- 421 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/08/17(金) 02:45:04.62 ID:kIZI7rJ0.net]
- [第２段]：2^e が無理数ではないとする。
すると、2^e は整数ではない実数だから、e＞1 から、2^e は2以上の有理数である。
また、素数は無限個あるから、互いに素な n＞m≧2 なる正整数 n,m の組 (n,m) は無限個存在する.。
従って、A＝{ (n,m)∈N^2 } n,m は互いに素な n＞m≧2 なる正整数で、2^e＝n/m } とおくと、Aは可算無限集合である。
(n,m)∈A を任意に取る。すると、2^e＝n/m、従って、m!・2^{e}＝n・(m−1)! は2より大きい整数、故に、M＝(m!)^{m!} とおけば、
Mは正整数であり、(m!・2^{e})^{m!}＝(m!)^{m!}・(2^{e})^{m!}＝M・(2^{e})^{m!}＝M・2^{m!e} は2以上の整数である。
級数 e＝Σ_{k=0,1,…,+∞}( 1/(k!) ) の部分和を S_m＝Σ_{k=0,1,…,m}( 1/(k!) ) とおくと、M、m!・S_m は両方共に正整数だから、
M・2^{m!・S_m} は正整数である。m≧2 から M・2^{m!e}≧4 であって、素因数分解の一意性から正整数 M・2^{m!e}、M・2^{m!・S_m} は
両方共に一意に素因数分解されるから、e＞S_m から、(M・2^{m!e})/(M・2^{m!・S_m})＝(2^{m!e})/(2^{m!・S_m})＝2^{m!(e−S_m)} は
1より大きい有理数である。しかし、
m!(e−S_m)＝m!( Σ_{k=0,1,…,+∞}( 1/(k!) )−Σ_{k=0,1,…,m}( 1/(k!) ) )
＝m!・Σ_{k=m+1,…,+∞}( 1/(k!) )＝m!・Σ_{k=m+1,…,+∞}( 1/(k!) )
＝m!・Σ_{k=1,…,+∞}( 1/( (k＋m)! ) )
＝Σ_{k=1,…,+∞}( 1/( (m＋1)・…・(m＋k) ) )
＜Σ_{k=1,…,+∞}( (1/2)^k )
＝(1/2)・Σ_{k=1,…,+∞}( (1/2)^k )＝(1/2)・1/( 1−(1/2) )
＝1/(2−1)
＝1
から、1＜2^{m!(e−S_m)}＜2、従って、(1/2)^{m!}＜2^{e−S_m}＜2・(1/2)^{m!}。
可算無限集合Aの点 (n,m) は任意であるから、Aの定義に着目して n,m → +∞ とすれば、
0≦lim_{m→+∞}(2^{e−S_m})≦2・0＝0 であって、im_{m→+∞}(2^{e−S_m})＝1 から 0≦1≦0 となる。
しかし、これは成り立たず矛盾する。この矛盾は実数 2^e を無理数ではないとしたことから生じたから、
背理法が適用出来る。故に背理法を適用すれば、2^e は無理数である。
|
 |
