面白い問題おしえて〜な 31問目

1 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/01/27(月) 20:12:01 ID:QSsw4R/8.net] 過去ログ置き場(1-16問目) www3.tokai.or.jp/meta/gokudo-/omoshi-log/ まとめwiki www6.atwiki.jp/omoshiro2ch/ 1 cheese.5ch.net/test/read.cgi/math/970737952/ 2 natto.5ch.net/test/read.cgi/math/1004839697/ 3〜6「datが存在しません。」 7 science2.5ch.net/test/read.cgi/math/1064941085/ 8 science3.5ch.net/test/read.cgi/math/1074751156/ 9 science3.5ch.net/test/read.cgi/math/1093676103/ 10 science4.5ch.net/test/read.cgi/math/1117474512/ 11 science4.5ch.net/test/read.cgi/math/1134352879/ 12 science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1157580000/ 13 science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1183680000/ 14 science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1209732803/ 15 science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1231110000/ 16 science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1254690000/ 17 kamome.5ch.net/test/read.cgi/math/1284253640/ 18 kamome.5ch.net/test/read.cgi/math/1307923546/ 19 uni.5ch.net/test/read.cgi/math/1320246777/ 20 wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1356149858/ 21 wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1432255115/ 22 rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1464521266/ 23 rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1497416499/ 24 rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1502016223/ 25 rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1502032053/ 26 rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1518967270/ 27 rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1532793672/ 28 rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1540739963/ 29 rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1548267995/ なお、削除依頼は不要です。 ※前スレ 面白い問題おしえて〜な 30問目 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1572866819/ 856 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/15(日) 22:53:22.66 ID:ijdl7Zl+.net] エルデシュktkr 857 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/16(月) 00:26:55 ID:xw7qN3/R.net] >>809 >いや、期待値の線形性は別に独立性は必要ないので問題ないよ。 それは分かってる だからこそ2項分布で解いてしまっても間違いが分からないのが悪問ってコトだよ 858 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/16(月) 00:31:06 ID:xw7qN3/R.net] >>812 >それは分かってる もともと白−黒と白−白にしたのは独立性に関係しないことを認識しているかどうかを主眼としたかったから（白と黒が独立と思ってた） 独立線形 非独立線形 独立非線形 非独立非線形 で4題にできて上手く行ったと思ってた 悔しい 859 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/16(月) 06:19:30 ID:FQrBPIz6.net] A,A,A,B,B,C,D,E,F,Gの10文字を並べるとき、どこかで同じ文字が隣り合う確率を求めよ（東北大・改） 860 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/16(月) 08:51:01.03 ID:CVVw1pKV.net] >>814 総当たりで計算 # A,A,A,B,B,C,D,E,F,Gの10文字を並べるとき、どこかで同じ文字が隣り合う確率を求めよ（東北大・改） library(gtools) v=rep(1:7,c(3,2,rep(1,5))) pm=try(permutations(10,10,v,set=F)) tail(pm) f <- function(x){ n=length(x) flg=FALSE for(i in 1:(n-1)){ if(x[i]==x[i+1]){ flg=TRUE break } } return(flg) } (x=pm[10000,]) re=sum(apply(pm,1,f)) library(gmp) N=nrow(pm) as.bigq(re/N) re/N Big Rational ('bigq') : [1] 1388609885105903/2251799813685248 > re/N [1] 0.6166667 861 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/16(月) 09:32:03.26 ID:6K81jsqz.net] 同じ文字が一度も隣合わないような場合の数を考える。 そのためにCDEFGを全てXで置き換え、『AとBは一度も隣合わない』ような場合の数を考える。 （つまりXだけは隣り合っても良い） AとBだけに着目した時の並びが (1)AAABBである時、最低でも AXAXABXB というスペースの空け方が必要。 このAとBで区切られた６つの区間に残りの二つのXが入るから、求める場合の数は 7C2=21. (2)AABABである時、最低でも AXABAB というスペースの空け方が必要。 ６つの区間に残りの四つのXが入るから、求める場合の数は 9C4=126. … 以上のように計算を進めると、求める場合の数の合計は 2*7C2 + 3*8C3 + 4*9C4 + 10C5 = 966 A,B,Xの並べ方の総数は 10C5 * 5C2 = 2520 であるから、求める確率は 966/2520 = 23/60. ゆえに元々の問の答えは 1-23/60=0.6166666… 862 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/16(月) 12:00:30.78 ID:ktTTjCEF.net] 半径1の球面上の4点を一様独立に選ぶとき、その4点の凸包の体積の期待値を求めよ。 863 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2020/03/16(月) 18:51:48 ID:thhgKhx4.net] ／‖__`‖￣￣‖ ｡◯゜ ‖∩∩ ‖ □ ‖　　ﾟ｡ （(-_-)‖　　‖______ （っ⌒⌒ﾞ　 ｡‖╂─╂ ■`(_)_)ц~　‖∩∩╂ ＼■υυ■___‖_ _))⌒つ､＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼`>>817前>>779 凸包の期待値=(4π/3)1^3=4π/3=4.1887902…… 864 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/17(火) 02:08:40.83 ID:Rdjv/Owr.net] >>817 4π/105 865 名前：イナ mailto:sage [2020/03/17(火) 05:19:54.91 ID:jcKSZR9M.net] てつはう。前>>818最初見た人鉄砲とよう読 866 名前：んだなぁ。 凸包は正四面体なのか、4点を包む最小の球なのか。 [] [ここ壊れてます] 867 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/17(火) 07:53:05.59 ID:Ze9EuNOD.net] >>820 四面体で１００万回シミュレーションして平均値をだしてみた。 vertices <- function(r=1){ a=runif(2,-pi,pi) # 角度Θ,Φを一様分布で選らんで theta=a[1] phi=a[2] x=r*sin(theta)*cos(phi) y=r*sin(theta)*sin(phi) z=r*cos(theta) c(x,y,z) # 直交座標を返す } sim <- function(r=1){ vectors=replicate(4,vertices(r)) # ４点の直交座標 abs(det(vectors[,2:4]-vectors[,1]))/6 # 四面体の体積 } k=1e6 re=replicate(k,sim()) mean(re) > mean(re) [1] 0.1069067 868 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/17(火) 09:10:52.71 ID:Ze9EuNOD.net] 球の場合（最小球か否かは考慮せず）の１０万回シミュレーションの平均値 library(nleqslv) Abs <- function(x) sqrt(sum(x^2)) sphere <- function(CR){ # CR:Center,Radius C=CR[1:3] R=CR[4] v4=replicate(4,vertices()) c( Abs(v4[,1]-C),Abs(v4[,2]-C),Abs(v4[,3]-C),Abs(v4[,4]-C) )-R } sphere(1:4/10) # example sim2 <- function(){ r=nleqslv(1:4/10,sphere)$fvec[4] # 初期値 1:4/10 c(0.1,0.2,0.3,0.4) 4/3*pi*r^3 } sim2() k=1e5 re=replicate(k,sim2()) mean(re) > mean(re) [1] 1.8112 869 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/17(火) 10:56:05.58 ID:jkHV1VNx.net] >>822 その数値の厳密値を 870 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/17(火) 11:25:44 ID:Xb0J7ujj.net] >>821 ＞# 角度Θ,Φを一様分布で選らんで 経度緯度を一様分布にしたら極に分布が偏らないかい？ 871 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/17(火) 12:05:03.60 ID:k85T9ON2.net] >>824 グラフにしてみました。 ご指摘どおり、偏りがでました。 https://i.imgur.com/Ix5UvMR.png 872 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/17(火) 12:52:38.52 ID:jkHV1VNx.net] >>825 全然ダメだね 873 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/17(火) 13:24:44.75 ID:k85T9ON2.net] >>824 正方形内で乱数x,yを発生させて　r^2-(x^2+y^2)が負になるのは除外して、北半球と南半球は1/2ずつ分配して乱数発生させてみた。 https://i.imgur.com/bC0gBW7.png こっちの方が一様分布っぽいな。 874 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/17(火) 13:29:03.21 ID:k85T9ON2.net] >>827 これで10万回シミュレーションして、凸包は球（最小球の考慮なし）としてみると k=1e5 re=replicate(k,sim3()) mean(re) > mean(re) [1] 1.800846 という値がでてきた。 875 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/17(火) 13:59:08.56 ID:jkHV1VNx.net] >>827 だめでしょ xyzで外と原点は切ってそれ以外は正規化はどうかなあ これでもダメかも知らんが 876 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/17(火) 14:27:38.49 ID:jkHV1VNx.net] θφで面素密度に合わせて乱数にしたら良いと思う dS=cosθdθdφなのでθという値を取る確率をcosθにする つまりzθの長方形で乱数発生させてz>cosθは除外してθを取る dV=dxdydz=rdrdSだから xyzで球の外を除外して正規化しても本質は同じだな 877 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/17(火) 14:30:18.93 ID:jkHV1VNx.net] dV=drdS rは余計だったが言わんとするところは分かろう 878 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/17(火) 17:38:54.16 ID:k85T9ON2.net] >>830 それを実装してみました。 vertex <- function(r=1){ #緯度φ周りの帯の面積に応じて一様分布 theta=runif(1,-pi,pi) # 経度θ p=sqrt(runif(1)) # 分布確率pを一様分布にする phi=asin(2*p-1) # 確率がpになる緯度φ x=r*cos(phi)*cos(theta) # 曲座標から直交座標に y=r*cos(phi)*sin(theta) z=r*sin(phi) c(x,y,z) } vtx=replicate(5000,vertex()) x=vtx[1,] y=vtx[2,] z=vtx[3,] rgl::plot3d(x,y,z, col="slateblue") https://i.imgur.com/27K33kB.png 879 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/17(火) 17:54:56 ID:k85T9ON2.net] >>832 これで4� 880 名前：_発生させて4点を通る球の半径を連立方程式を計算機に解かせて 体積の10万回の平均をとると > k=1e5 > hull=replicate(k,sim()) > mean(hull) [1] 1.160583 という結果になった。 あまり、自信がない。 解析解は賢者にお任せ。 [] [ここ壊れてます] 881 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/17(火) 19:33:25.26 ID:Tm+KNX4Y.net] 半径１の球に内接する正四面体の体積は 8/(9√3) = 0.5132.. >>817の解はこれより小さい（はず） 882 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/17(火) 20:40:37.39 ID:k85T9ON2.net] >>834 vertex <- function(r=1){ #緯度φ周りの帯の面積に応じて一様分布 theta=runif(1,-pi,pi) # 経度θ p=sqrt(runif(1)) # 分布確率pを一様分布にする phi=asin(2*p-1) # 確率がpになる緯度φ x=r*cos(phi)*cos(theta) # 極座標から直座標に y=r*cos(phi)*sin(theta) z=r*sin(phi) c(x,y,z) } で、球の表面から４点を取り出して # 四面体の体積 sim <- function(r=1,print=F){ v4=replicate(4,vertex()) # ４点の直交座標 if(print) print(v4) abs(det(v4[,2:4]-v4[,1]))/6 # 四面体の体積 } で１０万回シミュレーションしたら k=1e5 tetra=replicate(k,sim()) mean(tetra) summary(tetra) こんな結果 > summary(tetra) Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max. 0.0000006 0.0242839 0.0645573 0.0928661 0.1361202 0.5035962 最大値は8/(9√3) = 0.5132..以下になっている 883 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/17(火) 21:18:37 ID:k85T9ON2.net] こっちの方がx,y,zともに一様分布になっている。 vertex <- function(r=1){ x=runif(1,-1,1) # x ~ 一様分布[-1,1] phi=runif(1,-pi,pi)　# φ ~ 一様分布[-π,π] y=sqrt(1-x^2)*cos(phi) # √(1-x^2)*cos(φ) z=sqrt(1-x^2)*sin(phi) # √(1-x^2)*sin(φ) r*c(x,y,z) } https://i.imgur.com/xX0mTim.png https://i.imgur.com/H7hs9w8.png これでやってみると、四面体の場合 > mean(tetra) [1] 0.1201118 > summary(tetra) Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max. 0.0000003 0.0372266 0.0922805 0.1201118 0.1794858 0.5104545 884 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/17(火) 22:43:27.26 ID:jkHV1VNx.net] >>836 >x,y,zともに一様分布 ではダメだろ 球面上に一様に分布するのなら x座標は√(1-x^2)の確率密度となる 885 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/17(火) 22:51:51.42 ID:jkHV1VNx.net] あーそうか st正方形でsとtと一様ランダムに点を得て 原点中心の円の外にあれば棄て 内部にあればそのs座標を取ることで 確率密度√(1-s^2)の分布でランダムに取れる これでxyzをそれぞれ取ってやればいい あーダメか独立に取ったら球面上に来ないな じゃあこれでxを取ってyzはcosθsinθでθを一様ランダムに取れば良いや 886 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/17(火) 22:53:39.72 ID:jkHV1VNx.net] y,zは√(1-x^2)cosθ,√(1-x^2)sinθで 887 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/17(火) 23:09:55.33 ID:jkHV1VNx.net] >>837 あー間違いか>>836で正しいやスマン 888 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/18(水) 04:39:06 ID:LbXnfiiv.net] <V> = 1/6 = 0.16667 だったら　>>834 の要求を満足するんだが････ 889 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/18(水) 09:41:40 ID:POVuSFx0.net] 某イベントで紹介された問題の同値な改題 整数から実数への関数 f:Z→R であって、任意の整数 x,y,z について 【 x^2 + 4y^2 = z^2 ならば f(x) + 4f(y) = f(z) 】 を満たすものを全て求めよ 890 名前：イナ mailto:sage [2020/03/18(水) 12:22:31.26 ID:/PMjHzs1.net] ＼＼＼＼＼`∩∩､＼＼＼ ＼＼＼＼⊂(_ _))`⌒つ` ＼＼＼＼＼＼＼`υ､＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼`原点を頂点とした三角錘が4つ集まった四面体の体積は、 V=(4/3)Sh h=1/3(∵球の半径=1) S=(√3/4)a^2とすると、 底面の中心から底辺までの距離はピタゴラスの定理より、 √{1^2-(1/3)^2}=2√2/3 正三角形の高さは√2 a=√2(2/√3) =2√2/√3 S=(√3/4)(2√2/√3)^2 =(√3/4)(8/3) =2√3/3 前>>820 V=(4/3)(2√3/3)(1/3) =8√3/27 =0.513200239…… ここまではわかった。 1点目が任意で、2点目をうまくとる確率は後回し、3点目をうまくとる確率も後回し、4点目をうまくとる確率は1/2 2点目と3点目は1と1/2のあいだじゃないとだめだと思うから、 3点目をうまくとる確率が2/3で2点目をうまくとる確率が3/4なら、 すべてうまくとる確率は1/4 V/4=2√3/27 =0.12830006…… 891 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/18(水) 14:27:28 ID:Tu49ygg5.net] >>836 数理はさっぱりわからないんだが、Wikipediaによれば正規分布に従う３変数から球面の一様分布座標が作れるらしい。 x1,x2,x3〜Norm(0,1) で r=√(x1^2+x2^2+x3^2)として (x1/r,x2/r,x3/r)が単位球面の一様分布になるという。 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E7%90%83%E9%9D%A2 Marsaglia(1972) https://projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.aoms/1177692644 実装してみた。 図示すると>836と同じく、x,y,zが一様分布して、球面の一様分布しているようにみえる。 vertex <- function(){ # xi ~ Norm(0,1) , xi/√(Σxi^2) v=rnorm(3,0,1) # 正規分布N(0,1)する３個からなるベクトル v v/sqrt(sum(v^2)) # v の長さで割る } vtx=replicate(5000,vertex()) par(mfrow=c(3,1)) x=vtx[1,] ; hist(x,col='pink') y=vtx[2,] ; hist(y,col='orange') z=vtx[3,] ; hist(z,col='darkgreen') rgl::plot3d(x,y,z, col='slateblue') par(mfrow=c(1,1)) # 四面体の体積 sim <- function(r=1,print=F){ v4=replicate(4,vertex()) # ４点の直交座標 if(print) print(v4) abs(det(v4[,2:4]-v4[,1]))/6 # 四面体の体積 } k=1e5 tetra=replicate(k,sim()) # k回のシミュレーション mean(tetra) summary(tetra) BEST::plotPost(tetra) 期待値も分布もほぼ同じ。 > mean(tetra) [1] 0.119512 > summary(tetra) Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max. 0.0000001 0.0368084 0.0918738 0.1195120 0.1789221 0.5093198 四面体の体積の分布も同様でこんな分布。 https://i.imgur.com/yjsaR3Q.png 892 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/18(水) 14:45:48 ID:kt0eelvd.net] >>844 >数理はさっぱりわからないんだが、Wikipediaによれば正規分布に従う３変数から球面の一様分布座標が作れるらしい。 独立に取ったときの確率密度がe^-(x^2+y^2+z^2)みたいなrのみの関数に比例するからだな でも>>836でいいと思うし 関数の近似による偏りみたいなのを気にするなら >>829でも球の外を除外した後の考え方はそのWikipediaのと同じだし 893 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/18(水) 15:06:17 ID:Tu49ygg5.net] ３次元化座標が球面の一様分布することは、図示してイメージするほかに、どうやったら検証できるのだろう？ 球面上の任意の一定面積に含まれる数が一定であるのを確認する方法が思いつかない。 こういうデータが一様分布かどうかは確認できるだろうか x y z [1,] 0.4090696 -0.06240392 0.9103669 [2,] -0.1452435 -0.97420684 0.1727002 [3,] -0.1082045 0.53218504 0.8396850 ..... ..... x y z [4998,] 0.6609463 -0.096259265 -0.7442340 [4999,] 0.5669702 0.758929767 -0.3202661 [5000,] 0.8944673 -0.008481795 -0.4470530 894 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/18(水) 15:16:53 ID:kt0eelvd.net] >>846 ｘθとかθφで分割して点の数を数えて面積で割ったら？ 十分細かく分割を取っておいて サンプル点を十分多く取っていけば 大数の法則で 期待した値にぐいぐい集まってくるはずだし 895 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/18(水) 16:16:35.57 ID:Tu49ygg5.net] >>847 レスありがとうございます。 x,y,z を 極形式にして�刄ﾆ　�刄ﾓの範囲にある数が一様かどうかみればいいんだな。 896 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/18(水) 21:31:14.71 ID:Tu49ygg5.net] 直交座標から極座標のθφを出して、それをグラフにしてみました。 https://i.imgur.com/swLs0hO.png 両端が疎に見えます。 グリッドを作ってそこに含まれる点を数えてその分布をみればいいのかな？ どの程度のばらつきなら、一様分布とみなせるのかと考えるとふりだしに戻る気がする。 897 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/19(Thu) 01:13:20 ID:HdgduOXs.net] 辺の長さが 898 名前：全て有理数の多角形において、少なくとも2つ以上の内角[rad]は無理数であることを示せ. [] [ここ壊れてます] 899 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/19(Thu) 01:36:55 ID:KrhQLEng.net] >>848 ΔθΔφの囲む面積はcosθ ΔθΔφだよ θが南北でΔθの幅の中央の値ね 点の個数をこれで割らないと一定にならない ΔθΔφが一定ならcosθで割れば良い 900 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/19(Thu) 01:48:15 ID:mXsnD9nM.net] >>819 　0.1196797201367540････ 901 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/19(Thu) 02:03:39 ID:KrhQLEng.net] >>849 >どの程度のばらつきなら、一様分布とみなせるのかと考えるとふりだしに戻る気がする。 Δθ=π/n Δφ=2π/m つまり球面をnm個の領域に分割した場合（m,n固定） 一様分布ならサンプルN点でその領域内にあるのはNπcosθ/2mn個だろうから 数え上げてM点ならΣ(M-Nπcosθ/2mn)^2/mnがN→∞で次第に0に近づく（大数の法則）ことを見るとか？ 902 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/19(木) 02:07:37.40 ID:KrhQLEng.net] >>849 >両端が疎に見えます。 横軸がθとすると 縦方向にcosθを掛けて点をプロットすれば良い それで0≦φ≦cosθの領域内に均一に見えたらOK 903 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/19(Thu) 08:37:27 ID:XGan5JrS.net] >>849 これって>821と逆のことをやっているだけのような気がするな。 一様分布する球面上の点を極形式で表示したときに緯度・経度が一様分布はしないんだろうな。 904 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/19(Thu) 09:28:52 ID:XGan5JrS.net] >>854 数理を理解できないままにグラフ化すると plot(θ,φ*cos(θ),bty='n',pch='.',xlab='θ(北極点からのラジアン)' ,,ylab='φ（経度)*cos(θ）') https://i.imgur.com/R8TFUG3.png 理解が足りないので断念。 905 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/19(Thu) 09:32:03 ID:KrhQLEng.net] >>856 θを北極点からのにするなら sinθ掛けて 906 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/19(Thu) 09:35:45 ID:KrhQLEng.net] >>855 極に近い方がずっと狭くなるからね 球面の表面積は円柱の側面積と同一であるという 2000年前から知られている原理からすると xyzに落とし込んでもそれぞれの座標上で一様分布になる これは>>836の https://i.imgur.com/xX0mTim.png 907 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/19(木) 10:39:50.31 ID:BW7TgbOd.net] >>850 リンデマンの定理より有理数q≠0に対して e^(iq) が超越数であることから従う 908 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/19(木) 10:52:58.05 ID:XGan5JrS.net] >>857 θとφの定義は下図に準拠 physics.thick.jp/Physical_Mathematics/Section3/figures/fig27.png rm(list=ls()) vertex <- function(r=1){ x=runif(1,-1,1) # x ~ 一様分布[-1,1] phi=runif(1,-pi,pi)　# φ ~ 一様分布[-π,π] y=sqrt(1-x^2)*cos(phi) # √(1-x^2)*cos(φ) z=sqrt(1-x^2)*sin(phi) # √(1-x^2)*sin(φ) r*c(x,y,z) } # 直交座標を極座標に c2p <- function(xyz){ # (x,y,z) -> (θ,φ) Cartesian 2 Polar x=xyz[1];y=xyz[2];z=xyz[3] r=sqrt(x^2+y^2+z^2) # =1になるx,y,zの組合せ theta=acos(z/sqrt(x^2+y^2+z^2)) # = acos(z) [0,π]の値 phi=ifelse(y>0,acos(x/sqrt(x^2+y^2)), # y>0ならφ < π 2*pi-acos(x/sqrt(x^2+y^2)))# y<0ならφ > π c(theta,phi) } n=1e5 vtx=replicate(n,vertex()) # n個の点を作る vtx=replicate(n,vertex()) # n個の点を作る v=t(vtx) # 転置してn行３列(x,y,z)に head(v,3) ; tail(v,3) vp=apply(v,1,c2p) # 各行毎にx,y,z -> θ,φに変換 tp=t(vp) # theta θ, phai φ 転置してn行2列(θ,φ)に fn <- function(x){ # 0<=φ & φ<=sin(θ)を満たすかを返す θ=x[1] φ=x[2] 0<=φ & φ<=sin(θ) } tp1=tp[apply(tp,1,fn),] # fnがTRUEになるθ,φを抽出して θ=tp1[,1] φ=tp1[,2] plot(θ,φ*sin(θ),bty='n',pch='.', xlab='θ(北極点からのラジアン)',ylab='φ（経度)*sin(θ)') # グラフ化 https://i.imgur.com/dtO0oRW.png 正弦波が描出されただけのような 909 名前：？ [] [ここ壊れてます] 910 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/19(木) 10:54:23.75 ID:/Ts8dWJZ.net] >>859 素晴らしい 正解です 911 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/19(木) 10:58:32.26 ID:XGan5JrS.net] >>852 >844のシミュレーション結果に相当する結果ですね。 計算法はさっぱり思いつかないけどｗ 912 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/19(Thu) 13:39:41 ID:KrhQLEng.net] >>860 >正弦波が描出されただけのような？ 点の密度が正弦波の下でどこでも一定に見えるでしょ だから球面上で一様分布だってことだよ さらに厳密性のために 点の密度が一定かどうかを検定するには 十分細かく分割して 一様分布なら1つの区画内にあるはずの点の個数の平均を計算しておいて それと実測値との差の2条の平均（分散）でできるんじゃないかなあ 913 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/19(Thu) 13:43:34 ID:KrhQLEng.net] >>860 >正弦波が描出されただけのような？ あれ？ 正弦波の0〜πの部分と違うな 上に凸なのに両端近くに変曲点がある なんで？ 914 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/19(木) 14:42:09.63 ID:lL/ZGWr/.net] 任意の実数に到達できるような関数電卓は存在するか？ 関数電卓は、入力は整数で有限個の関数を持っており計算速度は無限大であるとする。 915 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/19(Thu) 16:40:30 ID:XGan5JrS.net] 球面に一様分布らしき点を5000個発生させて、 各々の点でθが5°の球冠面にその点以外にどれだけの点が含まれるかを算出させてみた。 https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2f/Spherical_cap_diagram.tiff/lossless-page1-597px-Spherical_cap_diagram.tiff.png 中央値9 平均9.56 標準偏差3.14という値になった。 > summary(dots) ; sd(dots) Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max. 0.000 7.000 9.000 9.556 12.000 23.000 [1] 3.148086 ヒストグラムだと https://i.imgur.com/4XaXArc.png # 球面一様分布 c(x,y,z) vertex <- function(r=1){ x=runif(1,-1,1) # x ~ 一様分布[-1,1] phi=runif(1,-pi,pi)　# φ ~ 一様分布[-π,π] y=sqrt(1-x^2)*cos(phi) # √(1-x^2)*cos(φ) z=sqrt(1-x^2)*sin(phi) # √(1-x^2)*sin(φ) r*c(x,y,z) } n=5000 vtx=t(replicate(n,vertex())) # n個の点x,y,zをつくる rgl::plot3d(vtx[,1],vtx[,2],vtx[,3], col="slateblue") Theta=(pi/180)*5 onCap <-function(x,y,theta){ acos(x %*% y) < theta # ベクトルの内積の逆余弦がtheta未満なら球冠上にある } hmonCap<- function(j){ count=0 for(i in (1:n)[-j]){ count = count + onCap(vtx[j,],vtx[i,],Theta) } return(count) } dots=sapply(1:n,hmonCap) summary(dots) ; sd(dots) hist(dots) ; table(dots) BEST::plotPost(dots) 916 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/19(Thu) 16:45:37 ID:XGan5JrS.net] 極に分布が偏る　 # 角度Θ,Φを一様分布で選らんで だと > summary(dots) ; sd(dots) Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max. 0.0 6.0 10.0 18.7 17.0 139.0 [1] 26.50699 標準偏差が大きいので一様とは呼べない。 ヒストグラムを描くとhttps://i.imgur.com/Y8mFUop.png 917 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/19(Thu) 17:03:25 ID:XGan5JrS.net] >>863 球面上の面積を一定にしてグリッドを描いてその中の点を数えるプログラムはできそうにないので断念して、 上記のように散布した点の周りに何個の点があるのかを数えるのに変えました。 色々と助言ありがとうございました。 918 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/19(Thu) 17:07:02 ID:XGan5JrS.net] >827の 正方形内で乱数x,yを発生させて　r^2-(x^2+y^2)が負になるのは除外だと Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max. 0.00 9.00 13.00 12.58 16.00 33.00 [1] 5.694825 標準偏差5.69と前二者の間になった。　まあ、直感と合致した感じ。 919 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/19(Thu) 19:05:16 ID:KrhQLEng.net] >>819 計算教えて 920 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/19(Thu) 19:13:01 ID:uD33tvXq.net] >>869 単位球の表面積は4π。この球を平面で切り、（切断面を除く）表面積を3πとπに分けるためには、 平面と球の中心の距離はいくらか？　答えは y=√(1-x)^2、π=∫[a,1]2πy√(1-(dy/dx)^2)dx　を解いて、a=1/2 球と平面の距離が1/2なら、切断面の半径は(√3)/2 このことから、球面上を一様に分布した点があり、それを、赤道面上に投影すると、 半径(√3)/2の円内に半分の点があり、その外側のドーナツ型の部分に半分の点がなければならない。 >>827　の方法では、半径(√2)/2の円の内外で二分されるため、球面上を一様に分布した点とはならないと思われる。 ではどうすればよいかというと、[-1,1]の一様乱数x,y,zを発生させ、 x^2+y^2+z^2が1を超えたら破棄、1以下なら、X=x/r、Y=y/r、Z=z/r、r=√(x^2+y^2+z^2) というのが、シンプルだと思われる。 921 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/19(Thu) 19:41:52 ID:KrhQLEng.net] >>830 >xyzで球の外を除外して正規化しても本質は同じだな これね スマン意図伝わってなかったかも知らん 922 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/19(Thu) 19:49:41 ID:uD33tvXq.net] >>871 一行の中に、二カ所もひどい間違いしてました。訂正します。 ×：y=√(1-x)^2、π=∫[a,1]2πy√(1-(dy/dx)^2)dx　を解いて、a=1/2 ○：y=√(1-x^2)、π=∫[a,1]2πy√(1+(dy/dx)^2)dx　を解いて、a=1/2 923 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/19(木) 20:45:46.04 ID:XGan5JrS.net] >>871 [-1,1]の一様乱数x,y,zを発生させ、 x^2+y^2+z^2が1を超えたら破棄、1以下なら、X=x/r、Y=y/r、Z=z/r、r=√(x^2+y^2+z^2) でやってみました。 >866とほぼ同じ平均と標準偏差になりました。 　 Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max. 1.000 7.000 9.000 9.585 12.000 24.000 [1] 3.193939 924 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/19(Thu) 21:44:15 ID:uD33tvXq.net] 球面を、二つの平面、x=aとx=a+hでカットしたときの帯状の曲面の面積は、 カットする位置によらず、幅hにのみ依存します。 >>866はこの性質を利用した方法なので、球面一様分布を生成する正しい方法だと思います。 一方、>>827の方法は、正しくないという指摘です。 925 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/19(木) 23:30:46.19 ID:nprfnGEx.net] 数aの問題です。 【300人を対象に「二つのテーマパークpとqに行ったことがあるか」というアンケートをおこなったところ、pに行ったことがある人が147人、qに行ったことがある人が86人、どちらにも行ったことのない人が131人であった。 　（１）両方に行ったことのある人の数を求めよ。 　（２）どちらか一方にだけ行ったことのある人の数を求めよ。】　という問題です。答えを見てもなかなか理解が出来ませんでした。 926 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/19(木) 23:42:24.02 ID:8QNcFC1P.net] ↑の問題書く板を間違えてしまいました。失礼しました。 927 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/19(木) 23:43:46.42 ID:8QNcFC1P.net] ↑板ではなくてスレです。初心者のため用語がごちゃごちゃになってしまいました。何度も失礼しました。 928 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/20(金) 00:03:06.45 ID:p5Mf5Wxl.net] >>876 (1)147+86-(300-131)=64 (2)147-64=83 86-64=22から83+22=105 答が理解できない理由が謎。 929 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/20(金) 00:11:49.72 ID:p5Mf5Wxl.net] >>875 緯度でθ+Δθでやると帯の面積はΔθだけなくてθの値にも依存しますね。 930 名前：イナ mailto:sage [2020/03/20(金) 01:13:13.31 ID:8G8tjVXV.net] 前>>843 >>817 面白い問題と言うからにはこのぐらいのことは起こらないとね。 半径1の球に内接する正四面体の一辺をaとして、 その体積はa^3√2/12 4つの頂点を無作為にとったとき、凸包の体積Vはちょうど一辺が1の正四面体の体積になるとか。 a=1のときV=√2/12 =0.11785113…… 931 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/20(金) 03:34:41 ID:BTmsQo5f.net] >>881 稀代の馬鹿 932 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/20(金) 05:33:36.40 ID:5OgbmOf4.net] >>772 面白い問題おしえて〜な 31問目 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1580123521/859 933 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/20(金) 05:34:37.30 ID:5OgbmOf4.net] 誤爆orz 934 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2020/03/20(金) 06:59:12 ID:8G8tjVXV.net] ＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼ ＼＼＼`∩∩､/､＼＼＼＼ ＼＼⊂(_ _ )`⌒つ､＼＼ ＼＼＼＼＼`υ､＼＼＼＼ ＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼ ＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼ ＼＼＼`前>>881＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼>>817 (1/2)^3=1/8=0.125 ＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼ 935 名前：イナ mailto:sage [2020/03/20(金) 07:55:00.46 ID:8G8tjVXV.net] 前>>885 ∵半径1の球表面にA,BをとるときABは0〜2の値を無作為にとるが、そのあいだを動かしたときもっともとり得る値はAB=√2 同様にAC=√2,BC=√2 もっともとり得る 936 名前：△ABCの面積は、 △ABC=(√3/4)(√2)^2 =√3/2 △ABCの重心をGとして、 四面体ABCDの△ABCを底面とした頂点Dの高さDGは0も含めいろいろな値を無作為にとるが、もっともとり得る値は、球の中心をOとしてOGと等しい。 つまり四面体ABCDの体積のもっともとり得る値は、3つの稜線のおのおのが直交し長さが1の三角錘の体積と等しい。 [] [ここ壊れてます] 937 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2020/03/20(金) 08:04:52 ID:8G8tjVXV.net] 前>>886訂正。 >>817 四面体ABCD=(1/3)(1/2)･1 =1/6 =0.166…… ∵>>886 938 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/20(金) 18:27:18 ID:lC3HBZ24.net] 888げとー　　(パチスロか?) >>887 　OA,OB,OCが直交すればOABCの体積は 1/6 　>>841 と一致･･･ (正しくはなかろうが) 939 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2020/03/21(土) 10:38:50 ID:gmytXLCF.net] ‖∩∩ ‖ □ ‖○?∇ （(-_-)‖　　‖Δ>>888 （っ⌒⌒ﾞ　 ｡‖╂─╂ ■`(_)_)ц~　‖╂─╂ ＼■υυ■_∩∩､＼＼＼ ＼＼＼＼⊂(_ _ )`⌒つﾞ ＼＼＼＼＼＼＼`υ､＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼`球表面にもっともとり得る2点目、3点目を順にとると任意の2点は球の中心に対して直角になる。 前>>887あとは4点目をどうとるか。3点で決まる平面と平行な、球体を切った任意の円盤の中で、もっともとり得る円盤は球の中心を通るやつ。この円盤と球表面の共有線である円周上に4点目があるときの四面体の体積は、稜線が直角な三角錘と同体積。 稜線の長さは球の半径=1だから三角錘の体積(1/3)Shは、 (1/3)(1/2)･1=1/6 =0.166…… あってると思うけど。 940 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/21(土) 19:43:53 ID:4jcynL59.net] >>817 数値積分による解 In[1]:= S[t1_,t2_,p_] := Simplify[Norm[Cross[{Cos[t1]Cos[+p],Cos[t1]Sin[+p],Sin[ t1]}-{0,0,-1},{Cos[t2]Cos[-p],Cos[t2]Sin[-p],Sin[t2]}-{0,0,-1}]]/2] In[2]:= d[t1_,t2_,p_] := Simplify[Det[{{Cos[t1]Cos[+p],Cos[t1]Sin[+p],Sin[t1]},{ Cos[t2]Cos[-p],Cos[t2]Sin[-p],Sin[t2]},{0,0,-1}}]/(2 S[t1,t2,p])] h[d_] := Simplify[(Integrate[Cos[t3](d-Sin[t3]),{t3,-Pi/2,ArcSin[d]}]+Integrate[Cos[t3](Sin[t3]-d),{t3,ArcSin[d],Pi/2}])/Integrate[Cos[t3],{t3,-Pi/2,Pi/2}]] In[3]:= h[d_] := Simplify[(Integrate[Cos[t3](d-Sin[t3]),{t3,-Pi/2,ArcSin[d]}]+In tegrate[Cos[t3](Sin[t3]-d),{t3,ArcSin[d],Pi/2}])/Integrate[Cos[t3],{t3,-Pi/2,Pi/ 2}]] In[4]:= NIntegrate[Cos[t1]Cos[t2]h[d[t1,t2,p]]S[t1,t2,p]/3,{p,0,Pi/2},{t1,-Pi/2, Pi/2},{t2,-Pi/2,Pi/2}]/Integrate[Cos[t1]Cos[t2],{p,0,Pi/2},{t1,-Pi/2,Pi/2},{t2,- Pi/2,Pi/2}] Out[4]= 0.11968 941 名前：イナ mailto:sage [2020/03/21(土) 21:28:05.69 ID:gmytXLCF.net] 前>>889 >>881少数第三位を四捨五入すると、 V=0.12 942 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/21(土) 22:05:25 ID:RyI2Q/uv.net] >>891 少数第1位を四捨五入すると、V=0 943 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/22(日) 10:38:19 ID:fXf64y18.net] >>890 の式を整理して精度を上げてみる In[1]:= NIntegrate[Cos[t1]Cos[t2] (2(Sin[2p]Cos[t1]Cos[t2])^2+(Cos[p](-Cos[t1]+Cos[t2]+Sin[t1-t2]))^2+(Sin[p](Cos[t1]+Cos[t2]+Sin[t1+t2]))^2) /(24Pi Sqrt[(Sin[2p]Cos[t1]Cos[t2])^2+(Cos[p](-Cos[t1]+Cos[t2]+Sin[t1-t2]))^2+(Sin[p](Cos[t1]+Cos[t2]+Sin[t1+t2]))^2]) ,{p,0,Pi/2},{t1,-Pi/2,Pi/2},{t2,-Pi/2,Pi/2}, WorkingPrecision->12, PrecisionGoal -> 11] Out[1]= 0.119679720136 944 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/23(月) 03:30:35 ID:uvHIelYA.net] これってパソコンなしでは解けませんよね？ 【富山県最強伝説】新型コロナウイルスPCR検査件数　54人　陽性0人 https://asahi.5ch.net/test/read.cgi/newsplus/1584811696/ ある集団から54人を無作為に選んでPCR検査したら陽性0であったとして PCR検査の感度0.7　特異度0.9としてこの集団の有病率の期待値と95%信頼区間を求めよ。 945 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/23(月) 11:46:03 ID:MEkmhbu9.net] >>893 数値的にしか解けないの？ 946 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/23(月) 15:15:51 ID:9TP9mpqz.net] Rの標準ライブラリは抽象代数計算ないから標準ライブラリだけなら数値積分しかできないだろな。 947 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/23(月) 15:27:44 ID:mjeu1Sts.net] >>895 前計算してた人� 948 名前：盾驍� 確率密度関数与えられるから あとは体積の計算して平均出すだけだけど 式は書けても計算ができそうもない [] [ここ壊れてます] 949 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/23(月) 22:00:13.53 ID:GiYqQssY.net] 半径1の半円の内部に閉曲線を描く このとき(閉曲線が囲う領域の面積)/(閉曲線の長さ)の最大値を求めよ 950 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2020/03/23(月) 23:31:07 ID:dYUW2zOC.net] 前>>891 >>898 閉曲線で囲まれた領域が楕円のとき、 短軸1,長軸1/√2 面積π(1/2)(1/√2) =π/2√2 周長2π√(1/2)√(1/√2) =π√√2 面積/周長=1/2√2･√√2 =0.297301779…… 蛹で越冬する感じか。 951 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/23(月) 23:36:36 ID:GiYqQssY.net] >>899 不正解 それなら半円そのもの π/(2(π+2))=0.3055... の方が大きい 952 名前：イナ ◆/7jUdUKiSM mailto:sage [2020/03/23(月) 23:44:31 ID:dYUW2zOC.net] 前>>899 >>900半円は直線が入ってるら。不適だに。 953 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/23(月) 23:53:47.84 ID:HQzFbrB9.net] >>901 いくらでも半円に近づけるから比が0.3055...に近い閉曲線が描ける よって>>899は最大値ではない でも内部だと確かにsupはあってもmaxが無いことになってしまうので>>898は改題します すみません 「半径1の半円の部分集合として閉曲線を描く このとき(閉曲線が囲う領域の面積)/(閉曲線の長さ)の最大値を求めよ」 ただし、ここで言う半円は{(x,y)∈R^2 | x^2+y^2≦1 ,y≧0}のことです 954 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/24(火) 00:23:44 ID:bCLJqQcJ.net] l = (sinθ/(1+sinθ))(θ+π/2) + (sinθ'/(1+sinθ'))(θ'+π/2) + cosθ/(1+sinθ) + cosθ'/(1+sinθ') + (π-θ-θ') S = (θ/2)(sinθ/(1+sinθ))^2 + (θ'/2)(sinθ'/(1+sinθ'))^2 + (1/2)sinθcosθ/(1+sinθ)^2 + (1/2)sinθ'cosθ'/(1+sinθ')^2 + (π-θ-θ')/2 maximize S/l where θ,θ'≧0, θ+θ'≦π sssp://o.5ch.net/1mukb.png 955 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2020/03/24(火) 01:36:19.20 ID:TnHQvRcs.net] >>896 レスありがとうございます。 こういうアルゴリズムになるのかと愚考しています。 事前分布を選択する（例. 有病率は高々10%として(0.0.1]の一様分布とする)、 陽性確率は真陽性確率と偽陽性確率の和、 陽性数はこの確率で二項分布、 956 名前：１３２人目の素数さん [2020/03/24(火) 02:07:58.87 ID:cfg1hqI2.net] >>897 具体的には球面上の2変数の座標系stがあって st平面上の領域Dと球面が(x,y,z)=f(s,t)で対応しているとき 球面上の一様分布を与えるst2変数の密度関数g(s,t)が存在し dS/4π=g(s,t)dsdt となる 頑張ればf,gは具体的な式で与えることは出来る 球面上の4点をp1=f(s1,t1)・・・p4=f(s4,t4)で表して これら4点を頂点とする4面体の体積を表す関数V(p1,p2,p3,p4)を 何とか式で表せはするから ∬∬∬∬V(f(s1,t1),・・・,f(s4,t4))g(s1,t1)・・・g(s4,t4)ds1dt1・・・ds4dt4 を計算したら良いだけ

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