- 1 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/01/27(月) 20:12:01 ID:QSsw4R/8.net]
- 過去ログ置き場(1-16問目)
www3.tokai.or.jp/meta/gokudo-/omoshi-log/
まとめwiki
www6.atwiki.jp/omoshiro2ch/
1 cheese.5ch.net/test/read.cgi/math/970737952/
2 natto.5ch.net/test/read.cgi/math/1004839697/
3～6「datが存在しません。」
7 science2.5ch.net/test/read.cgi/math/1064941085/
8 science3.5ch.net/test/read.cgi/math/1074751156/
9 science3.5ch.net/test/read.cgi/math/1093676103/
10 science4.5ch.net/test/read.cgi/math/1117474512/
11 science4.5ch.net/test/read.cgi/math/1134352879/
12 science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1157580000/
13 science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1183680000/
14 science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1209732803/
15 science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1231110000/
16 science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1254690000/
17 kamome.5ch.net/test/read.cgi/math/1284253640/
18 kamome.5ch.net/test/read.cgi/math/1307923546/
19 uni.5ch.net/test/read.cgi/math/1320246777/
20 wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1356149858/
21 wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1432255115/
22 rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1464521266/
23 rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1497416499/
24 rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1502016223/
25 rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1502032053/
26 rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1518967270/
27 rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1532793672/
28 rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1540739963/
29 rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1548267995/
なお、削除依頼は不要です。
※前スレ
面白い問題おしえて～な 30問目
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1572866819/
- 876 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/17(火) 14:27:38.49 ID:jkHV1VNx.net]
- θφで面素密度に合わせて乱数にしたら良いと思う
dS=cosθdθdφなのでθという値を取る確率をcosθにする
つまりzθの長方形で乱数発生させてz>cosθは除外してθを取る
dV=dxdydz=rdrdSだから
xyzで球の外を除外して正規化しても本質は同じだな
- 877 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/17(火) 14:30:18.93 ID:jkHV1VNx.net]
- dV=drdS
rは余計だったが言わんとするところは分かろう
- 878 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/17(火) 17:38:54.16 ID:k85T9ON2.net]
- >>830
それを実装してみました。
vertex <- function(r=1){ #緯度φ周りの帯の面積に応じて一様分布
theta=runif(1,-pi,pi) # 経度θ
p=sqrt(runif(1)) # 分布確率pを一様分布にする
phi=asin(2*p-1) # 確率がpになる緯度φ
x=r*cos(phi)*cos(theta) # 曲座標から直交座標に
y=r*cos(phi)*sin(theta)
z=r*sin(phi)
c(x,y,z)
}
vtx=replicate(5000,vertex())
x=vtx[1,]
y=vtx[2,]
z=vtx[3,]
rgl::plot3d(x,y,z, col="slateblue")
https://i.imgur.com/27K33kB.png
- 879 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/17(火) 17:54:56 ID:k85T9ON2.net]
- >>832
これで4�
- 880 名前：_発生させて4点を通る球の半径を連立方程式を計算機に解かせて
体積の10万回の平均をとると
> k=1e5
> hull=replicate(k,sim())
> mean(hull)
[1] 1.160583
という結果になった。
あまり、自信がない。
解析解は賢者にお任せ。 [] - [ここ壊れてます]
- 881 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/17(火) 19:33:25.26 ID:Tm+KNX4Y.net]
- 半径１の球に内接する正四面体の体積は 8/(9√3) = 0.5132..
>>817の解はこれより小さい（はず）
- 882 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/17(火) 20:40:37.39 ID:k85T9ON2.net]
- >>834
vertex <- function(r=1){ #緯度φ周りの帯の面積に応じて一様分布
theta=runif(1,-pi,pi) # 経度θ
p=sqrt(runif(1)) # 分布確率pを一様分布にする
phi=asin(2*p-1) # 確率がpになる緯度φ
x=r*cos(phi)*cos(theta) # 極座標から直座標に
y=r*cos(phi)*sin(theta)
z=r*sin(phi)
c(x,y,z)
}
で、球の表面から４点を取り出して
# 四面体の体積
sim <- function(r=1,print=F){
v4=replicate(4,vertex()) # ４点の直交座標
if(print) print(v4)
abs(det(v4[,2:4]-v4[,1]))/6 # 四面体の体積
}
で１０万回シミュレーションしたら
k=1e5
tetra=replicate(k,sim())
mean(tetra)
summary(tetra)
こんな結果
> summary(tetra)
Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
0.0000006 0.0242839 0.0645573 0.0928661 0.1361202 0.5035962
最大値は8/(9√3) = 0.5132..以下になっている
- 883 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/17(火) 21:18:37 ID:k85T9ON2.net]
- こっちの方がx,y,zともに一様分布になっている。
vertex <- function(r=1){
x=runif(1,-1,1) # x ~ 一様分布[-1,1]
phi=runif(1,-pi,pi) # φ ~ 一様分布[-π,π]
y=sqrt(1-x^2)*cos(phi) # √(1-x^2)*cos(φ)
z=sqrt(1-x^2)*sin(phi) # √(1-x^2)*sin(φ)
r*c(x,y,z)
}
https://i.imgur.com/xX0mTim.png
https://i.imgur.com/H7hs9w8.png
これでやってみると、四面体の場合
> mean(tetra)
[1] 0.1201118
> summary(tetra)
Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
0.0000003 0.0372266 0.0922805 0.1201118 0.1794858 0.5104545
- 884 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/17(火) 22:43:27.26 ID:jkHV1VNx.net]
- >>836
>x,y,zともに一様分布
ではダメだろ
球面上に一様に分布するのなら
x座標は√(1-x^2)の確率密度となる
- 885 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/17(火) 22:51:51.42 ID:jkHV1VNx.net]
- あーそうか
st正方形でsとtと一様ランダムに点を得て
原点中心の円の外にあれば棄て
内部にあればそのs座標を取ることで
確率密度√(1-s^2)の分布でランダムに取れる
これでxyzをそれぞれ取ってやればいい
あーダメか独立に取ったら球面上に来ないな
じゃあこれでxを取ってyzはcosθsinθでθを一様ランダムに取れば良いや
- 886 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/17(火) 22:53:39.72 ID:jkHV1VNx.net]
- y,zは√(1-x^2)cosθ,√(1-x^2)sinθで
- 887 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/17(火) 23:09:55.33 ID:jkHV1VNx.net]
- >>837
あー間違いか>>836で正しいやスマン
- 888 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/18(水) 04:39:06 ID:LbXnfiiv.net]
- <V> = 1/6 = 0.16667 だったら >>834 の要求を満足するんだが････
- 889 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/18(水) 09:41:40 ID:POVuSFx0.net]
- 某イベントで紹介された問題の同値な改題
整数から実数への関数 f:Z→R であって、任意の整数 x,y,z について
【 x^2 + 4y^2 = z^2 ならば f(x) + 4f(y) = f(z) 】
を満たすものを全て求めよ
- 890 名前：イナ mailto:sage [2020/03/18(水) 12:22:31.26 ID:/PMjHzs1.net]
- ＼＼＼＼＼`∩∩､＼＼＼
＼＼＼＼⊂(_ _))`⌒つ`
＼＼＼＼＼＼＼`υ､＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼`原点を頂点とした三角錘が4つ集まった四面体の体積は、
V=(4/3)Sh
h=1/3(∵球の半径=1)
S=(√3/4)a^2とすると、
底面の中心から底辺までの距離はピタゴラスの定理より、
√{1^2-(1/3)^2}=2√2/3
正三角形の高さは√2
a=√2(2/√3)
=2√2/√3
S=(√3/4)(2√2/√3)^2
=(√3/4)(8/3)
=2√3/3
前>>820
V=(4/3)(2√3/3)(1/3)
=8√3/27
=0.513200239……
ここまではわかった。
1点目が任意で、2点目をうまくとる確率は後回し、3点目をうまくとる確率も後回し、4点目をうまくとる確率は1/2
2点目と3点目は1と1/2のあいだじゃないとだめだと思うから、
3点目をうまくとる確率が2/3で2点目をうまくとる確率が3/4なら、
すべてうまくとる確率は1/4
V/4=2√3/27
=0.12830006……
- 891 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/18(水) 14:27:28 ID:Tu49ygg5.net]
- >>836
数理はさっぱりわからないんだが、Wikipediaによれば正規分布に従う３変数から球面の一様分布座標が作れるらしい。
x1,x2,x3～Norm(0,1) で r=√(x1^2+x2^2+x3^2)として
(x1/r,x2/r,x3/r)が単位球面の一様分布になるという。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E7%90%83%E9%9D%A2
Marsaglia(1972)
https://projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.aoms/1177692644
実装してみた。
図示すると>836と同じく、x,y,zが一様分布して、球面の一様分布しているようにみえる。
vertex <- function(){ # xi ~ Norm(0,1) , xi/√(Σxi^2)
v=rnorm(3,0,1) # 正規分布N(0,1)する３個からなるベクトル v
v/sqrt(sum(v^2)) # v の長さで割る
}
vtx=replicate(5000,vertex())
par(mfrow=c(3,1))
x=vtx[1,] ; hist(x,col='pink')
y=vtx[2,] ; hist(y,col='orange')
z=vtx[3,] ; hist(z,col='darkgreen')
rgl::plot3d(x,y,z, col='slateblue')
par(mfrow=c(1,1))
# 四面体の体積
sim <- function(r=1,print=F){
v4=replicate(4,vertex()) # ４点の直交座標
if(print) print(v4)
abs(det(v4[,2:4]-v4[,1]))/6 # 四面体の体積
}
k=1e5
tetra=replicate(k,sim()) # k回のシミュレーション
mean(tetra)
summary(tetra)
BEST::plotPost(tetra)
期待値も分布もほぼ同じ。
> mean(tetra)
[1] 0.119512
> summary(tetra)
Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
0.0000001 0.0368084 0.0918738 0.1195120 0.1789221 0.5093198
四面体の体積の分布も同様でこんな分布。
https://i.imgur.com/yjsaR3Q.png
- 892 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/18(水) 14:45:48 ID:kt0eelvd.net]
- >>844
>数理はさっぱりわからないんだが、Wikipediaによれば正規分布に従う３変数から球面の一様分布座標が作れるらしい。
独立に取ったときの確率密度がe^-(x^2+y^2+z^2)みたいなrのみの関数に比例するからだな
でも>>836でいいと思うし
関数の近似による偏りみたいなのを気にするなら
>>829でも球の外を除外した後の考え方はそのWikipediaのと同じだし
- 893 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/18(水) 15:06:17 ID:Tu49ygg5.net]
- ３次元化座標が球面の一様分布することは、図示してイメージするほかに、どうやったら検証できるのだろう？
球面上の任意の一定面積に含まれる数が一定であるのを確認する方法が思いつかない。
こういうデータが一様分布かどうかは確認できるだろうか
x y z
[1,] 0.4090696 -0.06240392 0.9103669
[2,] -0.1452435 -0.97420684 0.1727002
[3,] -0.1082045 0.53218504 0.8396850
.....
.....
x y z
[4998,] 0.6609463 -0.096259265 -0.7442340
[4999,] 0.5669702 0.758929767 -0.3202661
[5000,] 0.8944673 -0.008481795 -0.4470530
- 894 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/18(水) 15:16:53 ID:kt0eelvd.net]
- >>846
ｘθとかθφで分割して点の数を数えて面積で割ったら？
十分細かく分割を取っておいて
サンプル点を十分多く取っていけば
大数の法則で
期待した値にぐいぐい集まってくるはずだし
- 895 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/18(水) 16:16:35.57 ID:Tu49ygg5.net]
- >>847
レスありがとうございます。
x,y,z を 極形式にして⊿θ ⊿φの範囲にある数が一様かどうかみればいいんだな。
- 896 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/18(水) 21:31:14.71 ID:Tu49ygg5.net]
- 直交座標から極座標のθφを出して、それをグラフにしてみました。
https://i.imgur.com/swLs0hO.png
両端が疎に見えます。
グリッドを作ってそこに含まれる点を数えてその分布をみればいいのかな？
どの程度のばらつきなら、一様分布とみなせるのかと考えるとふりだしに戻る気がする。
- 897 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/19(Thu) 01:13:20 ID:HdgduOXs.net]
- 辺の長さが
- 898 名前：全て有理数の多角形において、少なくとも2つ以上の内角[rad]は無理数であることを示せ. []
- [ここ壊れてます]
- 899 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/19(Thu) 01:36:55 ID:KrhQLEng.net]
- >>848
ΔθΔφの囲む面積はcosθ ΔθΔφだよ
θが南北でΔθの幅の中央の値ね
点の個数をこれで割らないと一定にならない
ΔθΔφが一定ならcosθで割れば良い
- 900 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/19(Thu) 01:48:15 ID:mXsnD9nM.net]
- >>819
0.1196797201367540････
- 901 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/19(Thu) 02:03:39 ID:KrhQLEng.net]
- >>849
>どの程度のばらつきなら、一様分布とみなせるのかと考えるとふりだしに戻る気がする。
Δθ=π/n
Δφ=2π/m
つまり球面をnm個の領域に分割した場合（m,n固定）
一様分布ならサンプルN点でその領域内にあるのはNπcosθ/2mn個だろうから
数え上げてM点ならΣ(M-Nπcosθ/2mn)^2/mnがN→∞で次第に0に近づく（大数の法則）ことを見るとか？
- 902 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/19(木) 02:07:37.40 ID:KrhQLEng.net]
- >>849
>両端が疎に見えます。
横軸がθとすると
縦方向にcosθを掛けて点をプロットすれば良い
それで0≦φ≦cosθの領域内に均一に見えたらOK
- 903 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/19(Thu) 08:37:27 ID:XGan5JrS.net]
- >>849
これって>821と逆のことをやっているだけのような気がするな。
一様分布する球面上の点を極形式で表示したときに緯度・経度が一様分布はしないんだろうな。
- 904 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/19(Thu) 09:28:52 ID:XGan5JrS.net]
- >>854
数理を理解できないままにグラフ化すると
plot(θ,φ*cos(θ),bty='n',pch='.',xlab='θ(北極点からのラジアン)' ,,ylab='φ（経度)*cos(θ）')
https://i.imgur.com/R8TFUG3.png
理解が足りないので断念。
- 905 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/19(Thu) 09:32:03 ID:KrhQLEng.net]
- >>856
θを北極点からのにするなら
sinθ掛けて
- 906 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/19(Thu) 09:35:45 ID:KrhQLEng.net]
- >>855
極に近い方がずっと狭くなるからね
球面の表面積は円柱の側面積と同一であるという
2000年前から知られている原理からすると
xyzに落とし込んでもそれぞれの座標上で一様分布になる
これは>>836の
https://i.imgur.com/xX0mTim.png
- 907 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/19(木) 10:39:50.31 ID:BW7TgbOd.net]
- >>850
リンデマンの定理より有理数q≠0に対して e^(iq) が超越数であることから従う
- 908 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/19(木) 10:52:58.05 ID:XGan5JrS.net]
- >>857
θとφの定義は下図に準拠
physics.thick.jp/Physical_Mathematics/Section3/figures/fig27.png
rm(list=ls())
vertex <- function(r=1){
x=runif(1,-1,1) # x ~ 一様分布[-1,1]
phi=runif(1,-pi,pi) # φ ~ 一様分布[-π,π]
y=sqrt(1-x^2)*cos(phi) # √(1-x^2)*cos(φ)
z=sqrt(1-x^2)*sin(phi) # √(1-x^2)*sin(φ)
r*c(x,y,z)
}
# 直交座標を極座標に
c2p <- function(xyz){ # (x,y,z) -> (θ,φ) Cartesian 2 Polar
x=xyz[1];y=xyz[2];z=xyz[3]
r=sqrt(x^2+y^2+z^2) # =1になるx,y,zの組合せ
theta=acos(z/sqrt(x^2+y^2+z^2)) # = acos(z) [0,π]の値
phi=ifelse(y>0,acos(x/sqrt(x^2+y^2)), # y>0ならφ < π
2*pi-acos(x/sqrt(x^2+y^2)))# y<0ならφ > π
c(theta,phi)
}
n=1e5
vtx=replicate(n,vertex()) # n個の点を作る
vtx=replicate(n,vertex()) # n個の点を作る
v=t(vtx) # 転置してn行３列(x,y,z)に
head(v,3) ; tail(v,3)
vp=apply(v,1,c2p) # 各行毎にx,y,z -> θ,φに変換
tp=t(vp) # theta θ, phai φ 転置してn行2列(θ,φ)に
fn <- function(x){ # 0<=φ & φ<=sin(θ)を満たすかを返す
θ=x[1]
φ=x[2]
0<=φ & φ<=sin(θ)
}
tp1=tp[apply(tp,1,fn),] # fnがTRUEになるθ,φを抽出して
θ=tp1[,1]
φ=tp1[,2]
plot(θ,φ*sin(θ),bty='n',pch='.', xlab='θ(北極点からのラジアン)',ylab='φ（経度)*sin(θ)')
# グラフ化
https://i.imgur.com/dtO0oRW.png
正弦波が描出されただけのような
- 909 名前：？ []
- [ここ壊れてます]
- 910 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/19(木) 10:54:23.75 ID:/Ts8dWJZ.net]
- >>859
素晴らしい
正解です
- 911 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/19(木) 10:58:32.26 ID:XGan5JrS.net]
- >>852
>844のシミュレーション結果に相当する結果ですね。
計算法はさっぱり思いつかないけどｗ
- 912 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/19(Thu) 13:39:41 ID:KrhQLEng.net]
- >>860
>正弦波が描出されただけのような？
点の密度が正弦波の下でどこでも一定に見えるでしょ
だから球面上で一様分布だってことだよ
さらに厳密性のために
点の密度が一定かどうかを検定するには
十分細かく分割して
一様分布なら1つの区画内にあるはずの点の個数の平均を計算しておいて
それと実測値との差の2条の平均（分散）でできるんじゃないかなあ
- 913 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/19(Thu) 13:43:34 ID:KrhQLEng.net]
- >>860
>正弦波が描出されただけのような？
あれ？
正弦波の0～πの部分と違うな
上に凸なのに両端近くに変曲点がある
なんで？
- 914 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/19(木) 14:42:09.63 ID:lL/ZGWr/.net]
- 任意の実数に到達できるような関数電卓は存在するか？
関数電卓は、入力は整数で有限個の関数を持っており計算速度は無限大であるとする。
- 915 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/19(Thu) 16:40:30 ID:XGan5JrS.net]
- 球面に一様分布らしき点を5000個発生させて、
各々の点でθが5°の球冠面にその点以外にどれだけの点が含まれるかを算出させてみた。
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2f/Spherical_cap_diagram.tiff/lossless-page1-597px-Spherical_cap_diagram.tiff.png
中央値9 平均9.56 標準偏差3.14という値になった。
> summary(dots) ; sd(dots)
Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
0.000 7.000 9.000 9.556 12.000 23.000
[1] 3.148086
ヒストグラムだと
https://i.imgur.com/4XaXArc.png
# 球面一様分布 c(x,y,z)
vertex <- function(r=1){
x=runif(1,-1,1) # x ~ 一様分布[-1,1]
phi=runif(1,-pi,pi) # φ ~ 一様分布[-π,π]
y=sqrt(1-x^2)*cos(phi) # √(1-x^2)*cos(φ)
z=sqrt(1-x^2)*sin(phi) # √(1-x^2)*sin(φ)
r*c(x,y,z)
}
n=5000
vtx=t(replicate(n,vertex())) # n個の点x,y,zをつくる
rgl::plot3d(vtx[,1],vtx[,2],vtx[,3], col="slateblue")
Theta=(pi/180)*5
onCap <-function(x,y,theta){
acos(x %*% y) < theta # ベクトルの内積の逆余弦がtheta未満なら球冠上にある
}
hmonCap<- function(j){
count=0
for(i in (1:n)[-j]){
count = count + onCap(vtx[j,],vtx[i,],Theta)
}
return(count)
}
dots=sapply(1:n,hmonCap)
summary(dots) ; sd(dots)
hist(dots) ; table(dots)
BEST::plotPost(dots)
- 916 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/19(Thu) 16:45:37 ID:XGan5JrS.net]
- 極に分布が偏る
# 角度Θ,Φを一様分布で選らんで
だと
> summary(dots) ; sd(dots)
Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
0.0 6.0 10.0 18.7 17.0 139.0
[1] 26.50699
標準偏差が大きいので一様とは呼べない。
ヒストグラムを描くとhttps://i.imgur.com/Y8mFUop.png
- 917 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/19(Thu) 17:03:25 ID:XGan5JrS.net]
- >>863
球面上の面積を一定にしてグリッドを描いてその中の点を数えるプログラムはできそうにないので断念して、
上記のように散布した点の周りに何個の点があるのかを数えるのに変えました。
色々と助言ありがとうございました。
- 918 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/19(Thu) 17:07:02 ID:XGan5JrS.net]
- >827の
正方形内で乱数x,yを発生させて r^2-(x^2+y^2)が負になるのは除外だと
Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
0.00 9.00 13.00 12.58 16.00 33.00
[1] 5.694825
標準偏差5.69と前二者の間になった。 まあ、直感と合致した感じ。
- 919 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/19(Thu) 19:05:16 ID:KrhQLEng.net]
- >>819
計算教えて
- 920 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/19(Thu) 19:13:01 ID:uD33tvXq.net]
- >>869
単位球の表面積は4π。この球を平面で切り、（切断面を除く）表面積を3πとπに分けるためには、
平面と球の中心の距離はいくらか？ 答えは
y=√(1-x)^2、π=∫[a,1]2πy√(1-(dy/dx)^2)dx を解いて、a=1/2
球と平面の距離が1/2なら、切断面の半径は(√3)/2
このことから、球面上を一様に分布した点があり、それを、赤道面上に投影すると、
半径(√3)/2の円内に半分の点があり、その外側のドーナツ型の部分に半分の点がなければならない。
>>827 の方法では、半径(√2)/2の円の内外で二分されるため、球面上を一様に分布した点とはならないと思われる。
ではどうすればよいかというと、[-1,1]の一様乱数x,y,zを発生させ、
x^2+y^2+z^2が1を超えたら破棄、1以下なら、X=x/r、Y=y/r、Z=z/r、r=√(x^2+y^2+z^2)
というのが、シンプルだと思われる。
- 921 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/19(Thu) 19:41:52 ID:KrhQLEng.net]
- >>830
>xyzで球の外を除外して正規化しても本質は同じだな
これね
スマン意図伝わってなかったかも知らん
- 922 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/19(Thu) 19:49:41 ID:uD33tvXq.net]
- >>871
一行の中に、二カ所もひどい間違いしてました。訂正します。
×：y=√(1-x)^2、π=∫[a,1]2πy√(1-(dy/dx)^2)dx を解いて、a=1/2
○：y=√(1-x^2)、π=∫[a,1]2πy√(1+(dy/dx)^2)dx を解いて、a=1/2
- 923 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/19(木) 20:45:46.04 ID:XGan5JrS.net]
- >>871
[-1,1]の一様乱数x,y,zを発生させ、
x^2+y^2+z^2が1を超えたら破棄、1以下なら、X=x/r、Y=y/r、Z=z/r、r=√(x^2+y^2+z^2)
でやってみました。
>866とほぼ同じ平均と標準偏差になりました。
Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
1.000 7.000 9.000 9.585 12.000 24.000
[1] 3.193939
- 924 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/19(Thu) 21:44:15 ID:uD33tvXq.net]
- 球面を、二つの平面、x=aとx=a+hでカットしたときの帯状の曲面の面積は、
カットする位置によらず、幅hにのみ依存します。
>>866はこの性質を利用した方法なので、球面一様分布を生成する正しい方法だと思います。
一方、>>827の方法は、正しくないという指摘です。
- 925 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/19(木) 23:30:46.19 ID:nprfnGEx.net]
- 数aの問題です。
【300人を対象に「二つのテーマパークpとqに行ったことがあるか」というアンケートをおこなったところ、pに行ったことがある人が147人、qに行ったことがある人が86人、どちらにも行ったことのない人が131人であった。
（１）両方に行ったことのある人の数を求めよ。
（２）どちらか一方にだけ行ったことのある人の数を求めよ。】 という問題です。答えを見てもなかなか理解が出来ませんでした。
- 926 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/19(木) 23:42:24.02 ID:8QNcFC1P.net]
- ↑の問題書く板を間違えてしまいました。失礼しました。
- 927 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/19(木) 23:43:46.42 ID:8QNcFC1P.net]
- ↑板ではなくてスレです。初心者のため用語がごちゃごちゃになってしまいました。何度も失礼しました。
- 928 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/20(金) 00:03:06.45 ID:p5Mf5Wxl.net]
- >>876
(1)147+86-(300-131)=64
(2)147-64=83 86-64=22から83+22=105
答が理解できない理由が謎。
- 929 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/20(金) 00:11:49.72 ID:p5Mf5Wxl.net]
- >>875
緯度でθ+Δθでやると帯の面積はΔθだけなくてθの値にも依存しますね。
- 930 名前：イナ mailto:sage [2020/03/20(金) 01:13:13.31 ID:8G8tjVXV.net]
- 前>>843
>>817
面白い問題と言うからにはこのぐらいのことは起こらないとね。
半径1の球に内接する正四面体の一辺をaとして、
その体積はa^3√2/12
4つの頂点を無作為にとったとき、凸包の体積Vはちょうど一辺が1の正四面体の体積になるとか。
a=1のときV=√2/12
=0.11785113……
- 931 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/20(金) 03:34:41 ID:BTmsQo5f.net]
- >>881
稀代の馬鹿
- 932 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/20(金) 05:33:36.40 ID:5OgbmOf4.net]
- >>772
面白い問題おしえて～な 31問目
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1580123521/859
- 933 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/20(金) 05:34:37.30 ID:5OgbmOf4.net]
- 誤爆orz
- 934 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2020/03/20(金) 06:59:12 ID:8G8tjVXV.net]
- ＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼
＼＼＼`∩∩､/､＼＼＼＼
＼＼⊂(_ _ )`⌒つ､＼＼
＼＼＼＼＼`υ､＼＼＼＼
＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼
＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼
＼＼＼`前>>881＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼>>817 (1/2)^3=1/8=0.125 ＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼
- 935 名前：イナ mailto:sage [2020/03/20(金) 07:55:00.46 ID:8G8tjVXV.net]
- 前>>885
∵半径1の球表面にA,BをとるときABは0～2の値を無作為にとるが、そのあいだを動かしたときもっともとり得る値はAB=√2
同様にAC=√2,BC=√2
もっともとり得る
- 936 名前：△ABCの面積は、
△ABC=(√3/4)(√2)^2
=√3/2
△ABCの重心をGとして、
四面体ABCDの△ABCを底面とした頂点Dの高さDGは0も含めいろいろな値を無作為にとるが、もっともとり得る値は、球の中心をOとしてOGと等しい。
つまり四面体ABCDの体積のもっともとり得る値は、3つの稜線のおのおのが直交し長さが1の三角錘の体積と等しい。 [] - [ここ壊れてます]
- 937 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2020/03/20(金) 08:04:52 ID:8G8tjVXV.net]
- 前>>886訂正。
>>817
四面体ABCD=(1/3)(1/2)･1
=1/6
=0.166……
∵>>886
- 938 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/20(金) 18:27:18 ID:lC3HBZ24.net]
- 888げとー (パチスロか?)
>>887
OA,OB,OCが直交すればOABCの体積は 1/6
>>841 と一致･･･ (正しくはなかろうが)
- 939 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2020/03/21(土) 10:38:50 ID:gmytXLCF.net]
- ∥∩∩ ∥ □ ∥○?∇
（(-_-)∥ ∥Δ>>888
（っ⌒⌒ﾞ ｡∥╂─╂
■`(_)_)ц~ ∥╂─╂
＼■υυ■_∩∩､＼＼＼
＼＼＼＼⊂(_ _ )`⌒つﾞ
＼＼＼＼＼＼＼`υ､＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼`球表面にもっともとり得る2点目、3点目を順にとると任意の2点は球の中心に対して直角になる。
前>>887あとは4点目をどうとるか。3点で決まる平面と平行な、球体を切った任意の円盤の中で、もっともとり得る円盤は球の中心を通るやつ。この円盤と球表面の共有線である円周上に4点目があるときの四面体の体積は、稜線が直角な三角錘と同体積。
稜線の長さは球の半径=1だから三角錘の体積(1/3)Shは、
(1/3)(1/2)･1=1/6
=0.166……
あってると思うけど。
- 940 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/21(土) 19:43:53 ID:4jcynL59.net]
- >>817
数値積分による解
In[1]:= S[t1_,t2_,p_] := Simplify[Norm[Cross[{Cos[t1]Cos[+p],Cos[t1]Sin[+p],Sin[
t1]}-{0,0,-1},{Cos[t2]Cos[-p],Cos[t2]Sin[-p],Sin[t2]}-{0,0,-1}]]/2]
In[2]:= d[t1_,t2_,p_] := Simplify[Det[{{Cos[t1]Cos[+p],Cos[t1]Sin[+p],Sin[t1]},{
Cos[t2]Cos[-p],Cos[t2]Sin[-p],Sin[t2]},{0,0,-1}}]/(2 S[t1,t2,p])]
h[d_] := Simplify[(Integrate[Cos[t3](d-Sin[t3]),{t3,-Pi/2,ArcSin[d]}]+Integrate[Cos[t3](Sin[t3]-d),{t3,ArcSin[d],Pi/2}])/Integrate[Cos[t3],{t3,-Pi/2,Pi/2}]]
In[3]:= h[d_] := Simplify[(Integrate[Cos[t3](d-Sin[t3]),{t3,-Pi/2,ArcSin[d]}]+In
tegrate[Cos[t3](Sin[t3]-d),{t3,ArcSin[d],Pi/2}])/Integrate[Cos[t3],{t3,-Pi/2,Pi/
2}]]
In[4]:= NIntegrate[Cos[t1]Cos[t2]h[d[t1,t2,p]]S[t1,t2,p]/3,{p,0,Pi/2},{t1,-Pi/2,
Pi/2},{t2,-Pi/2,Pi/2}]/Integrate[Cos[t1]Cos[t2],{p,0,Pi/2},{t1,-Pi/2,Pi/2},{t2,-
Pi/2,Pi/2}]
Out[4]= 0.11968
- 941 名前：イナ mailto:sage [2020/03/21(土) 21:28:05.69 ID:gmytXLCF.net]
- 前>>889
>>881少数第三位を四捨五入すると、
V=0.12
- 942 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/21(土) 22:05:25 ID:RyI2Q/uv.net]
- >>891
少数第1位を四捨五入すると、V=0
- 943 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/22(日) 10:38:19 ID:fXf64y18.net]
- >>890 の式を整理して精度を上げてみる
In[1]:= NIntegrate[Cos[t1]Cos[t2]
(2(Sin[2p]Cos[t1]Cos[t2])^2+(Cos[p](-Cos[t1]+Cos[t2]+Sin[t1-t2]))^2+(Sin[p](Cos[t1]+Cos[t2]+Sin[t1+t2]))^2)
/(24Pi Sqrt[(Sin[2p]Cos[t1]Cos[t2])^2+(Cos[p](-Cos[t1]+Cos[t2]+Sin[t1-t2]))^2+(Sin[p](Cos[t1]+Cos[t2]+Sin[t1+t2]))^2])
,{p,0,Pi/2},{t1,-Pi/2,Pi/2},{t2,-Pi/2,Pi/2}, WorkingPrecision->12, PrecisionGoal -> 11]
Out[1]= 0.119679720136
- 944 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/23(月) 03:30:35 ID:uvHIelYA.net]
- これってパソコンなしでは解けませんよね？
【富山県最強伝説】新型コロナウイルスPCR検査件数 54人 陽性0人
https://asahi.5ch.net/test/read.cgi/newsplus/1584811696/
ある集団から54人を無作為に選んでPCR検査したら陽性0であったとして
PCR検査の感度0.7 特異度0.9としてこの集団の有病率の期待値と95%信頼区間を求めよ。
- 945 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/23(月) 11:46:03 ID:MEkmhbu9.net]
- >>893
数値的にしか解けないの？
- 946 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/23(月) 15:15:51 ID:9TP9mpqz.net]
- Rの標準ライブラリは抽象代数計算ないから標準ライブラリだけなら数値積分しかできないだろな。
- 947 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/23(月) 15:27:44 ID:mjeu1Sts.net]
- >>895
前計算してた人�
- 948 名前：盾驍�
確率密度関数与えられるから
あとは体積の計算して平均出すだけだけど
式は書けても計算ができそうもない [] - [ここ壊れてます]
- 949 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/23(月) 22:00:13.53 ID:GiYqQssY.net]
- 半径1の半円の内部に閉曲線を描く
このとき(閉曲線が囲う領域の面積)/(閉曲線の長さ)の最大値を求めよ
- 950 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2020/03/23(月) 23:31:07 ID:dYUW2zOC.net]
- 前>>891
>>898
閉曲線で囲まれた領域が楕円のとき、
短軸1,長軸1/√2
面積π(1/2)(1/√2)
=π/2√2
周長2π√(1/2)√(1/√2)
=π√√2
面積/周長=1/2√2･√√2
=0.297301779……
蛹で越冬する感じか。
- 951 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/23(月) 23:36:36 ID:GiYqQssY.net]
- >>899
不正解
それなら半円そのもの
π/(2(π+2))=0.3055...
の方が大きい
- 952 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2020/03/23(月) 23:44:31 ID:dYUW2zOC.net]
- 前>>899
>>900半円は直線が入ってるら。不適だに。
- 953 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/23(月) 23:53:47.84 ID:HQzFbrB9.net]
- >>901
いくらでも半円に近づけるから比が0.3055...に近い閉曲線が描ける
よって>>899は最大値ではない
でも内部だと確かにsupはあってもmaxが無いことになってしまうので>>898は改題します すみません
「半径1の半円の部分集合として閉曲線を描く
このとき(閉曲線が囲う領域の面積)/(閉曲線の長さ)の最大値を求めよ」
ただし、ここで言う半円は{(x,y)∈R^2 | x^2+y^2≦1 ,y≧0}のことです
- 954 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/24(火) 00:23:44 ID:bCLJqQcJ.net]
- l = (sinθ/(1+sinθ))(θ+π/2) + (sinθ'/(1+sinθ'))(θ'+π/2) + cosθ/(1+sinθ) + cosθ'/(1+sinθ') + (π-θ-θ')
S = (θ/2)(sinθ/(1+sinθ))^2 + (θ'/2)(sinθ'/(1+sinθ'))^2 + (1/2)sinθcosθ/(1+sinθ)^2 + (1/2)sinθ'cosθ'/(1+sinθ')^2 + (π-θ-θ')/2
maximize S/l where θ,θ'≧0, θ+θ'≦π
sssp://o.5ch.net/1mukb.png
- 955 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/24(火) 01:36:19.20 ID:TnHQvRcs.net]
- >>896
レスありがとうございます。
こういうアルゴリズムになるのかと愚考しています。
事前分布を選択する（例. 有病率は高々10%として(0.0.1]の一様分布とする)、
陽性確率は真陽性確率と偽陽性確率の和、
陽性数はこの確率で二項分布、
- 956 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/24(火) 02:07:58.87 ID:cfg1hqI2.net]
- >>897
具体的には球面上の2変数の座標系stがあって
st平面上の領域Dと球面が(x,y,z)=f(s,t)で対応しているとき
球面上の一様分布を与えるst2変数の密度関数g(s,t)が存在し
dS/4π=g(s,t)dsdt
となる
頑張ればf,gは具体的な式で与えることは出来る
球面上の4点をp1=f(s1,t1)・・・p4=f(s4,t4)で表して
これら4点を頂点とする4面体の体積を表す関数V(p1,p2,p3,p4)を
何とか式で表せはするから
∬∬∬∬V(f(s1,t1),・・・,f(s4,t4))g(s1,t1)・・・g(s4,t4)ds1dt1・・・ds4dt4
を計算したら良いだけ
- 957 名前：イナ mailto:sage [2020/03/24(火) 02:44:18.74 ID:G+Ea7M2l.net]
- 前>>901
>>902
y軸を挟んで(0,0)に中心をあわせた半径1,中心角45°の扇形を1対並べ、それを両サイドから挟むように半径1/2,中心角45°の扇形を並べ、その左右端に半径1/4,中心角45°の扇形を弧が滑らかにつづくようにくっつけて並べ、
(0,1),(±1/√2,1/√2),(±1/2±1/2√2,1/2√2),(±3/4√2±1/4,1/4√2),(0,0)の8点が滑らかにつづくように結ぶ。
点(0,0)を挟む円弧の中心を(0,t),中心角をθとおくと、
正弦定理より、
sinθ=(3/2√2+1/2)/2t
ピタゴラスの定理より、
(3/4√2+1/4)^2+(t-1/4√2)^2=t^2
t=(3√2+3)/4
sinθ=(4-√2)/6
=0.430964406……
θ=25.52877935……
面積と周長をともに4つに分けて求める。
いちばん大きな扇形は2つあわせて面積π/4,周長部分π/2
2番目の扇形は2つあわせて面積π/16,周長部分π/4
3番目の扇形は2つあわせて面積π/64,周長部分π/8
亀の腹のようなy軸に線対称な残りの面積をsとおくと、
面積/周長=(π/4+π/16+π/64+s)/{π/2+π/4+π/8+2πt(θ/2π)}
=(21π/64+s)/(7π/8+tθ)
=(21π/64+s)/{7π/8+(1+√2)(3/4)θ}
=(21π/8+8s)/{7π+6(1+√2)θ}
=(21π+64s)/{56π+48(1+√2)θ}
sは扇形半分から三角形を3つ引いて2倍で出る。
θを度数のまま代入してよいかは気になる。
- 958 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/24(火) 06:11:35.52 ID:MOWxPvKi.net]
- >>903
Sの式で (θ/2) の所は (θ+π/2)/2、 (θ'/2) の所は (θ'+π/2)/2 では？
Steinerに習って対称性を仮定しますた。
l(θ) = 2(θ+π/2){sinθ/(1+sinθ)} + 2cosθ/(1+sinθ) + π -2θ,
S(θ) = (θ+π/2){sinθ/(1+sinθ)}^2 + sinθcosθ/(1+sinθ)^2 + π/2 -θ.
θで微分して
(d/dθ)(S/l) = {2 - (θ+π/2)cosθ/(1+sinθ)}{π･cos(2θ) -sin(2θ) -2θ}
／{4(1+sinθ)(π/2 -θ +π･sinθ +cosθ)^2},
ここで
2 - (θ+π/2)cosθ/(1+sinθ) >0, (0<θ<π)
だから
π･cos(2θ) - sin(2θ) -2θ = 0,
θ = 0.4827200003884401212939116114621300267
このとき最大値
(S/l)max. = 0.31702857011315030244270875179918713
これは、半円の値 π/(2(π+2)) = 0.3055077351758286 >>900
より大きい。
- 959 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/24(火) 06:37:12.28 ID:MOWxPvKi.net]
- (補足)
θ｡ = 27.65781870881107747733891798287807ﾟ
(S/l)max. = (小円の半径) = sinθ｡/(1+sinθ｡)
= 0.31702857011315030244270875179918713
(原点～中心の距離) = 1/(1+sinθ｡)
= 0.68297142988684969755729124820081287
- 960 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/24(火) 07:06:20.74 ID:cfg1hqI2.net]
- >>905
まあ1点は固定して考えて良いし
2点目も1点目を通る大円で考えて
その上で一様分布で取れば良い(1次元)
3点目は半球内で一様に取るかな(2次元)
4点目は球上で一様に(2次元)
積分は5変数でよいかな
- 961 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/24(火) 07:29:45.50 ID:MOWxPvKi.net]
- (続き)
l(θ｡) = 1.48625008894369638043092594627639431
S(θ｡) = 4.68806356604781887658254751068492774
S/l = 0.31702857011315030244270875179918713
また、θ=30° のとき
(小円の半径) 1/3,
(原点～中心の距離) 2/3,
l(30°) = 2(3√3 +5π)/9 = 1.472358208
S(30°) = (3√3 +11π)/27 = 4.645359042
S/l = (3√3 +11π)/{6(3√3 +5π)} = 0.31695251
θ = 0 では
l(0) = π+2 = 5.141593
S(0) = π/2 = 1.570796
S/l = 0.305507735
- 962 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/24(火) 08:31:16.86 ID:JQHHwetB.net]
- >>907
素晴らしい
数値としては0.317028570...で正解ですが、
なぜその形だと最大になるのか証明も欲しいところです
ヒントを言うと、あるパラメータ付き作用素の固有値をレイリー商により求めて、極限を飛ばすと(面積)/(周長)になることを利用します
- 963 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/24(火) 11:07:46.16 ID:v/fj8fVi.net]
- >>911
閉曲線が囲む図形は
・凸集合として良い
・尖ってる部分が無いとして良い（つまり閉曲線は微分可能）
・半円の境界に接していない部分は、少なくとも局所的に曲率が等しいとして良い
ことから>>903の形を仮定していいはず
- 964 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/24(火) 11:31:02.15 ID:MOWxPvKi.net]
- >>910
参考
-------------------------------------------------------------
θ r(θ) l(θ) S(θ) S/l
-------------------------------------------------------------
0° 0.000000000 π+2 π/2 0.30550773518
15
- 965 名前：° 0.205604647 4.906228243054 1.544232748162 0.31474947183
30° 0.333333333 2(5π+3√3)/9 (11π+3√3)/27 0.31695250990
45° √2 -1 4.351158878394 1.361230101991 0.31284311606
60° 2√3 -3 4.013126310452 1.211844939375 0.30197029588
75° 0.491333810 3.616783365011 1.021692472380 0.28248649954
90° 0.500000000 π π/4 0.25000000000
------------------------------------------------------------- [] - [ここ壊れてます]
- 966 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/24(火) 15:59:26 ID:JQHHwetB.net]
- >>912
凸なのと、曲率が局所一定はいいと思うのですが、微分可能なのはどうしてでしょうか
- 967 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/24(火) 18:16:19.81 ID:v/fj8fVi.net]
- >>914
尖ってる部分の外角をθとして、こんな風にθ/2の傾きの直線で切った時のlとSの変化を考えると、
切る長さxに対してlの減少は 2x(1-cos(θ/2)) (as x→+0)で近似できるのに対し、
Sの減少は (x^2*sinθ)/2 (as x→+0) で近似できる。
よって、x>0を十分小さく定めれば、より大きい S/l を実現できる。
あと忘れてたけど
・最大の S/l を与える閉曲線が存在する
も言う必要あるな…大したことないかもだけど
o.5ch.net/1muut.png
- 968 名前：イナ mailto:sage [2020/03/24(火) 18:22:26.05 ID:G+Ea7M2l.net]
- 前>>906
ピタゴラスの定理より、
(3/4√2+1/4)^2+(t-1/4√2)^2=t^2
t=(3√2+3)/4
=3(1+√2)/4
=1.81066017……
t^2=9(3+2√2)/16
sinθ=(4-√2)/6
=0.430964406……
θ=25.52877935……
面積と周長をともに4つに分けて求める。
いちばん大きな扇形は2つあわせて面積π/4,周長部分π/2
2番目の扇形は2つあわせて面積π/16,周長部分π/4
3番目の扇形は2つあわせて面積π/64,周長部分π/8
亀の腹のようなy軸に線対称な残りの面積は等脚台形,鈍角三角形,うすい欠円からなる。
面積=π/4+π/16+π/64+πt^2θ/360°
+(1/4√2+1/4)(1/4√2)･2
+(1/2√2+1/4)(1/4√2)
-t(3/4√2+1/4)
周長=π/2+π/4+π/8+2πt(θ/360°)
=7π/8+{3(1+√2)π/2}(θ/360°)
- 969 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/24(火) 18:42:09.43 ID:JQHHwetB.net]
- >>915
あーなるほど...
たしかに角を小さく切る、つまり
xを(S/l)(4(1-cos(θ/2))/sinθより十分小さく取ればよりよい比が出るのか
ありがとうございました
Maxの存在ですが、そもそも閉曲線の集合を具体的に言ってなかったんですが、リプシッツ閉曲線の集合とすればおそらく存在は言えます
- 970 名前：イナ mailto:sage [2020/03/24(火) 19:09:08.84 ID:G+Ea7M2l.net]
- 前>>916
面積=π/2
周長=2π/2+2=π+2
とすると、閉曲線はいくらでも半円に近づけられるんじゃないか？
面積/周長=π/(2π+4)
=3.05507735……
- 971 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2020/03/25(水) 17:58:40 ID:YcAWd6vy.net]
- 前>>918直線も曲線のうち。
半径1の半円のコーナー2か所を半径rの円弧で円くカットするとき、
半円のカットされる円弧部分に対する中心角をθとすると、
(1-r)sinθ=r
sinθ=(1+sinθ)r
r=sinθ/(1+sinθ)
1-r=1/(1+sinθ)
r^2=sin^2θ/(1+sinθ)^2
面積=π/2-θ+(1-r)rcosθ+πr^2(π+2θ)/2π
=π/2-θ+(1-r)rcosθ+r^2(π/2+θ)
=π/2-θ+sinθcosθ/(1+sinθ)^2+(π/2+θ)sin^2θ/(1+sinθ)^2
周長=π-2θ+2(1-r)cosθ+2πr(π+2θ)/2π
=π-2θ+2(1-r)cosθ+r(π+2θ)
=π-2θ+2cosθ/(1+sinθ)+(π+2θ)sinθ/(1+sinθ)
面積/周長={π/2-θ+sinθcosθ/(1+sinθ)^2+(π/2+θ)sin^2θ/(1+sinθ)^2}/{π-2θ+2cosθ/(1+sinθ)+(π+2θ)sinθ/(1+sinθ)}
={(π/2-θ)(1+sinθ)^2+sinθcosθ+(π/2+θ)sin^2θ}/{(π-2θ)(1+sinθ)^2+2cosθ(1+sinθ)+(π+2θ)sinθ(1+sinθ)}
θで微分し、分子=0とすると、
θ=27.6578187……°
- 972 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/25(水) 18:54:40 ID:mDuON5Tg.net]
- >>919
正解だけどもう>>907で解答出てます
- 973 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/25(水) 20:06:33.01 ID:8IQhbp71.net]
- いつもの芸風
- 974 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/25(水) 21:25:32.84 ID:jmNOx22O.net]
- >>921
正確がでてからも延々と誤答を連発するのが芸風だったようなｗ
- 975 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2020/03/25(水) 23:17:09 ID:YcAWd6vy.net]
- .､､,,
彡`e)⌒～っ
⌒～っ
ιγ)
`彡´
υ´前>>919別解を探ってんだよ。
- 976 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/28(土) 04:00:21.75 ID:H8zc980P.net]
- 単位正方形を面積0.21未満の三角形5つで分割せよ
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