- 1 名前：１３２人目の素数さん [2018/09/16(日) 23:01:23.58 ID:tU22P37B.net]
- さあ、今日も１日がんばろう★☆
前スレ
分からない問題はここに書いてね446
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1534342085/
- 802 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/10/15(月) 14:44:43.85 ID:7e+ZqB9F.net]
- >>771
これはコンピューター使わずに解くのがエレガント
- 803 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/10/15(月) 14:45:09.59 ID:7e+ZqB9F.net]
- >>774
易しい
- 804 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/10/15(月) 14:45:56.67 ID:7e+ZqB9F.net]
- >>775
やや難しい
- 805 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/10/15(月) 14:50:05.08 ID:j4+CUj76.net]
- そんなに自作問題を公開したいなら自作問題スレを作ればどうですか？
あなたの問題を見たい人はそのスレも見てくれるでしょう
- 806 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/10/15(月) 14:52:51.09 ID:7e+ZqB9F.net]
- >>779
好きな実数を1つ選んで
- 807 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/10/15(月) 16:29:51.17 ID:7xOWNZMY.net]
- >>751
これは不正解
- 808 名前：１３２人目の素数さん [2018/10/15(月) 17:01:42.98 ID:I979f5xZ.net]
- 平川-松村の定理 の証明おしえて
- 809 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/10/15(月) 17:37:52.92 ID:ce+APxab.net]
- ggrks
- 810 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/10/15(月) 17:39:15.65 ID:7e+ZqB9F.net]
- 半径1の円に内接する正七角形の対角線の長さの総和を求めよという問題が分かりません。
正七角形の対角線の長さが直接求まらないのでどう工夫したらいいでしょうか。
- 811 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/10/15(月) 19:22:20.41 ID:5zaj2zrJ.net]
- >>784
対角線が文字通り辺ではない2頂点のなす線分なら3次方程式とかないと無理だな。
- 812 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/10/15(月) 19:29:59.23 ID:CksPZ4TZ.net]
- >>784
三次方程式解けば直接求まるだろ
甘えるな
- 813 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/10/15(月) 19:32:52.10 ID:7e+ZqB9F.net]
- >>786
分かりません。詳細な解答をよろしくおねがいします。
- 814 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/10/15(月) 21:27:32.21 ID:7xOWNZMY.net]
- 強者の戦略
tsuwamono.kenshinkan.net/way/pdf/09mathematics_27.pdf
- 815 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/10/16(火) 04:34:53.21 ID:xW+nW6TE.net]
- mを3以上の自然数とする。
2を底とする対数について、自然数nと実数aを用いて
log_2 (m) = (n+a)/(n-a)
と表すことを考える。
（1）aをmとnで表せ。
（2）以下の不等式の左辺を最小にする素数pと有理数bの組(p,b)を求めよ。
log_2 (2018) - (p+b)/(p-b) > 0
- 816 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/10/16(火) 04:36:57.89 ID:xW+nW6TE.net]
- k=2018のとき、二項係数nCk=123456789
となるnは存在するか。
- 817 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/10/16(火) 04:48:31.55 ID:xW+nW6TE.net]
- a[1]=2
a[n+1]=a[n]/{1+a[1]+a[2]+...+a[n]}
で表される数列{a[n]}を考える。
（1）lim[n→∞] a[n] =0 を示せ。
（2）lim[n→∞] (n^k)*a[n] が0でない有限の値に収束する自然数kを求めよ。
- 818 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/10/16(火) 05:06:10.64 ID:yKsqwta7.net]
- 最小値なし。存在しない。存在しない。
- 819 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/10/16(火) 06:16:45.24 ID:AwYdxW7r.net]
- この荒らしは小学生レベルの知能しかないから相手すんな
- 820 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/10/16(火) 08:35:16.42 ID:5DYkLdwz.net]
- >>756
両辺を3で割ってみる。
>>771
sin(π/8) + sin(7π/8) = √{2-2cos(π/4)} = √(2-√2),
sin(2π/8) + sin(6π/8) = √2,
sin(3π/8) + sin(5π/8) = √{2+2cos(π/4)} = √(2+√2),
sin(4π/8) = 1,
∴ S(π/8) = √(2-√2) + √2 + √(2+√2) + 1,
(2-√2) - 0.76^2 = 1.4224 - √2 > 0,
(2-√2) - 0.77^2 = 1.4071 - √2 < 0,
∴ 0.76 < √(2-√2) < 0.77
(2+√2) - 1.84^2 = √2 - 1.3856 > 0,
(2+√2) - 1.85^2 = √2 - 1.4225 < 0,
∴ 1.84 < √(2+√2) < 1.85
(与式) > 0.76 + 1.41 + 1.84 + 1.00 = 5.01
(与式) < 0.77 + 1.42 + 1.85 + 1.00 = 5.04
>>784
辺 L1 = 2sin(π/7) = -2sin(8π/7),
対角線 L2 = 2sin(2π/7),
対角線 L3 = 2sin(3π/7) = 2sin(4π/7),
いずれも7本づつある。
-L1 + L2 + L3 = 2{sin(2π/7)+sin(4π/7)+sin(8π/7)} = √7,
L1･L2･L3 = √7,
L3 = L1･(3-L1^2)
L^6 -7L^4 +14L^2 -7 = 0,
>>790
存在しない。
n=2018, 2019, 2020 のとき
C[n,2018] ≦ C[2020,2] = 2039190 < 123456789
n≧2021 のとき
C[n,2018] ≧ C[2021,3] = 1373734330 > 123456789
- 821 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/10/16(火) 09:19:29.13 ID:5DYkLdwz.net]
- >>771
S = √(2-√2) + √2 + √(2+√2) + 1 = 5.027339492126…
>>784
L1 = 2sin(π/7) = 0.8677674782351
L2 = 2sin(2π/7) = 1.563662964936
L3 = 2sin(3π/7) = 1.9498558243636
L1+L2+L3 = 4.38128626753476
- 822 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/10/16(火) 10:30:15.37 ID:Q/JBGpn1.net]
- >>784
対角線の長さは
> DOP(7,p=T)
[1] 1.801938 2.246980
計算と作図のプログラムはここ
excuteをクリックすると実行できる。
tpcg.io/WzLq7V
- 823 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/10/16(火) 16:22:51.06 ID:Q/JBGpn1.net]
- >>796
計算ミスしていた。
$Rscript main.r
$side
[1] 0.8677675
$diagonal
[1] 1.563663 1.949856
バグ修正後
tpcg.io/18pVOx
- 824 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/10/16(火) 21:45:49.96 ID:xW+nW6TE.net]
- p,qを素数、kを自然数とする。
△ABCは∠A=60°、AB=p、AC=q、BC=kの三角形である。
p,q,kの間に成り立つ関係式を求めよ。
- 825 名前：１３２人目の素数さん [2018/10/16(火) 22:53:10.33 ID:Rp6DSvYR.net]
- 少佐と大佐の間には中佐があります
小陰唇と大陰唇の間には何がありますか？
- 826 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/10/16(火) 22:55:27.93 ID:Jr7ZoTQC.net]
- ４００
- 827 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/10/16(火) 23:03:28.51 ID:xW+nW6TE.net]
- 一辺の長さが1の正四面体SとTがある。
Sは空間に固定され、TはSと1点のみを共有しながらSの外部を移動する。
Tが動きうる領域の体積を求めよ。
- 828 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/10/16(火) 23:40:20.29 ID:xW+nW6TE.net]
- 現象に確率密度関数を合わせるとはどういうことでしょうか。
- 829 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/10/17(水) 02:09:37.79 ID:kvrMD9Ju.net]
- xyz空間の半球
x^2+y^2+z^2=1 (x≧0)
を平面x=sおよびx=t(0<s<t<1)で切り、切り分けられた立体のs≦x≦tの部分とt≦x≦1の部分の体積が等しくなるようにする。
いまtをsの関数と見てt=f(s)とおくとき、次の極限を求めよ。
lim[s→1] (1-f(s))/(1-s)
- 830 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/10/17(水) 02:26:57.50 ID:RkkcdSW0.net]
- >>737
自己解決。
なんのことはない。
exp(-x)/x をマクローリン展開すればいいだけ。
第０項を除く部分は０にいってしまう。
お騒がせしました。
- 831 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/10/17(水) 05:14:41.19 ID:CNsWZSmr.net]
- >>791
S = 1 + a[1] + a[2] + … + a[n] ＋ … = 3.91202535564
が収束するから、n → ∞ のとき
a[n+1] ≒ a[n] / S, … 等比数列っぽい。
a[n] ≒ 11.127284700 / S^n,
ln(a[n]) ≒ 2.409400 - 1.364055233655 n,
- 832 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/10/17(水) 05:21:15.19 ID:CNsWZSmr.net]
- 〔類題〕
半径1の円に内接する正七角形の
(対角線の長さの総和) - (辺の長さの総和) = ⊿
の (2/3)乗 を求めよ、という問題が分かりません。。。
- 833 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/10/17(水) 05:33:01.02 ID:kvrMD9Ju.net]
- kを実数とする。
実数xについての方程式
x^3-kx+1 = 0 ...(F)
について以下の問いに答えよ。
(1)kが十分大きいとき、(F)は相異なる3つの実数解を持つことを示せ。
(2)kが十分大きいとき、(F)の3つの解をα、β、γ(α<β<γ)とする。
以下の極限（ア）～（オ）をそれぞれ求めよ。
（ア）lim[k→∞] α
（イ）lim[k→∞] β
（ウ）lim[k→∞] γ
（エ）lim[k→∞] αβ
（オ）lim[k→∞] γ/α
- 834 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/10/17(水) 07:10:34.08 ID:CNsWZSmr.net]
- >>807
(1)
題意より k > 0 としてよい。
F(-1-k/3) = -(k/3)^3 < 0,
F(0) = 1 > 0,
k > 3･(1/4)^(1/3) のとき
F(√(k/3)) = 1 - 2･(k/3)^(3/2) < 0,
F(√k) = 1 > 0,
∴ k > 3･(1/4)^(1/3) のとき
中間値の定理により各区間に実解が1個以上ある。相異なる3つの実解を持つ。
(2)
(ア) α ～ -√k - 1/(2k) +3/(8k^2.5) → -∞,
(イ) β ～ 1/k + 1/k^4 → 0,
(ウ) γ ～ √k - 1/(2k) -3/(8k^2.5) → ∞,
(エ) αβ = - 1/γ ～ - 1/(√k) - 1/(2kk) → 0,
(オ) γ/α ～ -1 + 1/(k^1.5) → -1,
- 835 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/10/17(水) 07:32:44.28 ID:XmI0cwXc.net]
- 問1: 2多項式の平方の和 f_1^2 + f_2^2 として表される多項式の全体は, 乗法に関して半群をつくる事をしめせ.
(服部昭「現代代数学」 p.5 より)
多項式について特に記載がないのですが, 有理数係数の1変数多項式だと思います。
簡単な例だと
(x^2 + x^2)(x^2 + (2x)^2) = 10x^4 = (x)^2 + (3x)^2
こんな感じで乗法に関して閉じてるらしいのです (本当かな...)
どうかよろしくお願いします。
- 836 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/10/17(水) 07:41:06.57 ID:NNY6L07n.net]
- >>802
どんな分布に合致するかを推測するんじゃないのかな
- 837 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/10/17(水) 07:56:44.89 ID:LYxop/Jb.net]
- >>809
(f^2+g^2)(h^2+k^2)=
- 838 名前：(fh+gk)^2+(fk-gh)^2
単位元は 1=1^2+0^2 [] - [ここ壊れてます]
- 839 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/10/17(水) 08:04:23.76 ID:XmI0cwXc.net]
- >>811
ありがとうございます。
- 840 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/10/17(水) 11:41:40.69 ID:uOvStamk.net]
- y=x^2のグラフの上に傾き正のある直線を引いたところ、a、bの2点で交わった。
x座標が負の点をaとした場合、aのx座標の絶対値はbのそれより小さい。
これはグラフ書くと直感的に明らかですが、図形的に説明する方法はありますか？
直線の式立てて二次方程式の解の公式使えば計算ですぐ分かりますが
直感的に説明できないのが気持ち悪くて
- 841 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/10/17(水) 11:52:59.02 ID:eVoD0jAd.net]
- aを通り傾き０の直線を引く。
この直線の傾きを、少し正に／負に 変化させたとき、交点がどのように変化するか考察。
- 842 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/10/17(水) 11:55:50.76 ID:eVoD0jAd.net]
- どちらでも、かまわないかもしれないけど、一応訂正
誤：aを通り傾き０の直線を引く。
正：bを通り傾き０の直線を引く。
- 843 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/10/17(水) 12:12:33.18 ID:q4TTBiFC.net]
- 直観的に明らかとか言ってるけど、ｘ座標が両方とも正になる場合があるのには気付いてる？
単純に
a,bの座標をそれぞれ(Xa,Ya)と(Xb,Yb) 但しXa<Xb
を考えれば
傾き正だから、Yb>Ya (>0)なので、両辺のルートを考えれば |Xb| > |Xa|, になる
図形的に考えれば、「Ｙ座標が大きいほうがＹ軸から離れている」
ってこと。
- 844 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/10/17(水) 12:25:23.65 ID:Qz/b3TB8.net]
- 二点を通る直線の傾きはa+bで与えられ、それが正かつa＜bだから|a|＜|b|
- 845 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/10/17(水) 13:02:17.30 ID:uOvStamk.net]
- 色々な解答ありがとうございますm(_ _)m
両方正になるパターンを忘れてました……
直線がy軸の正の部分と交わるという条件が言いたかったことです。
簡単というか秒で言えそうですね……なぜ煮詰まったのか不思議です。ありがとうございました
- 846 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/10/17(水) 13:03:43.56 ID:uOvStamk.net]
- 二次曲線と直線が共有点を持つかどうかという問題では、単純に連立するだけでよく、解の範囲が二次曲線の取りうるxyの条件を満たすかどうかは調べる必要が無いのに
二次曲線どうしが共有点を持つかどうか判定する場合にはその条件を調べなければならないのはなぜですか？
- 847 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/10/17(水) 13:27:27.06 ID:Wn9LnLuR.net]
- 単純に解けないからだろ
- 848 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/10/17(水) 13:33:56.24 ID:uOvStamk.net]
- 単に連立して得られる方程式の実解と実際の交点が一対一対応しないのはなぜか？ということです。
- 849 名前：１３２人目の素数さん [2018/10/17(水) 13:48:37.28 ID:lYXNgkR/.net]
- でかるとせんせーに喧嘩売るぞって話？
- 850 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/10/17(水) 15:36:37.32 ID:LYxop/Jb.net]
- >>821
そんなことあるの？
例を一つ出してみて。
- 851 名前：イナ mailto:sage [2018/10/17(水) 15:48:40.97 ID:T1WitPnt.net]
- >>801
正三角錘Tが動く領域内部にある正三角錘Sは領域に含まれない。
Sのすぐ外の部分は3つの領域からなる。
正三角柱4つ={(√3)/4}×4
=√3
扇形柱6つ=π(1^2){(360-90-90-109.5)/360}
=47π/40
球1つ=(4π/3)(1^3)
=4π/3
あわせると、
Tが動く領域=4π/3+47π/40+√3
=(301/120)π +√3
- 852 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/10/17(水) 16:10:30.18 ID:Tt/OT1lL.net]
- あいかわらずだなぁ
- 853 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/10/17(水) 16:45:22.47 ID:uOvStamk.net]
- >>823
例
楕円x^2+2y^2=1、放物線2y=x^2+11の交点を求めたい。
交点となるxyはx^2=2y-11を満たすので
楕円の式に代入して2y^2+2y-12=0、y^2+y-6=0
y=2,-3となるが、どちらも楕円にはかすりもしてないので解にはならない。楕円の図形的条件を考えないといけない。
�
- 854 名前：ｱうなるのはなぜでしょうか？ []
- [ここ壊れてます]
- 855 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/10/17(水) 16:48:25.70 ID:CLF9yvIF.net]
- >>826
y=2,-3のとき、x^2はいくつになる？
- 856 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/10/17(水) 16:53:37.26 ID:0klAX64q.net]
- >>826
x^2+2y^2=1 ＆ 2y=x^2+11
⇔y^2+y-6=0 ＆ x^2=2y-11
であって、２式はワンセット。
y^2+y-6=0を解いた y について x^2=2y-11 を満たす x があるかどうかは確認しないとわからない。
両方OKのときもあれば、片方だけOKのときもあれば、全滅するときもある。
一次式を利用して一文字消去した場合には対応する x が必ず見つかる。
- 857 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/10/17(水) 16:53:45.31 ID:eVoD0jAd.net]
- >>826
交点と言うからには、(x,y)を求めてから、言ってください。
y座標だけ求まったとしても、それに対応するxが実数として
存在しなければ、それは、交点ではありません。
- 858 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/10/17(水) 16:54:56.49 ID:kvrMD9Ju.net]
- >>826
実数条件
- 859 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/10/17(水) 17:18:22.82 ID:uOvStamk.net]
- いえ、この場合は実数条件を考慮しないとダメ、というのは分かるんですよ
なぜ直線と二次曲線の交点の場合はそれを考えなくてよくなるのでしょうか？というのが最初の質問です
- 860 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/10/17(水) 17:36:08.92 ID:CLF9yvIF.net]
- 直線と二次曲線だって考えなきゃダメじゃね？
y=x^2+1とy=0の交点を求めようとして連立させてx^2+1=0とすると虚数解しか出て来なくて解無し、つまり交点無しってわかるだろ？
- 861 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/10/17(水) 17:42:17.61 ID:CVjHYV3z.net]
- 直線の式をy=ax+b(a,bは実数)とする
ある曲線がこの直線と交わるか交わらないか、という問題を考えよう
連立した方程式を仮にxについて解いて実数解が得られたとすれば、関係式y=ax+bによって対応するyの値も自動的に実数になる
逆に、xについて解いて虚数解が得られたとすれば、対応するyの値も自動的に虚数になる
なので、直線との交点を求める際に限ってはxについて解くかyについて解くかに関わらず、一方の値が実数なのか否かさえ見れば良いことになる
もちろん直線との交点ではない場合は>>826のように、一方の値が実数であったとしてももう一方の値が虚数になることがあり得るので、それも確かめないといけない
- 862 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/10/17(水) 17:43:35.22 ID:hDxIuId+.net]
- >>828読んでも分からん？
- 863 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/10/17(水) 17:49:50.11 ID:CVjHYV3z.net]
- >>833
軸に平行な直線との場合は別に考えてくれ
- 864 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/10/17(水) 20:16:01.16 ID:9LFKH85i.net]
- 「無」は最強ですか？
- 865 名前：イナ mailto:sage [2018/10/17(水) 20:17:30.59 ID:T1WitPnt.net]
- >>825なんだよ。あってんだろ。前>>824
- 866 名前：１３２人目の素数さん [2018/10/17(水) 20:31:32.39 ID:9LFKH85i.net]
- 東大医学部医学科で断然トップの人と、東大理学部数学科で断然トップの人はどっちの方が頭が良いのでしょうか？
- 867 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/10/17(水) 21:20:47.14 ID:hDxIuId+.net]
- >>824 >>837
> 扇形柱6つ=π(1^2){(360-90-90-109.5)/360}
- 868 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/10/17(水) 22:29:08.09 ID:kM/tPq2A.net]
- >>833
ありがとうございます
- 869 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/10/17(水) 23:25:30.19 ID:+VXQr7tm.net]
- 9点円の定理みたいなのって三角形じゃないと出来ないん？
- 870 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/10/18(木) 00:46:28.48 ID:CGKdq0JP.net]
- test
- 871 名前：イナ mailto:sage [2018/10/18(木) 01:16:28.16 ID:fIJ2dSz/.net]
- >>839ご指摘ありがとう。
前>>837修正。
Tが動く領域は、正三角柱4つと扇形柱6つと球1つからなる。
(正三角柱4つ)={(√3)/4}×4
=√3
(扇形柱6つ)=π(1^2){(360-90-90-109.5)/360}×6
=70.5π/60
=47π/40
(球1つ)=(4π/3)(1^3)
=4π/3
あわせると、
(Tが動く領域)=4π/3+47π/40+√3
=(301/120)π +√3
- 872 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/10/18(木) 02:44:29.46 ID:ybZLuwXw.net]
- Oを原点とするxy平面の点A(1,1)を中心とする半径r(1≦r<√2)の円Cがある。
Cの周とx軸との交点のうち、原点Oに近い方をPとする。また、y軸との交点のうち原点に近い方をRQとする。
扇形APQの面積をS(r)とし、また線分OP、線分OQ、Cの劣弧PQとで囲まれる領域の面積をT(r)とする。
このとき、次の極限を求めよ。
lim[r→√2] {(√2 - r)*S(r)}/{T(r)}
- 873 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/10/18(木) 03:12:42.66 ID:7YqgJU0i.net]
- >>843
そもそも109.5とわ？？？
- 874 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/10/18(木) 04:28:52.29 ID:Dw4OfxmO.net]
- >>826
xx = X とおくと
「楕円」は放物線 X = 1 -2yy となり、
「放物線」は直線 2y = X+11 となる。
これらは (X,y) = (-7,2) (-17,-3) の2点で交わる。
X≧0 の交点のみが（実）xy-平面上の交点（x,y）に対応する。
X<0 の交点は xが虚数になるので、（実）xy-平面上では絣もしない。
- 875 名前：イナ mailto:sage [2018/10/18(木) 04:53:42.15 ID:fIJ2dSz/.net]
- >>845前>>843
108°ぐらいかなとは思ったんだけど。
底角1、斜角(√3)/2の二等辺三角形の頂角。
正四面体の辺と辺がなす角。
なぜかと言われても自然の摂理だから。一周を360°と決めたから、109.5°になったとしか言いようがない。
- 876 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/10/18(木) 13:11:19.58 ID:7YqgJU0i.net]
- >>847
109.47122063449069
- 877 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/10/18(木) 17:25:18.82 ID:v2a6/08p.net]
- 正四面体は(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)とか
(-3,1,1,1),(,1-3,1,1),(1,1,-3,1),(1,1,1,-3)で表せる。
中心から2つの頂点を見た時の角度をtとすると、
cos(t)=(-3,1,1,1).(1,-3,1,1)/(9+1+1+1)=-1/3 だから
arccos(-1/3) あるいは、
(180/pi)arccos(-1/3)=109.471220634490691369245999339962435963006843100907948288...°
- 878 名前：イナ mailto:sage [2018/10/18(木) 17:54:55.56 ID:fIJ2dSz/.net]
- 前>>847
5π/2 +√3 とどっちが近いかな。
- 879 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/10/18(木) 18:15:24.79 ID:VK8UuorO.net]
- 農学部だと近けりゃいいんだなw
- 880 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/10/18(木) 19:27:14.93 ID:6fhQd4Cs.net]
- 頂点が１／４で上に凸の放物線
ｙ＝-x^2/676+1/4が
座標（３，１０／４９）を通るように調整してくれ～(・ω・)ノ
- 881 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/10/18(木) 19:57:27.43 ID:ybZLuwXw.net]
- >>844
これお願いします
数研出版の問題集を解いていますが図形の面積が表せません
- 882 名前：１３２人目の素数さん [2018/10/18(木) 20:57:05.48 ID:S3KlGNXW.net]
- >>852
ｙ＝-x^2/676+1/4 (x≠3)，１０／４９(x＝3)
- 883 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/10/18(木) 23:14:17.10 ID:ZVonDrj/.net]
- >>853
∠OAP=θと置けばできそうじゃん
rもOPもθで表せるからあとは適当にいけるんじゃね？
- 884 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/10/18(木) 23:31:59.86 ID:ZLom+Usi.net]
- わからない、教えて
抽選ボックスが2つ、どちらかから1つからボールを1つだけ引き当選の有無を確認する。
抽選ボックスAはボールが3コ、ボックスBは7コ。
一等は1本、2等は2本、計3本がどちらかのボックスに偏っているとする。
この時どちらのボックスを引くのが良いか？または同じか？
- 885 名前：イナ mailto:sage [2018/10/18(木) 23:33:54.23 ID:fIJ2dSz/.net]
- (正三角柱4つ)={(√3)/4}×4
=√3
(扇形柱6つ)=π(1^2){(360-90-90-109.47122063449069)/360}×6
=7.052877936550931π/6
=(1.1754796560918218333……)π
(球1つ)=(4π/3)(1^3)
=4π/3
=1.333……
あわせると、
(Tが動く領域)=(2.5088129894251551666……)π+√3
(5/2)π+√3＜
(301/120)π+√3=2.508333……
＜(2.5088129894251551666……)π+√3
簡単な分数にはならないかと思ったが、そんな簡単じゃなかった。
- 886 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/10/18(木) 23:45:03.55 ID:LmxfrDVL.net]
- >>844
r→√2の極限だと高次の微小量を無視すれば円弧PQは直線として考えられるぞ
x=√2-rと置くと
T=x^2
S=x(√2-x)
xS/Tにx=0を代入して、答えは√2だ
厳密な証明は、まあ頑張れ
- 887 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/10/18(木) 23:47:44.94 ID:y4R+MJMW.net]
- >>855
こんな感じか？
θ = ∠OAP とし、
AOを斜辺とし、x軸を底辺とする直角三角形の面積をUとすると
S = πr^2 * 2θ / (2π) = θr^2
U = r sin(π/4-θ) / 2
T
- 888 名前： = 1 - 2U - S
先ほどの直角三角形の辺の長さと角度の関係から
r = 1/cos(∠A) = 1/cos(π/4-θ)
よって U = 1/2 * sin(π/4-θ)/cos(π/4-θ)、S = θ / cos(π/4-θ)^2
T/S = (1 - 2U)/S - 1
= (1 - sin(π/4-θ) / cos(π/4-θ)) 2cos(π/4-θ)^2 / θ - 1
f(θ) = (1 - sin(π/4-θ) / cos(π/4-θ)) 2cos(π/4-θ)^2 とすると
f’(θ) = 2 (cos(2θ) + sin(2θ)) なので
(ここは綺麗な式にしなくてもとにかく微分できていればいい)
lim T/S = lim f(θ)/θ - 1 = f’(0) - 1 = 1
θ→0 [] - [ここ壊れてます]
- 889 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/10/18(木) 23:50:10.45 ID:y4R+MJMW.net]
- いや流石に1はおかしいか。どこ間違えたかな
- 890 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/10/19(金) 02:05:32.23 ID:gzQJ/Bd2.net]
- >>859
ありがとうございます。
美しい結論、程よい難易度ですね
私の作問能力の高さを再確認いたしました
- 891 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/10/19(金) 02:48:48.84 ID:/MhliacY.net]
- なんにしろ答えは√２だな
適当な問題の背景が透けて見えてる
2T/(√2-r)が大雑把にTの三角形の高さで、S/(T/(√２-r))はSの底辺の極限。だから√２
- 892 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/10/19(金) 02:51:38.57 ID:5btDxqP5.net]
- 作問能力？
ならば正当をお願いいたす(・∀・)
- 893 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/10/19(金) 02:53:59.21 ID:HH37cTSY.net]
- なぁんの数学的深みも感じないけど。
しょせん受験数学どまり。
- 894 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/10/19(金) 03:01:29.91 ID:gzQJ/Bd2.net]
- >>864
数学的深みはゲームとしての面白さではなく研究により得られるものです
私はゲームとしての面白さを追求いたします
- 895 名前：１３２人目の素数さん [2018/10/19(金) 04:20:06.08 ID:jtToVnaO.net]
- a, bを正の実数として、双曲線：
(x^2/a^2) - (y^2/b^2) = 1
の上の点P(Pのx座標,y座標はともに正とする)における接線へ
この双曲線の焦点(√(a^2+b^2),0), (-√(a^2+b^2),0)から
下した垂線の足をそれぞれH, H'とすると、
H, H'は頂点A(a,0), A'(-a,0)を直径とする円周上にあることを証明せよ。
- 896 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/10/19(金) 04:23:27.84 ID:jtToVnaO.net]
- 焦点はF, F'で
F((a^2+b^2)^(1/2),0), F'(-(a^2+b^2)^(1/2),0)ということ
- 897 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/10/19(金) 06:14:46.67 ID:rcCrT93A.net]
- >>866だけど
スマンが当方はわかった
双曲線の性質を使えばめっちゃ簡単だった
考えてわからない奴はバカ
- 898 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/10/19(金) 06:49:41.40 ID:UmCMoNsS.net]
- >>866
原点Oを通らない任意の直線を
kx - Ly = 1, … (1)
とする。 (kk+LL≠0)
F から(1)におろした垂線：
L{x - √(aa+bb)} + ky = 0,
F ' から(1)におろした垂線：
L{x + √(aa+bb)} + ky = 0,
をまとめて
Lx + ky = ±L √(aa+bb), …(2)
(1)と(2)の交点 H，H ' (x,y）では
(kk+LL)(xx+yy) = (kx-Ly)^2 + (Lx+ky)^2 = 1 + (aa+bb)LL,
xx + yy = {1 + (aa+bb)LL}/(kk+LL),
∴ 右辺が一定値になるように（k，L）をとればよい。
(1) を2次曲線
{k/x(P)}xx - {L/y(P)}yy = 1,
の点Pにおける接線とし、
x(P)/k + y(P)/L = aa+bb
とすれば、この条件を満足する。
xx + yy = aa.
- 899 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/10/19(金) 08:28:57.75 ID:UmCMoNsS.net]
- >>869
(1) は双曲線
(x/a)^2 - (y/b)^2 = 1,
の接線だから
k = x(P)/aa,
L = y(P)/bb,
これを使うと
(ak)^2 - (bL)^2 = 1,
1+ (aa+bb)LL = aa(kk+LL),
- 900 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/10/19(金) 13:00:12.33 ID:/MhliacY.net]
- >>859
いくつかの間違いを修正して、wolframセンセーに頑張ってもらった結果
（一度じゃ計算成功しなかったけど）
答えは√2です
1. Uの定義がおかしい
UはAPを斜辺とし…とすべき（というか、計算ではそうなっている）
2.
T/S = (1 - 2U)/S - 1
= (1 - sin(π/4-θ) / cos(π/4-θ)) 2cos(π/4-θ)^2 / θ - 1
の 2cos(π/4-θ)^2の最初の
- 901 名前：２はいらない
T/S = (1 - 2U)/S - 1
= (1 - sin(π/4-θ) / cos(π/4-θ)) cos(π/4-θ)^2 / θ - 1
で
T/S → 0 になる
3.
求めるのは、T/Sではなくて、
(√2-r) (S/T)
>>859のやり方なら、φ=Pi/4-θと置いて、簡略化しながら計算しないと計算量が嫌になるかも。
書くのしんどいから書かないけど
△AOPの面積をVとすれば、V=√2/2 rsinθで
T=2V-Sだから計算はぐっと楽
>>855を書いた時はこれを想定してた
普通に手計算できるレベル [] - [ここ壊れてます]
- 902 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/10/19(金) 14:15:28.72 ID:y9YD4c9P.net]
- 体上の線型代数はあるけど、微積分はあるの？
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