- 30 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/09/18(火) 08:53:41.24 ID:3cV882Ep.net]
- >>8
(>>27の続き)
5-2)：x^2−xy＋y^2 が43xを割り切るとき。このとき、或る正整数nが存在して、n(x^2−xy＋y^2)＝43x となる。
よって、nは素数43か正整数xのどちらかを割り切る。
5-2-1)：nが素数43を割り切るとき。43の正の約数は1と43の2つに限るから、n＝43 としてよい。
そこで、n＝43 とすると、x^2−xy＋y^2＝x、従って x(x−y−1)＋y^2＝0。x≧y≧2 としているから x＜y＋1、
故に x＝y から、x^2−x＝x(x−1)＝0。しかし、これを満たすxは存在せず矛盾する。
5-2-2)：nがxを割り切るとき。xの最大の約数はxなることに着目すると n＝x としてよい。そこで、n＝x とすると、x^2−xy＋y^2＝43、
ゆえに x^2−xy＋y^2 は43を割り切る。しかし、5-1)のときと同様に考えると、矛盾が生じることになる。
5-2-1)、5-2-2) から、nについて何れのときも矛盾が生じる。
故に、x^2−xy＋y^2 が43xを割り切るとき、正整数nは存在しないことになって、矛盾が生じる。
5-3)：x^2−xy＋y^2 が43yを割り切るとき。x≧y, x≧3, y≧2 としているから、5-2) と同様に考えると、矛盾が生じる。
5-1)、5-2)、5-3) から、何れのときも矛盾が生じるから、x^2−xy＋y^2 (x≧y≧2, x≧3) が
43、43x、43y のどれかを割り切るようなxとyの組 (x,y) (x≧y≧2, x≧3) は存在しない。
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