- 447 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む mailto:sage [2019/01/08(火) 18:41:09.56 ID:FuzPnRxY.net]
- >>386＆>>390 補足
>γなんて、もし有理数としても、いわゆる汚い有理数にしかならないぜ
ここで、言いたいことは単純で
>>333に書いたようにγnは、
ｎ有限の場合、γn= 1+1/2+1/3+・・・+1/n − log n と書くと、これは自明に超越数（>>333の通り）
（∵ Hermite-Lindemannの定理 から、log n は超越数だから）
（細かいことは飛ばして、簡単に説明すると）
ここで、もし、n→∞で、オイラーの定数γが、なにか有理数になったとする
有理数だと、無限小数展開で、
ある小数点ｋ桁目まで、非循環節で
小数点ｋ＋１桁目から、循環節になったとする
（下記「循環小数の意味と分数で表す方法など」ご参照）
ここで、ｋをある有限の正整数とする
γnは、n→∞でγに収束するから、
十分ｎを大きく取ると、必ず小数点ｋ＋１桁目まで、非循環節にできるということ
（∵ γnは、常に超越数だから）
では、上記でγが有理数であることが否定されるかというと
そうではない
有理数の稠密性から
必ず小数点ｋ＋１桁目、あるいはそれ以上の桁まで、非循環節を持つ有理数が存在する
（なお、γは有限小数にはならないが、ほぼ自明なので説明省略）
なので、おっちゃんのように、わずか小数点以下10桁の小数で、
”汚い”とか言っている時点で、おいおいでしょう（＾＾；
そんなので話がつくなら、だれかが証明しているでしょうね
（参考）
https://mathtrain.jp/junkansyosu
高校数学の美しい物語
循環小数の意味と分数で表す方法など 最終更新:2018/11/04
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