面白い問題おしえて〜な 30問目

1 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2019/11/04(月) 20:26:59 ID:+E5iDXKl.net] 過去ログ置き場(1-16問目) www3.tokai.or.jp/meta/gokudo-/omoshi-log/ まとめwiki www6.atwiki.jp/omoshiro2ch/ 1 cheese.5ch.net/test/read.cgi/math/970737952/ 2 natto.5ch.net/test/read.cgi/math/1004839697/ 3〜6「datが存在しません。」 7 science2.5ch.net/test/read.cgi/math/1064941085/ 8 science3.5ch.net/test/read.cgi/math/1074751156/ 9 science3.5ch.net/test/read.cgi/math/1093676103/ 10 science4.5ch.net/test/read.cgi/math/1117474512/ 11 science4.5ch.net/test/read.cgi/math/1134352879/ 12 science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1157580000/ 13 science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1183680000/ 14 science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1209732803/ 15 science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1231110000/ 16 science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1254690000/ 17 kamome.5ch.net/test/read.cgi/math/1284253640/ 18 kamome.5ch.net/test/read.cgi/math/1307923546/ 19 uni.5ch.net/test/read.cgi/math/1320246777/ 20 wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1356149858/ 21 wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1432255115/ 22 rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1464521266/ 23 rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1497416499/ 24 rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1502016223/ 25 rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1502032053/ 26 rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1518967270/ 27 rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1532793672/ 28 rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1540739963/ 29 rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1548267995/ なお、削除依頼は不要です。 152 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2019/12/03(火) 19:06:07.74 ID:PHS8a67O.net] 証明を完成させる。 Aの図の最小駆除手数が有限とする。 �@によってAはBに還元されるらBのそれも有限である。 還元を"合成"することにより�A〜�FによってBはB自身に還元される。 すなわち B|B なる形の還元を得る。 当然左辺の最小駆除手数と右辺の最小駆除手数は等しい。 しかし先の"合成"において右辺のBへの還元は少なくとも�F以外の還元を一回以上含むので強還元である。 よって左辺の最小駆除手数は右辺の最小駆除手順より真に大きい。 これは矛盾である。 153 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2019/12/03(火) 19:07:39.90 ID:PHS8a67O.net] 後は全ての要駆除地点数が4か所以下の場合駆除可能を示せば>>113の(2)は終わり。 それはさほど難しくない。 154 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2019/12/03(火) 19:13:56.14 ID:q3do5N+i.net] お？記念パピコ 155 名前：イナ mailto:sage [2019/12/03(火) 21:13:17.60 ID:tHGFd0Ca.net] 前>>140つづき。 >>101 S=S(A,P)+S(P,Q)+S(Q,B) =(2/3)√(2p^2-1)-14/27+(4/3)√(p^2-1)-2p√(p^2-1)――�B 24p^3-30p^2-9p+5=0――�C �Bを微分すると、 S'=(2/3)(1/2)4p/√(2p^2-1)+(4/3)(1/2)2p/√(p^2-1)-2√(p^2-1)-2p(1/2)2p√(p^2-1) =(4p/3)√(2p^2-1)+(4p/3-2-p)√(p^2-1) =(4p/3)√(2p^2-1)+(p/3-2√(p^2-1)=0 4p√(2p^2-1)=(6-p)√(p^2-1) 16p^2(2p^2-1)=(p^2-12p+36)(p^2-1) 32p^4-16p^2=p^4-12p^3+36p^2-p^2+12p-36 31p^4+12p^3-51p^2-12p+36=0――�D 156 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2019/12/03(火) 22:00:25.13 ID:PHS8a67O.net] >>146 訂正 >>145のリストは全部強還元だね 　　　　｜　ーー ㊀㊀◯　｜　ー㊀㊀ が強還元だ。 左辺の最小駆除手数＝右辺の最小駆除手数+2でした。 なので �F左辺の最小駆除手数＝�F右辺の最小駆除手数+４。 157 名前：１３２人目の素数さん [2019/12/04(水) 02:08:39.81 ID:Jljxtj0w.net] ω_Nを半径1のN次元空間球({x∈R^N | |x|=1})の体積(N次元ルベーグ測度)とする (1) 急減少関数f:[0,∞)→Rに対して、 ∫_R^N f(|x|) dx=Nω_N ∫_0^∞ r^(N-1) f(r) dr となることを示せ (2)ω_Nを求めよ 158 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2019/12/04(水) 03:12:22.24 ID:QgYj7jDm.net] 球？球面？ 159 名前：１３２人目の素数さん [2019/12/04(水) 03:22:50.83 ID:Jljxtj0w.net] >>153 すみません 修正します 球{x∈R^N | |x|≦1}です 160 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2019/12/04(水) 04:21:30 ID:OqD6i4Hu.net] >>152 (1) M=S^(N-1)とおき、Nの体積形式をηとする。 R×N→R^Nを(r,θ)=rθで定めればR^Nの体積形式はr^(N-1)ηdrである。 よって ∫[x∈R^N]f(|x|)dx =∫[r>0,θ∈S^(N-1)] f(|rθ|)r^(N-1)ηdr =∫[θ∈S^(N-1)]η∫[r>0] r^(N-1)f(r)dr =vol(S^(N-1))∫[r>0] r^(N-1)f(r)dr である。 一方で ω_N =∫[x≦1]1dx =∫[0<r<1,θ∈S^(N-1)] r^(N-1)ηdr =∫[θ∈S^(N-1)]η∫[0<r<1] r^(N-1)dr =vol(S^(N-1))/N により主張は成り立つ。 (2) f(x)=exp(-x^2)とすれば ∫[x∈R^N]f(|x|)dx ＝(∫[t∈R]exp(-x^2)dt)^N ＝π^(N/2)、 ∫[r>0]r^(N-1)exp(-r^2)dr =∫[t>0]t^((N-1)/2)exp(-t)t^(-1/2)dt/2 =(1/2)∫[t>0]t^(N/2-1)exp(-t)dt =Γ(N/2)/2 であるから(1)により ω_N=2π^(N/2)/(NΓ(N/2))=π^(N/2)/Γ(N/2+1)。 161 名前：１３２人目の素数さん [2019/12/04(水) 04:58:10.11 ID:It6vGKRF.net] ID:PHS8a67O お疲れ様です。すごい！ 162 名前：１３２人目の素数さん [2019/12/04(水) 11:23:45.41 ID:Jljxtj0w.net] >>155 正解です (1)は測度論的にするのであれば H^(N-1)を(N-1)次元ハウスドルフ測度として Coarea formula ∫_R^N f(x)|∇u(x)|dx=∫_R∫_{u=t} f(x) dH^(N-1)(x)dt においてu(x)=|x|とすれば極座標の積分が� 163 名前：ｱけます (H^(N-1)({x∈R^(N-1) | |x|=t })=(d/dt){ω_N t^N} となることもCoarea formulaから導ける) [] [ここ壊れてます] 164 名前：１３２人目の素数さん [2019/12/05(Thu) 02:33:02 ID:JD2j4fRH.net] R^3\{0}は直線の直和か？ 165 名前：イナ mailto:sage [2019/12/06(金) 15:57:10.35 ID:9FWnnign.net] >>101前>>150正解は出たらしいけど出題者が意図した解法を言い当てただけで、肝心の座標が出てないみたいだから、今年最後の小説投稿がすんだら、ちゃんと計算してみるよ。 ￣￣]/＼______∩∩_ ____/＼/ ,,､､(___))| ￣￣＼/ 彡`-`ﾐっﾞ/ | ￣￣|＼＿U,~⌒ヾ､| | □　| ‖￣￣U~~U | / ) ____| ‖　□　‖ |/ /| _____`‖______‖ノ / | ￣￣￣￣￣￣￣￣￣‖ | □　　□　　□　　‖ / __________________‖// ￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣_/__/__/__/__/__/__/__/__/__/__/__/__/__/__/__/__/__/__/__/__/__/__/__/__/__/__/__/__/__/__/__/__/__/__/__/__/__/__/__/__/__ 166 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2019/12/09(月) 07:46:29.55 ID:g2fJs3Gj.net] >>81 １００万回のシミュレーション結果 > k=1e6 > re=replicate(k,sim()) > mean(re[1,]) [1] 0.124957 > mean(re[2,]) [1] 0.08093 > mean(re[3,]) [1] 0.04078 直感通り、１，２，３の順番になった。 167 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2019/12/09(月) 12:48:17.50 ID:3RsZZfph.net] >>92 　p = 256/(6^6) = 0.0054869684499314 　q = 128/(6^6) = 0.0027434842249657 より 　P(re[2,]) = 15p -45p^2 +10p^3 = 0.0809513716761635 　P(re[3,]) = 15q -45q^2 +10q^3 = 0.0408137681123003 168 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2019/12/09(月) 20:18:06 ID:3RsZZfph.net] 1. の５連(B)は、複数回現れる場合は重複しうる。 5連Bを1回以上含む確率 s1 + s2 + s3 + s4 = 32 / 243 = 0.1316872428 5連Bを2回以上含む確率 　s2 + 3s3 + 6s4 = 408/243^2 = 0.006909515825 5連Bを3回以上含む確率 　s3 + 4s4 = 2368 / 243^3 = 0.000165408747842 5連Bを4回含む確率 　s4 = 4912 / 243^4 = 0.000001408747842 よって 1．の起こる確率は 　P(re[1,]) = s1 + s2 + s3 + s4 = 435643544 / 243^4 = 0.124941348 169 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2019/12/09(月) 20:21:15 ID:3RsZZfph.net] 訂正 5連Bを1回以上含む確率 s1 + ２s2 + ３s3 + ４s4 = 32 / 243 = 0.1316872428 170 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2019/12/10(火) 06:49:28.11 ID:9+9M8wAb.net] 5連Bをちょうどk回含む確率を s_k とすると 　s1 + 2s2 + 3s3 + 4s4 = 32 / 243 = 0.1316872428 　s2 + 3s3 + 6s4 = 408 / 243^2 = 0.006909515825 　s3 + 4s4 = 2368 / 243^3 = 0.000165408747842 　s4 = 4912 / 243^4 = 0.000001408747842 よって 1．の起こる確率 (5連Bを1回以上含む確率) は 　P(re[1,]) = s1 + s2 + s3 + s4 　　　= (s1+2s2+3s3+4s4) - (s2+3s3+6s4) + (s3+4s4) - s4 　　　= 435643544 / 243^4 　　　= 0.124941348 171 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2019/12/10(火) 10:19:04.22 ID:9+9M8wAb.net] >>111 >>159 A (1, 0) P ((c +1/c)/2, (c -1/c)/2) = (1.067805422329　　0.374444147978) Q ((cc +1/cc)/2, (cc -1/cc)/2) = (1.280416839911　　0.799666983141) B (5/3, 4/3) = (1.666666666667　　1.333333333333) ここに　c = 3^(1/3) = 1.442249570307 172 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2019/12/10(火) 14:34:09.51 ID:9+9M8wAb.net] b = log(3) = 1 + log(3/e) ≒ 3/e, A (1, 0) P (cosh(1/e), sinh(1/e)) = (1.06843424428　　0.3762336167) Q (cosh(2/e), sinh(2/e)) = (1.2831034687　　0.8039617599) B (5/3, 4/3) = (1.6666666667　　1.3333333333) とおくと S(A,P) = S(P,Q) = 0.0041770878 S(Q,B) = 0.0040074760 ∴ S = 0.0123616516 > 0.012360077 173 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2019/12/10(火) 21:53:32 ID:9+9M8wAb.net] 3^7 = 2187 ≒ 2197 = 13^3 3 ≒ (13/9)^3, b = log(3) ≒ 3log(13/9), A (1, 0) P (125/117, 44/117) = (1.068376068　　0.376068376) Q (17561/117^2, 11000/117^2) = (1.282854847　　0.803564905) B (5/3, 4/3) = (1.666666667　　1.333333333) とおくと S(A,P) = S(P,Q) = 0.004171798 S(Q,B) = 0.004017778 ∴ S = 0.012361374 > 0.012360077 174 名前：１３２人目の素数さん [2019/12/12(木) 21:1 ] [ここ壊れてます] 175 名前：4:54.21 ID:cmGMjPnC.net mailto: 二次元平面上の閉曲線Aに対して、 Aの直径をA上の2点間の距離の最大値としたとき、 (Aの長さ/Aの直径)を「A周率」と定義する. Aが凸閉曲線であるとき、A周率の最大値を求めよ. また、その最大値を達成する曲線の中で、囲まれる面積を最小にするものを求めよ. [] [ここ壊れてます] 176 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2019/12/13(金) 21:55:09.75 ID:UQGwVa0R.net] ∞じゃないの？ 直径1の円盤内にいくらでも長さの長い単純閉曲線いれられるのでは？ 177 名前：１３２人目の素数さん [2019/12/14(土) 00:03:41.23 ID:blC5qr67.net] >>169 「凸」 178 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2019/12/14(土) 00:15:14.20 ID:9DqcUvSD.net] i see 179 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2019/12/14(土) 00:56:26.06 ID:9DqcUvSD.net] まずJordan凸閉領域Δに対しΔ(t)を Δ(t)={p | d(p,Δ)≦t} で定める。 この時vol(Δ(t))はtの多項式で vol(Δ(t))=πt^2+l(∂Δ)t+vol(Δ) である。(l(∂Δ)は∂Δの長さ) 実際折れ線の時明らかで一般のJordan凸領域の場合には折れ線近似で示される。 今Δが直径dの円盤Dに含まれる時 vol(Δ(t))≦vol(D(t)) が任意のt>0について成立するから特に l(∂Δ)≦l(∂(D))=πd/2 である。 よって周率の最大値はπ/2である。 180 名前：１３２人目の素数さん [2019/12/14(土) 01:10:23.68 ID:u/Fw3eyq.net] >>172 円の時、周率はもちろんπなので不正解です 181 名前：１３２人目の素数さん [2019/12/14(土) 01:17:29.50 ID:u/Fw3eyq.net] >>172 それに、曲線の直径がdだからといって、その曲線が直径dの円に入るとは限りません(正三角形とか) 182 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2019/12/14(土) 07:50:09.94 ID:MVg/A4+M.net] πとπ/2まちがえたのは単なる勘違いです。 そうか、直径がdだから直径dの円盤に入るとは限らないか。 183 名前：イナ mailto:sage [2019/12/14(土) 10:24:29.20 ID:Ernfr8Zx.net] 前>>159 >>101【問題】 >>111>>165 x^2-y^2=1,x＞0 A(1,0) P({3^(1/3)+1/3^(1/3)}/2, {3^(1/3)-1/3^(1/3)}/2) Q({3^(2/3)-1/3^(2/3)}/2, {3^(2/3)-1/3^(2/3)}/2)) B(5/3,4/3) 5/3=(3+1/3)/2 4/3=(3-1/3)/2 AB間に面積的に等間隔にP,Qをとると、三乗根とその逆数の相加平均――という結果を受け入れるしかないなぁ。 184 名前：イナ mailto:sage [2019/12/14(土) 15:15:13.14 ID:Ernfr8Zx.net] 前>>176 >>101正攻法で解く。 y=√(x^2-1)≧0,x≧1 =(x^2-1)^(1/2),x≧1 A(1,0) P(p,√(p^2-1)) Q(q,√(q^2-1)) B(5/3,4/3) S(A,P)=∫[x=1→p]{(x^2-1)^(1/2)-(p^2-1)^(1/2)(x-1)/(p-1)}dx =[x=1→p]{(x^2-1)^(3/2)/(3/2)}/(2x)-(p^2-1)^(1/2)x^2/2(p-1)-x/(p-1) =(p^2-1)√(p^2-1)/3p-(p^2-1)^(1/2)p^2/2(p-1)-p/(p-1) -1/3+(p^2-1)^(1/2)1^2/2(p-1)+1/(p-1) S(P,Q)=∫[x=p→q][(x^2-1)^(1/2)-{(q^2-1)^(1/2)-(p^2-1)^(1/2)}(x-p)/(q-p)-(p^2+1)^(1/2)]dx S(Q,B)=∫[x=q→5/3][(x^2-1)^(1/2)-{(4/3)-(q^2-1)^(1/2)(x-5/3)}/(5/3-q)-4/3]dx S(A,P)=S(P,Q)より、 ――�@ S(A,P)=S(Q,B)より、 ――�A �@�Aより、p=　,q= ∴P,Qの座標は、 P(　,　),Q(　,　) 185 名前：１３２人目の素数さん [2019/12/17(火) 00:49:34.33 ID:S/nA2eOA.net] >>168がどう解けばいいのか分からん... とりあえずx^p+y^p=1のハイパー楕円で数値計算してみたけどp=2が最小になりそうではあった 186 名前：１３２人目の素数さん [2019/12/17(火) 00:50:47.91 ID:S/nA2eOA.net] >>178 最小→最大 187 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2019/12/17(火) 04:02:50.69 ID:mT7UUd1w.net] 面白いかどうか人に依るけど、これの逆行列って手計算でいける？ https://i.imgur.com/TWuw4wX.jpg 188 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2019/12/17(火) 10:32:28.89 ID:/04vhOiY.net] >>180 A(1,1) = 1 A(i,i) = 2　　　(2≦i≦n) A(i,i+1) = -1, A(j+1,j) = -1, A(i,j) = 0,　　(|i-j|≧2) B(i,j) = n+1 - Max{i,j} = min{n+1-i, n+1-j} 189 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2019/12/17(火) 19:52:45 ID:zOjVhgNh.net] >>168 とりあえず前半ができたかな？ 適当に近似してC^∞で考える。 diam=2とする。 領域はa(-π/2)=a(π/2)=0である関数を用いて領域 -1+a(t)≦xcos(t)+ysin(t)≦1+a(t) にあるとしてよい。 直線族xcos(t)+ysin(t)=1+a(t)の包絡線を計算すると x=acos(t)-a'sin(t)、y=asin(t)+a'cos(t) となりこの包絡線の長さは ∫(1+a+a'')dt である。 同様に直線族xcos(t)+ysin(t)=-1+a(t)の包絡線の長さは ∫(1-a-a'')dt となり、これら二曲線の長さの和は2πである。 よって元の曲線の長さも>>172により2π以下とわかる。 以上により周率の最大値はπである。□ 190 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2019/12/17(火) 20:47:40.48 ID:ANQsbXxj.net] >>180 ・ブロック分割して直接計算（左下の漸化式） ・基本に戻って？掃き出し法 ・>>181をチラ見した後（）なら、見当をつけて帰納法 自分で言うのもアレだが、どれもつまらない Cartan行列もどきなので、何か上手い手があるのかもしれない 191 名前：１３２人目の素数さん [2019/12/18(水) 03:46:05.43 ID:7FLg/0yy.net] >>182 例えばa(t)=cos(t)とすれば 包絡線は(x-1)^2+y^2=1になってしまい、直径2の凸図形が全て入るとは限らないと思うのですが 192 名前：１３２人目の素数さん [2019/12/18(水) 04:00:55.92 ID:7FLg/0yy.net] >>184 すみません勘違いしました つまり直径2の凸図形を任意に用意して、内部の点Oからx軸となす角度tの直線L(t)を引いて凸図形との二交点ABの距離は常に2以下なので|OA|≦1+a(t)、|OB|≦1-a(t)となるように関数a(t)が取れて、 さらに、その凸図形内の点(x,y)をL(t)に射影したときのOからの長さが常に1-a(t)、1+a(t)で抑えられるということですか？ 193 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2019/12/18(水) 10:14:40.17 ID:Kc9D2QKc.net] >>185 そうです。 周の長さがa(t)の取り方によらず常に2πになるみたいです。 194 名前：１３２人目の素数さん [2019/12/18(水) 11:47:25.68 ID:7FLg/0yy.net] >>186 なるほど 素晴らしい解答ありがとうございます ちなみに想定していた解法は以下の通りです 凸曲線C上の点pにおける接線lの平行線l’がC上の別の一点のみと交わるとき、lとl’の距離をW(t)とする.(Cの点pにおける幅) 曲線を{p(t)}_{t∈[0,2π]}として、p(t)における内向き法線ベクトルn(t)がn(t)=(cost,sint)となるようにパラメータ付ける. このとき、W(t)=-p(t)・n(t)-p(t+π)・n(t+π)となる. したがってLをCの長さ、vを単位接ベクトル、kを曲率とすれば、 ∫_0^π W(t)dt =∫_0^π {-p(t)・n(t)-p(t+π)・n(t+π)}dt =-∫_0^(2π) p(t)・n(t) dt =-∫_0^L p(s)・n(s) k(s) ds (孤長パラメータに変換) = -∫_0^L p(s)・v’(s) ds = ∫_0^L p’(s)・v(s) ds = ∫_0^L v(s)・v(s) ds =L となる. よって、max_{t∈[0,2π]} W(t)≦直径 に注意すれば、 周率=長さ/直径≦ ∫_0^π W(t)dt/ max_{t∈[0,2π]} W(t) ≦π* max_{t∈[0,2π]} W(t)/max_{t∈[0,2π]} W(t)=π. ◽︎ ちなみにこのことから、等号が成立する必要十分条件は凸曲線が定幅曲線、ということになります したがって>>168後半の問題は「直径固定の 195 名前：定幅曲線で囲まれる面積が最小のものを求めよ」という問題になります [] [ここ壊れてます] 196 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2019/12/19(木) 08:53:34.12 ID:HO+P0Q3G.net] >>187 後半ヒントおながいします。 197 名前：イナ mailto:sage [2019/12/19(木) 19:41:33.61 ID:SXZy4mCY.net] 前>>177 >>111なんで急にlog3が出てきたの？ 1/xを積分したの？ 積分したら負けって言ったのに。気にlog。 log3/3=0.159040418…… 2log3/3=0.318080836…… グラフを描いたらなんかわかる可能性はあるけど。なにかを知ってて意図的に出したとしか思えない。 198 名前：イナ mailto:sage [2019/12/19(木) 20:00:40.55 ID:SXZy4mCY.net] 前>>189 >>112は公約どおり積分してないみたいだけど、 expのとこが怪しい。 気にlog出したりはしてないけど、気に3^(1/3)を出してる。 数学は答えを言い当てる理科や社会とは違うはず。 論理的なつながりで答えを導かないと説得力がない。 正解とは言えない。 199 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2019/12/19(木) 20:04:19.44 ID:pk6IKNrH.net] cosh(t)=5/3を解いてるだけやん 200 名前：１３２人目の素数さん [2019/12/19(木) 21:15:55.83 ID:ULxMJW80.net] >>188 すみませんがこれは前半ほどサクッとは解けません というより名前の付いた定理です(ググれば出ます) ポントリャーギンの最大値原理を使って示します 201 名前：イナ mailto:sage [2019/12/19(木) 23:14:12.74 ID:SXZy4mCY.net] 前>>190 急に(きゅうに)を書きこむと、なぜか文字化けして、 × 気に(きに)になるけど、 ○ 急に(きゅうに)です。 >>191点Bのx座標が5/3というのはわかります。 なにを解いてlog3が出てきたのかがわかりません。1/xを積分したのがlog|x|だというのは知ってます。 202 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2019/12/19(木) 23:38:58.49 ID:pk6IKNrH.net] だから cosh(t)=(e^t+e^(-t))/2=5/3 sinh(t)=(e^t-e^(-t))/2=4/3 を解く。 203 名前：１３２人目の素数さん [2019/12/20(金) 02:06:23.61 ID:yiLw1Jz8.net] 0630 しろ@huwa_cororon 11月27日 苦節6ヶ月、初満点&一等賞です！ https://twitter.com/huwa_cororon/status/1199593474128896000 (deleted an unsolicited ad) 204 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2019/12/20(金) 09:42:54.14 ID:ipZ1Vjdr.net] n個の実数 a_i (i=1,2,...n) から任意のx,y を選んでリストから消し、f(x,y)を付け加える操作を繰り返す と最終的に一つの実数が残ります。最終的に残る値が選び方によらずに同一の値になるような f(x,y)の必要十分条件を求めてください。 205 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2019/12/20(金) 11:01:39.26 ID:RnyITPkA.net] (R,f)が可換半群になること 206 名前：イナ mailto:sage [2019/12/20(金) 19:37:40.65 ID:YrQye4gv.net] 前>>193 >>194cosやsinやeが出てくるとわかりにくいので、3つの領域の面積を足すか、等しいとおくか、そっちの方針で積分の仕方を教えてもらえませんか？ S=∫[x=1→p](x^2-1)^(1/2)dx+∫[x=p→q](x^2-1)^(1/2)dx+∫[x=q→5/3](x^2-1)^(1/2)dx -(1/2)(p-1)√(p^2-1) -(1/2)(q-p){√(p^2-1)+√(q^2-1)} -(1/2)(5/3-q){√(q^2-1)+4/3} 積分関数は微分したもの(2x)で割るんじゃなく、微分したもの(2x)を掛けるんでしたか？　割るとすべての項が負になったので、これは違うなと。 207 名前：１３２人目の素数さん [2019/12/20(金) 22:37:38.80 ID:2HvWqgn1.net] >>198 面積だすならその式で合ってる。 どうしても積分したいならそこで普通は x=cosh(t) で置換する。 x=(1/2)(t+1/t) と置換する手もある。 しかし求めたいのは面積ではなく、面積� 208 名前：ﾌ最小値を与えるp,qの値なのだから求めたあとp,qどっちかの関数として微分する事になる。 その瞬間苦労して積分した∫√(x^2-1)dxのところは消えてしまう。 残るのは>>198の式の三角形や台形の面積(の導関数)。 なので∫√(x^2-1)dxのとこは無視できる。 やりたければどうぞ。 [] [ここ壊れてます] 209 名前：１３２人目の素数さん [2019/12/20(金) 22:37:44.56 ID:2HvWqgn1.net] >>198 面積だすならその式で合ってる。 どうしても積分したいならそこで普通は x=cosh(t) で置換する。 x=(1/2)(t+1/t) と置換する手もある。 しかし求めたいのは面積ではなく、面積の最小値を与えるp,qの値なのだから求めたあとp,qどっちかの関数として微分する事になる。 その瞬間苦労して積分した∫√(x^2-1)dxのところは消えてしまう。 残るのは>>198の式の三角形や台形の面積(の導関数)。 なので∫√(x^2-1)dxのとこは無視できる。 やりたければどうぞ。 210 名前：１３２人目の素数さん [2019/12/20(金) 22:37:54.45 ID:2HvWqgn1.net] >>198 面積だすならその式で合ってる。 どうしても積分したいならそこで普通は x=cosh(t) で置換する。 x=(1/2)(t+1/t) と置換する手もある。 しかし求めたいのは面積ではなく、面積の最小値を与えるp,qの値なのだから求めたあとp,qどっちかの関数として微分する事になる。 その瞬間苦労して積分した∫√(x^2-1)dxのところは消えてしまう。 残るのは>>198の式の三角形や台形の面積(の導関数)。 なので∫√(x^2-1)dxのとこは無視できる。 やりたければどうぞ。 211 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2019/12/20(金) 22:38:57.22 ID:OCQhfx9K.net] >>198 面積だすならその式で合ってる。 どうしても積分したいならそこで普通は x=cosh(t) で置換する。 x=(1/2)(t+1/t) と置換する手もある。 しかし求めたいのは面積ではなく、面積の最小値を与えるp,qの値なのだから求めたあとp,qどっちかの関数として微分する事になる。 その瞬間苦労して積分した∫√(x^2-1)dxのところは消えてしまう。 残るのは>>198の式の三角形や台形の面積(の導関数)。 なので∫√(x^2-1)dxのとこは無視できる。 やりたければどうぞ。 212 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2019/12/20(金) 22:40:46.67 ID:OCQhfx9K.net] スマソ。 あまりの重さに連投になってしまった。orz 213 名前：イナ mailto:sage [2019/12/20(金) 23:48:59.03 ID:YrQye4gv.net] 前>>198え、あってんの!? やったー!!　やっぱ積分したら負けなんですね。積分しないで解けるってことですね。せやて積分したら3項とも負になったでね。連投いいですよ。べた褒めみたいでとてもいいです。 で、どうやってp,qを出すかですが、どうしたらいいんですか？　eとかcosとかsinとかなしで。置換してもいいけどcosとかはやめて。ていうか積分なしで。 214 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2019/12/21(土) 00:17:18 ID:niWYfzaW.net] >>204 だから>>198のS=の右辺をp,qの2変数関数とみなして増減を調べる。 第1項〜第3項の和はp,qに無関係な定数。 未知数二つなので式二つ必要。 まずqを定数とみなしてpのみの関数とみなして微分して0が必要でそれで一個。 次にpを定数とみなしてqのみの関数とみなして微分して0が必要で二個目。 正しく解けは解ける。 215 名前：イナ mailto:sage [2019/12/21(土) 01:35:39.06 ID:q5Y63yec.net] 前>>204 >>205 S'(p)=0より、――�@ S'(q)=0より、――�A �@�Aより、p=　q=　 積分したら負け、微分したら勝ち。 なるほど。面白い。 216 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2019/12/21(土) 11:18:59.36 ID:04Yc6W8C.net] nを自然数とする。ある多項式F(x)について、xの次数がnの倍数である項の係数の和をf(n)とする。ただし定数項はxの次数が0である。 (0) F(x)=(1+x)^7 のとき f(2), f(3)の値を求めよ。また (1) 素数pについて、 f(p)=(1/p)*{Σ[k=1→p] F(cos(2kπ/p)+isin(2kπ/p))} で表されることを示し、 (2) f(n)=(1/n)*{Σ[k=1→n] F(cos(2kπ/n)+isin(2kπ/n))} で表されることを示せ。 217 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2019/12/21(土) 12:28:49.85 ID:ucYznWes.net] >>207 各nについてf(n)を多項式環からの写像と見なせば線形写像であるから単項式について示せば十分。 以下ζ=e^(2πi/n)とする。 F(x)=x^tとする。 tがnの倍数でないとき (1/n)ΣF(ζ^k)=(1/n)(1-ζ^n)/(1-ζ)=0=f(n)。 tがnの倍数のとき (1/n)ΣF(ζ^k)=(1/n)n=1=f(n)。 218 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2019/12/21(土) 17:32:43.94 ID:lcZbkAwJ.net] >>208 すいません、高校数学の言葉に焼き直すとどうなりますか...？ 219 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2019/12/23(月) 01:54:49.32 ID:qOLAQK9r.net] nを2以上の整数、kを0以上n以下の整数とする。部屋には男子と女子が何人かいて、どの男子と女子についても、互いに知り合いであるか知り合いでないかのどちらかである。 どの男子もちょうどn人の女子と知り合いであり、どの女子もちょうどn人の男子と知り合いである。 また、どの2人の男子においても、共通の知り合いである女子はちょうどk人である。このときどの2人の女子においても、共通の知り合いである男子はちょうどk人であることを示せ。 220 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2019/12/23(月) 02:05:33.16 ID:ejWHZ3VG.net] >>196 f(x,y)=F^(-1)(F(x)+F(y)) (F^(-1)は逆関数、F(x)は任意の関数) Σ(i=1,2,...n)F(a_i)　が入れ替えの操作で不変量となるから 221 名前：１３２人目の素数さん [2019/12/23(月) 08:04:12.57 ID:FUuuzwBf.net] 日本シリーズは先に4勝したチームが優勝 222 名前：。 勝率はそれまでの通算勝率に従うとする。引き分けはないものとする。 勝負がつくごとに次回の勝率が変化する。 シリーズ開始前の通算成績はA:2勝、B:4勝であった。 今シリーズでAが先勝（第一試合に勝利）した。 この時点でどちらが優勝するか賭けをする。 A,Bのどちらに賭ける方が有利か？" [] [ここ壊れてます] 223 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2019/12/23(月) 09:01:25.24 ID:petpfgon.net] ＞勝負がつくごとに次回の勝率が変化する。 224 名前：イナ mailto:sage [2019/12/23(月) 10:13:24.32 ID:YQobTPKD.net] 前>>206 Bで。 225 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2019/12/23(月) 12:11:18.51 ID:VYNDirBk.net] >>210 男の人数をp、女の人数をqとしてp行q列行列Aを Aij=1 男iと女jが知り合いのとき . 0 otherwise で定める。 またAの転置行列をA~で表すとする。 条件より全行ベクトルの和は全成分がnの1行q列のベクトルであり、その成分の和はqnである。 同様に全列ベクトルの和は全成分がnのp行1列のベクトルであり、その成分の和はpnである。 これらが等しいからp=q。 p次単位行列をI、全成分が1のp次正方行列をBとすれば条件より AB=BA=nB AA~=(n-k)I+kB である。 よってAはBと可換であり、したがって(n-k)I+kBとも可換である。 ここでBはrank1の行列でその固有値pは(k-n)/kと一致しないから(n-k)I+kBは可逆である。 よってAも可逆であり A~=A^(-1)((n-k)I+B) もAと可逆である。 以上によりA~A=(n-k)I+B であり主張は示された。□ 226 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2019/12/23(月) 12:18:54.81 ID:ecugu1xJ.net] >>213 第二試合にAが勝つ確率は通算勝率の3/7 Aが勝ったら第三試合に勝つ確率は4/8 Aが負けたら第三試合に勝つ確率は3/8 になるという設定。 227 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2019/12/23(月) 12:45:22.48 ID:Vck4TjAJ.net] >>212 同じになった 計算間違えているとするとなかなか奇跡的ｗ 228 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2019/12/23(月) 13:02:50.72 ID:ecugu1xJ.net] >>217 私の計算でも0.5になった。 229 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2019/12/23(月) 13:17:01.60 ID:Vck4TjAJ.net] じゃあ合ってるのか 何かうまい考え方をすると簡単に五分五分だとわかることなんだろうか 230 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2019/12/23(月) 13:19:05.26 ID:ecugu1xJ.net] 100万回のシミュレーションでも0.5みたい。 > rm(list=ls()) > N_series <- function(A=1,B=0,w=4,a=2,b=4,k=1e6){ + sim <- function(){ + while(A < w & B < w){ + p=(A+a)/(A+B+a+b) + g = rbinom(1,1,p) + if(g==1){ + A=A+1 + }else{ + B=B+1 + } + } + A > B + } + mean(replicate(k,sim())) # Pr[A wins] + } > N_series() [1] 0.500051 231 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2019/12/23(月) 13:19:40.51 ID:ecugu1xJ.net] >>219 実はそれが知りたくて投稿してみた。 232 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2019/12/23(月) 13:30:37.77 ID:Vck4TjAJ.net] nを2以上の自然数として(2n-1)戦でn勝した方が勝ちというシリーズで1戦目を負けた方のチームの勝率がn/(2n-1)になるとシリーズ優勝の確率は同率になるのかな？ 233 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2019/12/23(月) 16:52:56.92 ID:/G9qsiWR.net] >>212 不透明な壺と透明な壺を用意し、どちらにも、ｎ個の白玉とｍ個の黒玉を入れておく。（ｎ、ｍは正整数） 「不透明な壺に手を入れ、よくかき混ぜて球を一つ取り出し、色を確認して戻し、 　同じ色の球を透明な壺から不透明な壺へ一つ移す。」 という操作を繰り返し行い、不透明な壺から白玉の方が先に無くなる確率は？ （恐らく）答え　ｎ，ｍの値に関係なく　１／２ という問題の具体例版　だと思う。 234 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2019/12/23(月) 16:55:01.28 ID:/G9qsiWR.net] 誤：という操作を繰り返し行い、不透明な壺から白玉の方が先に無くなる確率は？ 正：という操作を繰り返し行い、　透明な壺から白玉の方が先に無くなる確率は？ 235 名前：イナ mailto:sage [2019/12/23(月) 18:31:02.00 ID:YQobTPKD.net] 前>>214 >>212え、Bのほうが有利なんじゃないの？ 先にAが勝っただけで通算だとBのほうが勝率いいじゃん。第2戦は4/7の確率でBが勝つよ。Bが勝った場合、第3戦は5/8の確率でBが勝つ。Bが勝った場合、第4戦は6/9=2/3の確率でBが勝つ。Bが勝った場合、第5戦は7/10すなわち7割の確率でBが勝って日本一。 そろともなにか？　負ける場合も考えると勝つ確率は変わると言うのか？　じゃあ考えたら負けだ。7割勝つ。信じるしかない。 [] [ここ壊れてます] 237 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2019/12/23(月) 18:49:59.56 ID:/K57AvEV.net] >>225 >先にAが勝っただけ という時点で運命が決まったんじゃないの？ 238 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2019/12/23(月) 19:18:17.09 ID:/K57AvEV.net] ０．５を算出する前提 Aが優勝する以後の勝敗の順列（１を勝ちとする）は以下の２０通り。 > (dat3=dat[apply(dat,1,sum)==3,]) # Aあと３勝の仕方　末尾に連続する0は無視 [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [1,] 0 0 0 1 1 1 [2,] 0 0 1 0 1 1 [3,] 0 0 1 1 0 1 [4,] 0 0 1 1 1 0 [5,] 0 1 0 0 1 1 [6,] 0 1 0 1 0 1 [7,] 0 1 0 1 1 0 [8,] 0 1 1 0 0 1 [9,] 0 1 1 0 1 0 [10,] 0 1 1 1 0 0 [11,] 1 0 0 0 1 1 [12,] 1 0 0 1 0 1 [13,] 1 0 0 1 1 0 [14,] 1 0 1 0 0 1 [15,] 1 0 1 0 1 0 [16,] 1 0 1 1 0 0 [17,] 1 1 0 0 0 1 [18,] 1 1 0 0 1 0 [19,] 1 1 0 1 0 0 [20,] 1 1 1 0 0 0 239 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2019/12/23(月) 19:19:27.58 ID:/K57AvEV.net] Aが優勝する以後の勝敗の順列＝Aが優勝するときの第二試合以後の勝敗の順列 240 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2019/12/23(月) 23:55:27.94 ID:/G9qsiWR.net] >>223 続き 白玉がｎ個出る前に、黒玉がｋ(k<m)個でる確率は 黒玉が連続してk個出て、白玉が連続してn個出る確率のC[n+k-1,k]倍なので、 C[n-1+k,k]*{m*(m+1)*...*(m+k-1)}*{n*(n+1)*...*(2n-1)}/{(n+m)*(n+m+1)*...*(2*n+m+k-1)} =C[n-1+k,k]*P[m+k-1,k]*P[2n-1,n]/P[2n+m+k-1,n+k] 黒玉が0個からm-1個までの和を取れば、求める確率なので、 Σ[k=0,m-1]{C[n-1+k,k]*P[m+k-1,k]*P[2n-1,n]/P[2n+m+k-1,n+k]} が求めるもの。 m,nに適当な数字を入れてWolfram先生に計算してもらったところ、 m,nに関係なく、　1/2　になるようです。予想は正しそうですが、証明はちょっと難しい。 241 名前： mailto:sage [2019/12/24(火) 00:11:35.58 ID:mv44BLS5.net] 前>>225 >>226それはどうかな。 俺は俺が勝つために投げたし、みんな勝つために打ったり守ったり走ったりしたと思う。結果的に7割勝つとわかった。それ以上でもそれ以下でもない。 最初Aに負けて、どうなるかと思った。もうだめなんじゃないかとさえ思ったよ。 それで運命が決まったとは思わないけど、運命というものがあるのなら、あるいはそうかもね。 242 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2019/12/24(火) 00:23:22.12 ID:5iwLbmeP.net] 超幾何定理の香りが漂うような‥‥ 243 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2019/12/24(火) 02:18:50.81 ID:9bkfghx0.net] >>230 優勝するにはAはあと３勝必要だがBはあと４勝必要と運命づけられちゃったと言えない？ 244 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2019/12/24(火) 03:01:07.37 ID:EQnFLeQj.net] ポリヤの壺っていう有名問題？ 245 名前：イナ mailto:sage [2019/12/24(火) 13:29:13.67 ID:mv44BLS5.net] 前>>230 >>232だから、運命なんてわかんないよ。勝ってるうちに強くなるかもしれないし、試合の前とあとではもう違うんだぜ。運命なんて変えてやるよ。みんなそう思ったと思う。 246 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2019/12/24(火) 14:19:00.00 ID:A1/Tuq06.net] >>229 ｍ，ｎを１〜１０からランダムに選んで１０万回のシミュレーションをしてみました。 Polya_Urn <- function(k=1e5){ mn=sample(1:10,2) m=mn[1] n=mn[2] a=rep(0:1,c(m,n)) b0=b1=0 sim <- function(){ while(b0<m & b1<n){ b=sample(a,1) a=c(a,b) if(b==1){b1=b1+1}else{b0=b0+1} } b1==n } c(Prob=mean(replicate(k,sim())),m=m,n=n) } > Polya_Urn() Prob m n 0.50125 8.00000 10.00000 > Polya_Urn() Prob m n 0.50022 9.00000 5.00000 > Polya_Urn() Prob m n 0.50065 3.00000 8.00000 > Polya_Urn() Prob m n 0.49939 2.00000 4.00000 > Polya_Urn() Prob m n 0.49657 1.00000 9.00000 ｍ，ｎに関わらず、０．５になるようです。 247 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2019/12/24(火) 14:20:51.91 ID:A1/Tuq06.net] >>234 ターミネーターのセリフだな。 The future is not set. There is no fate but what we make for ourselves. 248 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2019/12/24(火) 14:23:54.14 ID:gLqWXW4m.net] 計算するまでもなく1/2になるとわかるような考え方がありそうに思えるのだが全然思いつかない 249 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2019/12/25(水) 05:17:44.73 ID:ylc577yv.net] 確率 n/(n+m)　で白玉を引いて壺の中の白玉が一つ増える、あるいは、 確率 m/(n+m)　で黒玉を引いて壺の中の黒玉が一つ増える、と言う操作（現象）を 確率1で、白成分が、n/(n+m)、黒成分が、m/(n+m)　で構成されているキメラ玉を壺に投入する操作と同等 と考えると、白玉が2n個(相当)になるのと、黒玉が2m個(相当)になるのは、同時なので、 どちらが勝つのかが 1/2 づつになるのは当然と　強弁できる　かな．．．？ 250 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2019/12/25(水) 07:37:46.51 ID:oEKznZ6+.net] ポリアの壺問題の帰納法も計算も要らない証明 shiatsumat.hat　enab　og.com/entry/2014/12/08/183943　（空白は除去してください） ってあるのだけど、私には理解できなかった。 251 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2019/12/25(水) 07:39:57.44 ID:oEKznZ6+.net] >>239 urlがうまく貼れなかったので ポリアの壺問題の帰納法も計算も要らない証明 で検索してください。 252 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2019/12/25(水) 09:02:05.31 ID:VfGP4dZh.net] >>239-240 この問題はポリヤの壺の発展形。 残念ながらそのリンクの先の証明だけでは無理です。

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