- 684 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2019/01/31(木) 18:43:23.57 ID:JnVDj6QU.net]
- θに変換した結果がこちら。
Q(sin(θ)) は有理数体Qに sin(θ) を添加した体だから、三平方の定理から
cos^2(θ)＝1−sin^2(θ)∈Q(sin(θ))。
また、体 Q(sin(θ)) は有理数の加減乗除について閉じている。故に、cos(θ) の半倍角の公式から、
cos^2(θ)＝(1＋cos(2θ))/2∈Q(sin(θ)) であって、cos(2θ)∈Q(sin(θ))。
ところで、cos(2θ) に関する2倍角の公式から
cos^2(2θ)＝(1−2sin^2(θ))^2＝1−4sin^2(θ)＋4sin^4(θ)
だから、三平方の定理から、−sin^4(θ)＋4sin^2(θ)＝sin^2(2θ)∈Q(sin(θ))。
同時に sin^2(2θ)∈Q(sin(2θ)) であるから、sin^2(2θ)∈Q(sin(2θ))∩Q(sin(θ))。
2つの体 Q(sin(2θ))、Q(sin(θ)) はどちらも有理数の加減乗除について閉じていて
−2sin^2(2θ)∈Q(sin(2θ))∩Q(sin(θ)) だから、cos(2θ) に再度倍角公式を適用すると、
cos(2θ)＝1−2sin^2(θ)∈Q(sin(2θ))∩Q(sin(θ))。
故に、Q(sin(2θ))∩Q(sin(θ))⊂Q(sin(2θ)) から cos(2θ)∈Q(sin(2θ))。
上の議論は任意の正の奇数nについて成り立つから、nを2nで置き換えれば、cos(θ)∈Q(sin(θ))。
最後の一文はこのままでは意味が通らないが、
「θは任意なので、θをθ/2に置き換えれば cos(θ)∈Q(sin(θ)) が成り立つ」
という意味の文章だと思えば、文章としては成立する。
だが反例となるθが存在するので、どこかに計算ミスがある
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