- 819 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む mailto:sage [2019/02/02(土) 12:14:19.35 ID:0GFYmnUI.net]
- >>42
折角書いてくれたのに、流れてしまいそうだから
ちょっと、分ったところまで書いておくね（＾＾
＜原問＞
問1 cos(π/n)∈Q(sin(π/n)) を示せ。
問2 sin(π/n)はQ(cos(π/n))には含まれないことを示せ。
カンニング（＾＾；
fjmttty.hatenablog.com/entry/2017/08/05/202216
数学雑記
2017-08-05
体論の期末試験(再現)
(抜粋)
問1
(1) Q(2cos2π/7)/QがGalois拡大であることを示し、そのGalois群を求めよ
(2) 2cos2π/7のQ上最小多項式を求めよ
問2 pを奇素数とする。
(1)Q(cos2π/p)/QがGalois拡大であることを示し、その拡大次数を求めよ。
(2)sin2π/p=cos{2π(4-p)}/4pであることを利用し、[Q(sin2π/p):Q]を求めよ。
(引用終り)
<問2解答引用>
(1) Q(cos2π/p)=Q(2cos2π/p)に注意すると、Galois拡大であることは問1と同様。
G:=Gal(Q(ζp)/Q)として、
OG(ζp+ζp^(-1))={ζp+ζp^(-1),・・・,ζp^(p−1)+ζp^-(p-1)}
={ζp+ζp^(-1),・・・,ζp^(p-1)/2+ζp^-(p−1)/2}
よって、[Q(cos2π/p):Q]=[Q(2cos2π/p):Q]=(p−1)/2
(2) OG(2sin2π/p)={ζ4p^(4-p)k+ζ4p^-(4-p)k?gcd(4p,k)=1}
gcd(4p,4−p)=1だから、
={ζ4p^k+ζ4p^-k ? gcd(4p,k)=1}
ζ4p^(4p−k)+ζ4p^-(4p−k)=ζ4p^k+ζ4p^-kだから
={ζ4p^k+ζ4p^-k ? gcd(4p,k)=1,1?k?2p}
1 <= k1 ＜ k2 <= 2p のとき、cos2(k1)π/4p ≠ cos2(k2)π/4pだから、
[Q(sin2π/p):Q]
=[Q(2sin2π/p):Q]
=|OG(2sin2π/p)|
=p-1
(引用終り)
えーと、多分 OG(ζp+ζp^(-1))が、ガロア拡大体の記号でしょう
ζpは、いつもの式 x^p=1 の原始根なのでしょう
簡単に
ζp =cos2π/p + i sin2π/p とみて
ζp ＋ 1/ζp =2cos2π/p (これオイラーの式 e^θ で、1/e^θ=e^-θ で、共役複素数になります)
で、ヒント、”sin2π/p ＝（cos{2π/p-π/2}) ＝cos{2π(4-p)}/4p” に注意してなんだけど
上記の解答のように、分母に4を誘導するのがキモですね
つづく
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