- 439 名前：基本解が必要になります。そこで、一般の拡散過程を確率論的手法で構成することができないかと考えられます。
これを可能にしたのが伊藤清先生による確率微分方程式の理論です。
つまり一般の拡散過程はブラウン運動の道の汎関数(これをウィナー汎関数と呼びます)として与えられ、それは確率微分方程式を解くことで実現されるというものです。このような確率過程の道に関する微積分を確率解析と呼びます。ブラウン運動の道は連続ですが、到るところ微分不可能で、全変動も確率 1で発散しているため、通常の微積分はできません。
しかし伊藤先生は1942年にブラウン運動による確率積分を極めて自然な形で導入し、この確率微分の連鎖律である「伊藤の公式」を中心とする道の微積分の計算法を与え、確率微分方程式を正当化されました。確率微分方程式は偶然現象を記述する運動方程式として、今日では物理学、工学、生物学、経済学等広い分野で応用されています。
田中の公式とウィナー超汎関数
ブラウン運動の超関数的な見方の一つとして局所時間があります。これはブラウン運動の滞在時間の位置に関する密度関数にあたる重要な量です。
これに関しては、1981年から 1998年まで本理工学部で教授をしておられた田中洋先生が若い頃に伊藤の公式をδ-関数にまで拡張することで、確率解析による明快な存在証明ができることを発見されました。この公式は今日では一般化され「田中の公式」として広く用いられています。残念ながら田中先生は昨年 7月に亡くなられてしまいました。
一般のウィナー超汎関数についてはまず1980年頃にマリアヴァンがウィナー空間上のオルンシュタイン-ウーレンベック過程を用いた道の微分を導入して、多くの重要なウィナー汎関数は不連続ではあるが滑らかであることを示しました。その後多くの日本人研究者の結果を含む研究成果を経て、渡辺信三先生がマリアヴァン解析をウィナー超汎関数論として構成されたことにより正当化されました。
伊藤解析の範囲内では解析学の援用無しには扱えなかった拡散過程の基本解そのものもウィナー超汎関数として確率解析的手法で扱えるようになり、応用範囲は一挙に広がっています。
(引用終り)
以上 [] - [ここ壊れてます]
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