現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む77

890 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む [2019/10/14(月) 17:41:02.29 ID:w6tqRMw5.net] >>815 めんどくさいやつだな そうあせるな（＾＾ Q1.　Qに1のn乗根を添加した拡大体をEとする 　　このときのガロア群G(E/Q)は？ A1. 面倒なのでn=p(素数)とするよ 　（こう仮定してもガロア理論には十分だから） 　位数p-1の巡回群 　因みに、１のｎ乗根 ωp=ｎ√1 (1の原始根)として 　Eは、Qにωpを添加した拡大体になる（ガウスのDAに書いてあるらしい） （なお、G(E/Q)が可解である（ベキ根で解ける）ことも、ガウスのDAに書いてあるらしい） Q2.　Kをn個の異なる1のn乗根を含む体とし 　　Lを、Kにaのn乗根の1つを追加した体とする 　　このときのガロア群G(L/K)は？ A2. 同様にn=p(素数)とするよ。そして、ｎ乗根 n√a は無理数とする 　　このとき、ガロア群G(L/K)は位数pの巡回群になる 　　因みに、LはKummer拡大と呼ばれる （参考） https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF%E3%83%B3%E3%83%9E%E3%83%BC%E7%90%86%E8%AB%96 クンマー理論 (抜粋) クンマー拡大 一般的に、K が n 個の異なる 単元の n 乗根を含む（このことは K の標数が n を割らないことを意味する）とき、K と結合すると、K の任意の元 a の n 乗根は（n を割るようなある m が存在し、次数 m の）クンマー拡大を生成する。 多項式 X^n ? a の分解体として、クンマー拡大は必然的にガロア拡大となり、ガロア群は位数 m の巡回的となる。 n√a を通してガロア作用を追いかけることは容易である。

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