークリッド幾何学はそうではありませんから そこに教育的意義があります 423 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/01(火) 10:50:21.24 ID:UFuF6Htm.net] >>418 ユークリッド幾何学の 公理や定義を提示する →命題を証明する というプロセスはすべての数学の構造です だから、ユークリッド幾何学が分かれば原理的にすべての数学が解けます 一方、微分積分などは単なる計算パターンの暗記であって数学ではありません これらは初等教育で教える必要はありません 424 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/01(火) 10:52:37.83 ID:UFuF6Htm.net] >>418 私は初頭教育の数学では ユークリッド幾何学を教えるべきだと思います 公理系から命題を導くというのは 数学の基本だからです 一方代数や解析は単なる数式の変形がメインであり 工学部などに進む一部の人以外は勉強する必要は無いと思います だから微分積分などは「計算（calculus）」という別の科目にすればよいと思います 425 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/09/01(火) 10:55:40.52 ID:OEAe+7as.net] >>420 微積分、ベクトルに教える価値がないとまでは俺は思ってない 研究する上で計算が必要なことは代数寄りの分野でもあるし、微積分や空間ベクトルが必須な分野も、微分幾何学など当然ある ただ計算「だけ」では抽象代数で躓くことは、この国を見ても示してしまっているように見える 426 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/01(火) 10:56:32.11 ID:UFuF6Htm.net] >>418 あなたはこのスレで一番内容のあることを言っている ユークリッド幾何学は最も由緒正しい数学 ユークリッド幾何学の公理から命題を導く厳密な証明は数学の基本だからみんなが学ぶべき ユークリッド幾何学を学ぶと ユークリッド幾何学には行間で忖度されるような 曖昧さが無いから数学を完全に理解できるし 証明を通じて論理的思考能力も身につく 代数や微積は機械的な計算であって 工学部などに行く人以外は学ばなくていい 427 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/09/01(火) 11:40:51 ID:Ax57znWV.net] 発狂して連レスしとるやんけ 428 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/01(火) 12:18:11 ID:0K/BUNuC.net] ID:Q32UwMtwがこのスレで唯一まともなことを言っているな こんな常識的なことを認められずにコンプ丸出ししてる奴は恥ずかしい 429 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/01(火) 12:21:33 ID:0K/BUNuC.net] 俺もユークリッド幾何学は教える必要があると思う 公理系から厳密な論述により命題を導くのは数学の基本 これを初等教育で学ばなければ高等数学で躓くことは必至 このような厳密な論証を抽象的なオブジェクトではなく 直感的な図形問題を通じて体得できるのはユークリッド幾何学だけ だからユークリッド幾何学は絶対に教える必要がある 430 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/01(火) 12:24:09.64 ID:0K/BUNuC.net] >>396 すべての数学が論証だなんて極論が 他人に説得力あると思ってるのは 精神が幼稚な証拠 431 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/09/01(火) 12:27:26.54 ID:Ax57znWV.net] 補助線パズルは必要ないよね 補助線パズルを教えるのに使う時間を今の半分くらいにすればもっと別のことを教えられる 例えば、高校一年生に教える「集合と論理」は前提となる知識はほとんど必要ないから、 中学で教えてもいいはず 432 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/01(火) 12:28:54.27 ID:0K/BUNuC.net] >>431 うん 補助線パズルは必要ない 433 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/01(火) 12:39:00.99 ID:7Py38MN6.net] >>431 補助線パズルは必要ないが 集合と論理もそんなに優先度は高くないと思う 高校数学の範囲内で有効に使う機会が多くない センター数学の「必要条件だが十分条件ではない」みたいな穴埋め問題くらいしか出すものがない 434 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/01(火) 12:44:01.00 ID:7Py38MN6.net] >>431 現代数学で集合論が絶対的に必要になるのは たとえば実数の完備性とかは1とか√2とか個別の元の性質ではなくて 実数全体の集合の性質であって、それを調べることがメインになるから 一方、高校までの数学は個別の数や図形や関数を調べることがメイン もちろん、数列とか、座標空間内の図形を表わすのに自然な方法ではあるので 表記法としては早いうちから使っていけばいいとは思う 435 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/01(火) 12:58:25 ID:bBBBI4+7.net] ユークリッド幾何学は高校で教える必要があると思います 代数分野はただの計算ですがユークリッド幾何学には曖昧さが一切ありません 単純な足し算でさえ厳密に論ずるにはペアノの公理系と無限集合の公理を明示する必要があります 高校生が理解できる範囲で厳密な公理的理論が展開できるのはユークリッド幾何学だけなのです 436 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/09/01(火) 12:58:37 ID:Ax57znWV.net] >>433 そう思われていることが一番の問題なんだよ まず、集合を意識することは、問題を「どの集合上で考えるか？」を明確にする意味で重要 例えば、「 x^2 + 1 = 0 の解を求めよ。」という問題に対し、「判別式が負なので実数解なし」という解答があったとする これは問題がどの集合上の解を求めるべきか明確にしていないので、間違いとは言えない 高校数学でも N, Z, Q, R, C を使えるようにするだけでも、上の問題は 「 x^2 + 1 = 0 (x∈R) の解を求めよ。」なのか「 x^2 + 1 = 0 (x∈C) の解を求めよ。」なのかハッキリ示すことができる 次に、命題と論理も重要で、高校数学では「同値変形」が非常に適当に行われている ⇔ という記号を使っておきながら実は ⇒ しか示せていないとか、そもそも証明になっていないとか あと大学入試だってもっと工夫した問題を出してもいいと思う 例えば、「命題 A と命題 B を以下とするとき、 A と B は同値であることを示せ。」とか、 「 A ⇒ B が成り立つことを示せ。また、逆は必ずしも成り立たないことを示せ。」とか、 「命題 A が真であることは命題 B が真であるための十分条件であることが知られている。このとき、 B が真であることを証明せよ。」 とかね 集合と論理は分野を問わずに重要だよ 他の分野と分けて扱われていることがそもそもおかしい 437 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/01(火) 13:19:03 ID:bBBBI4+7.net] ユークリッド幾何学では 公理系から一切の曖昧さ無く 有用な定理（三平方の定理など）を示すことができる そしてそのプロセスは高校生にも無理なく理解できる 一方、代数分野は足し算とは何とか多項式とは何とか 曖昧さだらけであって、それを解消するには 公理的集合論まで遡らなければいけない これがユークリッド幾何学が必要な 438 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/01(火) 13:21:14 ID:dABrX1bo.net] >>436 > 高校数学でも N, Z, Q, R, C を使えるようにする 使えるけど 複素数とか習わなかったの > あと大学入試だってもっと工夫した問題を出してもいいと思う > 例えば、「命題 A と命題 B を以下とするとき、 A と B は同値であることを示せ。」とか、 > 「 A ⇒ B が成り立つことを示せ。また、逆は必ずしも成り立たないことを示せ。」とか、 > 「命題 A が真であることは命題 B が真であるための十分条件であることが知られている。このとき、 B が真であることを証明せよ。」 そういう問題は現状も出題されてると思うけど 439 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/01(火) 13:22:56 ID:dABrX1bo.net] >>436 あなたの主張に同意しますが あなたが書いたようなことは現在の高校数学のカリキュラムで十分に実施されていると思います 440 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/09/01(火) 13:27:38.64 ID:Ax57znWV.net] >>438 >> 高校数学でも N, Z, Q, R, C を使えるようにする >使えるけど >複素数とか習わなかったの えっそうなの？ 何年度のカリキュラムから変わった？ 教科書とか入試の過去問に載ってる？ 441 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/09/01(火) 13:30:50.76 ID:Ax57znWV.net] >>439 >>431の意図を説明しておくと、中学のうちに「集合と論理」を教えておけば、 高校数学はもっと集合と論理を意識した教え方ができるってことね 442 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/09/01(火) 13:40:09.81 ID:Ax57znWV.net] >>438 >そういう問題は現状も出題されてると思うけど >>436は>>433へのレスだぞ >センター数学の「必要条件だが十分条件ではない」みたいな穴埋め問題くらいしか出すものがない 443 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/01(火) 14:04:02 ID:+KHzSV12.net] うーん 議論したがりで他人の意見を聞かない奴の多いスレだな 444 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/01(火) 15:22:33.54 ID:XrOwo2lT.net] >>440 実数や複素数といった数の体系は昔から標準的に教えられるし x^2 + 1は実数係数の範囲で既約だが、複素数の範囲では(x + i)(x - i)に因数分解できる などということは、普通に勉強していれば誰でも知っていると思う 大学への数学みたいな有名な参考書や、一部の入試問題では「Qで有理数全体の集合を表す」みたいなことは出てくる > センター数学の「必要条件だが十分条件ではない」みたいな穴埋め問題くらいしか出すものがない というのは、センター試験のように「集合と論理」の単元に限定したテストとしては、そういう問題しか出せないという意味 分野を限定しなければ、論理に関わる問題は普通に出ている 445 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/01(火) 15:24:01.33 ID:XrOwo2lT.net] 具体的な入試問題をあげろとかいうのは、面倒くさいので勘弁願いたい ともかく現実問題として、>>436の言っているようなことは現状十分に普及していて、私もその方針には同意する ということだけ書いておく 446 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/01(火) 15:25:18.20 ID:XrOwo2lT.net] これで何か不満があるのであれば、 それは私と議論していても解消しないと思う 447 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/01(火) 15:29:56.45 ID:5Mq2H/2e.net] >>435 賛成だな ユークリッド幾何学は厳密な論述を学べる唯一の分野 代数などの他の分野は計算さえできれば解けてしまう 公理から論述によって命題を導くことを厳密にやるのはユークリッド幾何学だけ 代数では多項式とは？集合とは？というのを誤魔化して厳密にやっていないが ユークリッド幾何学は公理から一切の曖昧さ無く証明できる唯一の分野 代数では計算能力しか求められていない 代数を厳密に論ずるにはペアノの公理と合理的集合論が必要だが ユークリッド幾何学は図形を扱うから公理から始めても高校生にも無理なく 448 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/09/01(火) 15:36:13.67 ID:Ax57znWV.net] 私の意見としては、現状の教育では不十分であり、 もっと集合と論理に重点を置いた教育をすべきだと思っています 教科書に N, Z, Q, R, C を載せてバンバン使うべきだし、 ⇔ 記号の使い方にはもっと慎重になるべきだと思います 現実問題として、必要条件と十分条件の違いすらわからないような大人がいる以上、 義務教育で教えるべきだと思います これは国語教育の問題でもあると思いますが… 449 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/01(火) 16:47:08.96 ID:WitaTpUB.net] ユークリッド幾何学は高校で教えるべきだと思う 公理系から論述によって命題を導くというのは数学の基本であって ユークリッド幾何学によってその論理を学ぶことができる 代数などの分野は計算さえできれば解けてしまうので論述の能力が身につかない ユークリッド幾何学では論述の能力が身に付くのでユークリッド幾何学をやる必要がある 450 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/01(火) 16:49:43 ID:WitaTpUB.net] ユークリッド幾何学の公理系から論述により命題を導くのは数学の基本であって、ユークリッド幾何学でしか身につかない 代数や微分積分などの分野は計算さえできれば解けてしまうので、論述の力をつけるためにはユークリッド幾何学をやる必要がある 公理から定理を導くのは抽象代数学をはじめとする数学の基本でありユークリッド幾何学をやらなければ抽象代数学などが理解できなくなってしまう 451 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/01(火) 19:11:42 ID:2qjbTlF5.net] 1145 学コン・宿題ボイコット実行委員会@gakkon_boycott 9月1日 #拡散希望 #みんなで学コン・宿題をボイコットしよう 雑誌「大学への数学」の誌上で毎月開催されている学力コンテスト(学コン)と宿題は、添削が雑で採点ミスが多く、訂正をお願いしても応じてもらえない悪質なコンテストです。(私も7月号の宿題でその被害に遭いました。)このようなコンテストに参加するのは時間と努力の無駄であり、参加する価値はありません。そこで私は、これ以上の被害者を出さないようにするため、また、出版社に反省と改善を促すために、学コン・宿題のボイコットを呼び掛けることにしました。少しでも多くの方がこの活動にご賛同頂き、このツイートを拡散して頂ければ幸いです。 https://twitter.com/gakkon_boycott/status/1300459618326388737 (deleted an unsolicited ad) 452 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/01(火) 20:44:28.25 ID:4ZAuJrEf.net] >>448 数学なんていくら教えても普通の人は理解せんよ 453 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/01(火) 20:59:57.93 ID:4ZAuJrEf.net] >>448 数学なんていくら教えても一般人は理解せんよ。 第一、ほとんどの人は中学・高校数学さえまともに理解してない。 いくらなんでもこれじゃ無理です。 数学の専門教育を受けていない人は、数学的な現象を捉えられない。 多くの専門家は「ある概念や定理を、厳密に定式化したり証明したりするのは難しくても、直感的な意味は一般人にも理解できる」なんて思っているが、これがそもそもの誤り。 たとえば、「通常の平面に、平行な直線が交わる点を加えたのが射影平面」なんて言ってもほとんどの人は理解できないし、もちろん可微分多様体としての定義を説明しても理解できない。 たとえば、複素解析における「一致の定理」が非自明なのは当然、定理の仮定を連続関数とかC^∞関数とかに弱めたら成り立たないからだが そもそも数学の専門教育を受けていない人には、「ある領域で2つの関数が一致していても、それを含む領域では一致するとは限らない」というコモンセンスがないから、数学的な内容を説明するのは実質的に不可能。 そういう人に、数学をどのように説明しても、彼らには数学用語と記号の羅列にしか見えていない。 454 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/01(火) 21:04:46.48 ID:4ZAuJrEf.net] つい感情的になってしまったな すまなかった 455 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/01(火) 21:09:53.00 ID:HbCPzo+k.net] 「素人に数学を教えるのは無理」からの出張？ 456 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/09/01(火) 21:15:49.97 ID:Ax57znWV.net] >>453 ちょっと数学がわかる（と思っている）だけで自分は一般人とは違うとか思っちゃうのは恥ずかしいぞ 趣味で数学を勉強している人は意外とたくさんいる まあ補助線パズルのせいで「数学なんてパズルのようなもの」と思われている節はあるよね そういう誤解を無くすためにも、早いうちに論理を教えるべき 具体的には義務教育で あと国語はポエムとか漢文とかどうでもいいから、論理的な文章の読み書きをちゃんと教えろ 457 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/01(火) 21:16:42.03 ID:3wI4wG8V.net] 「ベクトル空間の自己準同型は単射なら同型」 と言われても、そもそも一般の圏でmorphismが単射なら同型とは限らないことが分かってないし 行列による一次変換や、平面上の相似変換みたいな具体例で確かめる能力も無い 458 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/01(火) 21:22:29.43 ID:HbCPzo+k.net] >>449 >>450 私は不要派ではないがあまり崇拝するのもやめた方がいいと思う。 アンチに目をつけられるから。 459 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/01(火) 21:26:34.73 ID:HbCPzo+k.net] >>456 まあ証明も既知の事実から未知の事実を導くパズルだけどね。 460 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/09/01(火) 21:36:00.34 ID:IKYVWsf4.net] >>456 易経とニーモック表を小学生に教えちゃえばいいんだよ。 個人的には小学生の時点で詭弁論理学逆説論理学が一人で読める地頭がある子供に 中学上がる冬休みにゲーデルエッシャーバッハ読む輪読セミナーの機会ぐらいあってもいいと思ってるが。 461 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/02(水) 10:45:19 ID:5wpmvlS6.net] ID:5Mq2H/2e ID:bBBBI4+7 ID:UFuF6Htm ID:OEAe+7as ID:Q32UwMtw に完全に同意 462 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/02(水) 10:50:26 ID:5wpmvlS6.net] ユークリッド幾何学は学校で教える必要がある 公理から初めて論述によって命題を示すという手法は現代数学の基本 代数や微分積分などは計算だけできれば解けてしまうが ユークリッド幾何学では厳密な論証を学ぶことができる 公理系から論述で命題を示す手法は現代数学の基本であって もしユークリッド幾何学を学ばなければ抽象代数学などが理解できなくなることは明らか 463 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/02(水) 10:53:35 ID:5wpmvlS6.net] 現代数学である群論やガロア理論も公理系から初めて命題を導く 微分積分などだけを教えていると群論やガロア理論などが理解できなくなってしまう ガロア理論では作図が主に扱われるからユークリッド幾何学応用になっている だから>>1や>>41の役に立たない論は明らかに間違い 464 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/02(水) 11:02:08 ID:5wpmvlS6.net] ユークリッド幾何学はまず中初等教育において論述を教える題材として適している 代数などはただの計算であって厳密ではないがユークリッド幾何学は公理から始めて曖昧さなく命題を示す これは現代数学の基本であって群論やガロア理論を学ぶ際に必要な能力 代数では多項式とは？集合とは？などが厳密に説明されていないがユークリッド幾何学には曖昧さは無い ユークリッド幾何学が扱う題材は図形であって初等教育にも馴染みやすい 現代数学を厳密に展開するには公理的集合論まで遡らねばならないが ユークリッド幾何学の公理は中学生でも理解できて完全 このような条件を満たす単元は他には無い 465 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/02(水) 11:10:55 ID:5wpmvlS6.net] 群論やガロア理論などの抽象代数学はユークリッド幾何学の考えを継承している これらが確立されたのは18世紀であり微分積分などはそれよりも大分昔の理論だから厳密性がない ユークリッド幾何学は現代数学のモデルであるから論述を教えることができる 群論やガロア理論は対称性を扱う数学で対称性とは回転や相似変換などの一般化だから やはりユークリッド幾何学を学ぶことは群論やガロア理論を学ぶことに役立つ 特に群論では、群の正規群（特異点を持たない群）による商で対称性を分類する この割り算にはユークリッドの互除法のアルゴリズムを用いることができるからユークリッド幾何学の応用になっている 群論の一部であるリー群ではユークリッド空間の回転である直交群を扱うからこれもユークリッド幾何学が直接役に立つ 466 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/02(水) 11:20:42 ID:5wpmvlS6.net] ユークリッド幾何学では公理系から始めて命題を証明するがこれは現代数学の基本 群論やガロア理論もこのスタイルを継承していてユークリッド幾何学を学ばないと抽象代数学が理解できない ガロア理論はユークリッド幾何学と同様に、対称性の公理から作図可能性を論ずる これはいくつかの公理から始めて可能な手順の組み合わせを厳密に論述することで様々な図形を作図していく ヒルベルトが提唱した円積問題などもこの応用であって、現代数学において極めて重要 467 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/02(水) 11:32:07 ID:5wpmvlS6.net] ユークリッド幾何学は公理から始めて論述のみによって命題を証明する これは現代数学の基本であってガロアの理論やヒルベルトの理論などがその手法を受け継いでいる これは現代数学において極めて重要 代数や微分積分はただの計算であって論述を教えていないから ユークリッド幾何学をやらないと抽象代数学などを理解できなくなってしまう ガロア理論は作図を扱うからユークリッド幾何学の知識が必須 代数などでは計算しかやらず概念の定義が曖昧だがユークリッド幾何学の論述には曖昧さが一切無く ユークリッド幾何学は図形を扱うから中高生にも理解しやすい 初等教育で論述を教える題材として適しており他にこのような条件を満たす題材は無い 468 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/02(水) 11:52:08.77 ID:sd5DPjfu.net] それは逆に他をけなしすぎだ。 469 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/02(水) 11:57:22.78 ID:5wpmvlS6.net] >>460 同意 現代数学のルーツがガロア理論にあることは間違いないが中学で作図などを教えたら 飛び級入学を許して、ゲーデルの不完全性定理やラッセルの論理学などどんどん読み進めるのがよいと思う 不完全性は量子力学などでも基本的な概念であるから幅広く応用が効く その基礎がユークリッド幾何学で身につけた論述の能力にあることは疑いようがない 現行のカリキュラムは実用性だけを重視し結果だけ示して細部は曖昧にしているが、これらは現代数学の基礎だから完全に修める必要がある そういう人は足し算や掛け算もペアノの公理から厳密に示すべきだし、微分積分は測度論などを使い厳密に論ずるべき 470 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/02(水) 12:16:58.77 ID:ArXE/Avq.net] ユークリッド幾何学不要派のような知識だけを得て万能感に浸っているのは愚者だと思う ガロアによる方程式の不可解性定理や作図不可能性定理、ゲーデルの不完全性定理などにより 知性の限界を認識し、世界に対して謙虚になるのが真の教養というものだろう 表面的に数学の問題が解けたからと世界に対して傲慢になっている者たちの顛末が ・リーマンショックによるサブプライムローン崩壊 ・チェルノブイリや福島の原発事故 ・AIの暴走による核戦争と人類の家畜化 などのカタストロフィだ ユークリッド幾何学が役に立たないという人は自分では筋の通ったことを言っているつもりなのだろうが こういう統合的・逆説的な見地から見れば実に浅薄極まりない 471 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/09/02(水) 12:30:49.42 ID:tYairTYr.net] また文系ポエムか 472 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/09/02(水) 12:32:55.20 ID:tYairTYr.net] >>461 それほとんどお前だろ 473 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/02(水) 13:06:03.81 ID:g5qR2vWb.net] ユークリッド幾何学の応用例として 3次元空間の体積を持つ立体を有限個に分割して 各ピースを合同変換により再配置することで 元の立体の2倍の立体を構成できるという バナッハタルスキーの定理がある これは常温核融合の数学理論だと思われており 現代の資源工学における中心的な研究分野になっている 474 名前：１３２人目の素数さん [2020/09/02(水) 14:14:09.20 ID:YNJ9m2pF.net] 「ポエム」や「パズル」を蔑称として使ってる奴いるな。 言葉に失礼だからやめろ。

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