- 522 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2019/01/29(火) 17:09:12.63 ID:YwQU7OKm.net]
- おっちゃんです。
>>481
l>im(1+x)^(1/x)=lim(1+0)^(1/0)=1^∞=1 (x→0)
極限の存在性が保証されていて、x→+0 として極限を取っているときに 1/x の分母xへの x＝0 の代入は出来ない。
極限が存在性が保証されていて、x→+0 として極限を取っているときに 1/x の分母xに x＝0 を代入出来るとする。
微分積分の範囲で 1/0 を扱いとしたら 1/0 は1を0で割った有理数として考えられる。
しかし、0が通常の乗法の二項演算に関する群の単位元となることはなく、
そのように1を0で割った有理数 1/0 は存在しないので、微分積分の範囲で 1/0 を扱うことは出来ない。
なので、微分積分の範囲では 1/0 を扱えない。
1/0 を複素解析の範囲で定義することを考える。1/0 を複素解析の範囲で定義するとしたら、
無限遠点∞を使ってリーマン球面 C∪{∞} の範囲で 1/0＝∞ と定義出来る。
だが、∞は点0から複素平面Cのあらゆる方向の延長上にあり、無限遠点∞は数ではなく、
微分積分における正の無限大+∞とも異なる。なので、1/0 も複素数でも
微分積分における正の無限大+∞でもないことになって、複素数 1^∞＝1 という式を与えることは出来ない。
実解析では、実数直線Rに正と負の各無限大 ±∞ を加えた加減乗除を行うための数の体系である
拡大実数において 1/0 は定義されないため、実解析でも 1/0 は扱えない。
このように、極限の存在性が保証されていて、x→+0 として極限を取っているときに 1/x の分母xに x＝0 を
代入出来るとすると、基本的な点でおかしな点が生じるから、
極限を取っているときに 1/x の分母xへの x＝0 の代入は出来ない。
正しい考え方の一例：lim_{n→+∞} (1+1/n)^n＝e がeの定義だから、m＝1/n とおけば、n→+∞ のときは m→+0 で、
lim_{m→+0} (1+m)^{1/m}＝e。従って、変数mを変数xで置き換えれば、lim_{x→+0} (1+x)^{1/x}＝e。
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