- 421 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2019/01/08(火) 07:36:29.26 ID:mZcV146T.net]
- [第１４段]：γが有理数なることを示す。
γが無理数であったとする。任意の有理数 1/p pは2以上の整数 に対して
|γ−1/p|＝| lim_{n→+∞}( 1＋1/2＋…＋1/n−log(n) )−1/p |
＝lim_{n→+∞}( 1＋1/2＋…＋1/n−log(n) )−1/p
＞( 1＋1/2＋…＋1/p−log(p) )−1/p
＝1＋1/2＋…＋1/(p−1)−log(p)
＞0、
従って、或る2以上の正整数kが存在して、p≧k のとき |γ−1/p|＞( 1＋1/2＋…＋1/p−log(p) )−1/p＞1/k≧1/p。
γは無理数だから、任意の ε＞0 に対して或る既約有理数 q/p p≧1 が存在して、0＜|γ−q/p|＜ε/p。
また、0＜|γ−q/p|＜1/p^2＜|γ−1/p| を満たすような既約有理数 q/p p≧2 は無限個存在する。
0＜ε≦1 なるεを任意に取る。すると、或る既約有理数 q/p p≧2 が存在して 0＜|γ−q/p|＜ε/p^2＜ε/p＜|γ−1/p| を満たす。
このとき、三角不等式から、0＜|γ−1/p|−|γ−q/p|≦|(q−1)/p|＝|q−1|/p となる。
p≧2 から |γ−q/p|＜ε/p^2≦1/4 だから、γ＞1/4 から qが負の整数とすると |γ−q/p|＜1/4 を満たさない。
故に、qが負の整数なることはあり得ない。 従って、p＞0 から |q−1|/p＝(q−1)/p であって、(q−1)/p＞0 から q≧2、
よって q/p≧2/p から、γ−2/p≧γ−q/p＞0。故に、M＝max(2,k) とおけば、或る2以上の正整数mが存在して、
q/p p≧M 2≦q≦m なる任意の既約有理数 q/p が 0＜|γ−q/p|＝γ−q/p＜ε/p^2＜ε/p＜|γ−1/p| を満たす。
q＝m とすれば、0＜γ−m/p、故に、γ＜3/5 なることから m＜p・γ＜p・3/5＝3p/5、故に、m/p＜3/5。
m≧2 だから、m/p＜3/5 から p≧4 となる。ここに、3p/5＞2、p≧4＞10/3。
故に、N＝max(4,M) とおけば q/p p≧N 2≦q≦m なる
任意の既約有理数 q/p が 0＜γ−q/p＜ε/p^2＜ε/p＜|γ−1/p| を満たす。
q＝2、p＝N とすれば、0＜γ−2/N＜ε/N^2≦1/N^2 から、γ＜2/N＋1/N^2≦2/4＋1/4^2＝9/16。
しかし、γ＜9/16 は γ≧57/100＞9/16 なることに反し、矛盾する。
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