現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む77

427 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む [2019/09/21(土) 07:36:06.47 ID:RSxZzkRi.net] >>390 つづき math.shinshu-u.ac.jp/~hanaki/edu/intro/intro2013.pdf 代数学入門 花木 章秀 信州大 2013 (抜粋) P29 3.2 整数の合同によって定義される環 ある l ∈ Z が存在して a - b = nl となるとき a ≡ b (mod n) と書くことにする。 このときこの関係は同値関係である。その a を含む同値類は a + nZ = {b ∈ Z | a ≡ b (mod n)} = {a + nl | l ∈ Z} であった。異なる同値類全体の集合は Z/nZ = {0 + nZ, 1 + nZ, ・ ・ ・ , (n - 1) + nZ}である。 (引用終り) https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%89%B0%E4%BD%99%E9%A1%9E%E7%92%B0 剰余類環 (抜粋) 定義 n >= 2 を自然数とする。n で割った剰余が等しい整数をすべて集めたものを、「n を法とする」合同類あるいは剰余類と呼ぶ。 代表元 (representive, Vertreter) a の属する剰余類を [a] 表記と慣例について Z/nZ と書くのが、面倒だがもっとも誤解は少ないだろう。 記号の濫用だが、記述の面倒を避けるため慣例的に、同値類を表すのに代表元に施す角括弧([ ])をしばしば省略して、代表元とそれが属する合同類とを同じ文字で表す。 同じ合同類を表すのに無数の符牒が与えられていることになる。 慣例的に合同類を表す符牒が無数にあるという不定性を除くために、各合同類から「標準的」(canonical) な代表元を選んで、それと合同類とを同一視することもよく行われる。 性質 任意の自然数 n >= 2 に対して Z/nZ は、nZ を零元、1 + nZ を単位元とする可換環を成す。 2 を法とする剰余類環 整数を 2 で割った剰余は 0 か 1 となるから、Z/2Z = {0, 1} であり、これはすべての剰余類環のなかで位数最小のものである。また、2 は素数なのでこれは位数最小の有限体 F2 とも一致する。 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B4%E6%95%B0%E3%81%AE%E5%90%88%E5%90%8C 整数の合同 (抜粋) 合同類環 Z/nZ 加法: 二つの剰余類 a, b に対して剰余類 a + b modulo n を割り当てる 理論的には整数の加法と異なる和であるから別の記号で表すべきであるかもしれないが、簡便さを保つために整数の和と同じ記号 "+" をそのまま使うことも多い。 (引用終り) 以上

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