- 818 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む [2019/10/09(水) 11:16:25.54 ID:nHmzRvjt.net]
- >>755
つづき
性質
・G の 2 元 a と b が共役ならば、同じ位数をもつ。より一般に、a についてのすべてのステートメントは b = g^-1ag についてのステートメントに翻訳できる、なぜならば写像 φ(x) = g^-1xg は G の内部自己同型だからである。
・G の元 a に対して、 {a} が共役類であることと a が中心 Z(G) に属することは同値である。
・有限群の共役類の元の数は群の位数を割り切る。より精密には共役類 aG の元の数 |aG| は a の G における中心化群 CG(a) = { g ∈ G | ga = ag } の指数 [G : CG(a)] に等しい[4]。これは共役作用に関する軌道・固定群定理による。
・a と b が共役であれば、それらのベキ ak と bk も共役である[注釈 3]。したがって k 乗をとることは共役類上の写像を与え、どの共役類がその原像にあるかを考えることができる。例えば、対称群において、type (3)(2) (3-cycle と 2-cycle) の元の平方は type (3) の元であり、それゆえ (3) の power-up 類の 1 つは類 (3)(2) である。類 (6) は別の類である。
・群 G の位数が奇数ならば |G| ≡ k(G) (mod 16) が成り立つ (W. Burnside)[5]。
・有限群 H, K に対して k(H × K) = k(H) × k(K) が成り立つ[6]。
・有限群 G とその正規部分群 N に対して [G : N]^-1 k(N) <= k(G) <= k(G/N) k(N) が成り立つ[7]。
・自然数 h が与えられたとき、k(G) = h となる有限群 G は同型を除いて高々有限個しかない (E. Landau, 1903)[8]。
つづく
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