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(抜粋)
順序数
順序数 (Ordinal number) とは、ゲオルク・カントールによる自然数を拡張した概念であり、整列集合の順序型である[1]。
すべての有限な全順序集合が整列集合であることは、簡単にわかる。要素の数が自然数 k 個である2つの全順序集合は順序同型であり、同じ順序型を持つ。そして、k がこの集合の順序数である。すなわち、自然数は有限順序数である。
有限でない順序数を超限順序数 (transfinite ordinal) と言う。最初の超限順序数は、ω と表記され、自然数全体の集合 N={0,1,2,3,…} の順序型である。これは、カントールが定義した超限数 (transfinite number) の中で最小である。
順序数は整列集合である。順序数を小さい方から大きい方に順番に並べると、0,1,2,…,ω,ω+1,ω+2,…,ω+ω,ω+ω+1,… となる。ここで、順序数の加算では交換法則が成立せず、1+ω=ω,ω+1>ω となる。
目次[非公開にする]
1.フォン・ノイマンによる定義
2.すべての順序数からなる集合は存在しない
3.後続順序数と極限順序数
4.順序数の演算
5.カントール標準形
6.基本列
7.関連項目
8.出典
フォン・ノイマンによる定義
ω {0, 1, 2, ...} すべての有限な順序数の集合
ω+1 {0, 1, 2, ..., ω}
(引用終り) [] - [ここ壊れてます]
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