- 334 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む [2018/12/04(火) 18:32:40.10 ID:ytTsiYMH.net]
- >>302
帰納極限（直極限又は順極限）がムズイ（＾＾
もっと易しいのはないのかな？
d.hatena.ne.jp/m-hiyama/20180322/1521694065
檜山正幸のキマイラ飼育記
2018-03-22 (木)
圏論の極限を具体的に
(抜粋)
www.chimaira.org/img4/cat-cone-bad.png
頂点と底面の点を結ぶ線は、錐を自然変換と考えたときの成分に相当するので、成分線にします。
Fの極限はFを底面とする錐の圏Cone(F)の終対象（余極限は余錐の圏の始対象）として定義されます。この定義を文字通りに受け取ると、極限とは錐です。しかし多くの場合は、極限とは対象を意味するでしょう。この2つが区別されないことが多いですが、ここでは区別しましょう。
・LimCone(F)は、Fの極限錐を意味する。Fの極限錐は、錐の圏Cone(F)の終対象である。LimCone(F)∈|Cone(F)|
・LimObj(F)は、Fの極限対象を意味する。Fの極限対象は、Fの極限錐の頂点である。LimObj(F)∈|Set|（一般には、LimObj(F)はFの余域である圏の対象）
こう定義した上で、Limまたはlimは文脈で解釈してください、となります。実際の使用例を見ると、文脈なしでは判断できないようです。
具体的な小さな圏Cに対して、具体的な関手 F:C→Set を与えて、具体的に錐の圏Cone(F)を構成して、その終対象として極限錐を求め、極限錐の頂点として極限対象を取り出してみるべきです。幾つかやってみます。
錐の圏の終対象と錐集合関手の表現対象
この記事の目的は、錐集合関手 ConeSetF:Set→Set の表現対象（表現集合）Rを具体的に構成することです。では、何のために構成するのか、構成して何がうれしいのか？ それを確認しておきます。
錐集合関手の表現対象（表現集合）を作ってしまえば、それはもとの関手 F:C→Set の極限（錐の圏の終対象）になるわけです。作り方がどうであれ、でき上がるものは同型なので、作り方は気にせずに（できりゃいいのだ）、とにかく頑張ればいいのです。表現対象を作れば、極限対象が手に入るのです。
関手圏[Dop, Set]（D上の前層の圏ともいう）で考えましょう。関手圏の対象KとD(-, r)は、関手圏内で同型なので、
K ＝〜 D(-, r) in [Dop, Set]
同型の右辺D(-, r)は、米田埋め込み〈Yoneda embedding〉による r∈D の像です。
(引用終わり)
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