- 1 名前：１３２人目の素数さん [2018/02/19(月) 00:21:10.33 ID:uzLAXv/z.net]
- 過去ログ
www3.tokai.or.jp/meta/gokudo-/omoshi-log/
まとめwiki
www6.atwiki.jp/omoshiro2ch/
1 cheese.2ch.net/test/read.cgi/math/970737952/
2 natto.2ch.net/test/read.cgi/math/1004839697/
3 science.2ch.net/test/read.cgi/math/1026218280/
4 science.2ch.net/test/read.cgi/math/1044116042/
5 science.2ch.net/test/read.cgi/math/1049561373/
6 science.2ch.net/test/read.cgi/math/1057551605/
7 science2.2ch.net/test/read.cgi/math/1064941085/
8 science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1074751156/
9 science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1093676103/
10 science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1117474512/
11 science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1134352879/
12 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1157580000/
13 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1183680000/
14 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1209732803/
15 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1231110000/
16 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1254690000/
17 kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1284253640/
18 kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1307923546/
19 uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1320246777/
20 wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1356149858/
21 wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1432255115/
22 rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1464521266/
23 rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1497416499/
24 rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1502016223/
25 rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1502032053/
- 780 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/05(木) 02:16:53.46 ID:ln/ClMXF.net]
- >>714
> 引き分けが1/3というのが妥当かも不明だし、
ワールドカップの892試合では、勝負あり 694、引分け 198 (22.2%) です。
日本代表の関係する21試合では、勝ち 5、負け 11、引分け 5 (23.8%) です。
- 781 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/05(木) 02:24:34.45 ID:ln/ClMXF.net]
- >>737
www.worldfootball.net/alltime_table/wm/
のデータをエクセルに貼付けて SUM() を計算。なお、日本代表は #30
- 782 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/05(木) 08:14:29.40 ID:ln/ClMXF.net]
- xyz座標空間上の曲面Q：z^2 = x^2 - y^2 -1について
Q上の二点を結ぶQ上の曲線で長さが最短となるものが唯一つでない場合があることを示せ。
K=0 らしい
- 783 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/05(木) 13:41:31.03 ID:yx21CGJ9.net]
- >>739
これはまともに測地線求めるしかなさそうな……
- 784 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/05(木) 15:50:30.03 ID:aa26gjJX.net]
- >>739
z^2 = x^2 - y^2 -1を整理するとy^2+z^2 = x^2-1
これはx≧1の部分とx≦-1の部分に分かれる二葉双曲面
a>1として
x≧1の部分に２点A(a,√(a^2-1),0)，B((a,-√(a^2-1),0)をとる。
Qのz=0による断面に沿った曲線ABの長さをL_1
Qのz=a-xによる断面に沿った曲線ABの長さをL_2とすると、
lim_{a→∞}(L_1/a) = 2√2 = 2.828…
lim_{a→∞}(L_2/a) = √3+(1/√2)log(√2+√3) = 2.5425…
lim_{a→∞}(L_1/a) > lim_{a→∞}(L_2/a)より
あるaが存在してL_1 > L_2となる。
よって、そのようなaについては、L_1はQ上でABを結ぶ曲線の長さの最小値ではなく、
最小となる経路はQのz=0による断面以外の場所を通る。
その最小の経路の１つをCとすると、Cはz=0上にないので、z=0に対してCと対称な曲線をC'とすると
C'はCと異なるもう１つの最小経路となる。
lim_{a→∞}(L_2/a)の計算が少し不安…
- 785 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/05(木) 15:56:41.37 ID:aa26gjJX.net]
- >>739
ところでK=0って何の話？
- 786 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/05(木) 16:18:09.19 ID:yvviDF5N.net]
- >>741
x^2 = y^2+z^2+1のx=aに沿うAB間の距離はπ√(a^2-1)じゃないの？
切り口は半径=√(a^2-1)の円だから。
aで割って極限とってπ>2√2なのでこのルートはすてた。
もっと漸近線のなす角が小さければいけそうなんだけど。
- 787 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/05(木) 16:21:57.29 ID:yvviDF5N.net]
- あ、ごめん。x=aでなくてx+z=aか。すこし斜めにとるのね。
なるほど。ならL_2の計算は難しそうww
信じることとしよう！！
- 788 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/05(木) 16:36:58.34 ID:aa26gjJX.net]
- lim_{a→∞}(L_1/a)やlim_{a→∞}(L_2/a)の計算は実はそんなに真面目にやらなくても
Qを1/aに縮小した図形はa→∞とすると円錐面y^2+z^2=x^2に近づくので
それで計算しても多分大丈夫。
そうすると、lim_{a→∞}(L_1/a)=2√2は何も計算しなくてもわかるし、
lim_{a→∞}(L_1/a)については
放物線 x=(1+y^2)/2 かつ z=(1-y-2)/2 の -1≦y≦1 の長さ
∫_{-1～1}√(2y^2+1)dyとして求まる。
そのままやっても出来ない計算ではないがちょっと大変。
- 789 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/05(木) 16:38:25.37 ID:aa26gjJX.net]
- >>745
あ、まちがった
lim_{a→∞}(L_1/a)については
のところは
lim_{a→∞}(L_2/a)については
に修正
- 790 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/05(木) 16:41:23.15 ID:aa26gjJX.net]
- >>744
すこし斜め、というより、断面が放物線になるようにとっているので
そんなに無茶な計算をしているわけではないです。
- 791 名前：１３２人目の素数さん [2018/07/05(木) 17:39:19.05 ID:izfpNop0.net]
- 某映画より（全編を観たわけではない）
表裏のある有限枚のカードが横一列に並んでいる。
「表面を向いているカードを選んでひっくり返し、その右隣のカードもひっくり返す」という操作をくり返す。
この操作はいつか終了する（高々有限回しか行えない）ことを示せ。
- 792 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/05(木) 17:45:54.86 ID:sQOol2Jk.net]
- 一番右のカードに１
右から2番目のカードに２
．．．
右からn番目のカードに２^(n-1)
というポイントを与える。
表になっているカードの合計を、．．．以下略
- 793 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/05(木) 17:59:52.69 ID:hOZQWVuc.net]
- >>748
カードが1枚のときは自明。
カードがn枚のとき正しいとしてn+1枚のときを考える。
n枚のときに可能な操作の最大回数をNとする。
2N回+1回やっても全裏にならないと仮定する。
一番右カードは２回連続選べないので最初の2N回で一番右のカード以外を選択した回数は少なくともN回。
よってこの時点で裏裏裏…裏裏か裏裏裏…裏裏。
あと一回はできないと駄目だから前者。
しかしその最後の一回で全裏。矛盾。
で桶？
- 794 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/05(木) 18:00:34.58 ID:hOZQWVuc.net]
- >>749
かぶった。そしてそちらの方が美しい。orz
- 795 名前：１３２人目の素数さん [2018/07/05(木) 18:42:42.13 ID:izfpNop0.net]
- 映画では>>749の方法を取っていた（2進数で狭義単調減少）
高々2^n-1回の操作（出来るか解らないが全て111…1から1ずつ減少した場合）で成し遂げられる(
- 796 名前：>>750)
黒板での実演
https://www.youtube.com/watch?v=mYAahN1G8Y8 [] - [ここ壊れてます]
- 797 名前：１３２人目の素数さん [2018/07/05(木) 19:00:01.42 ID:hLSyGNAr.net]
- 右からａ枚目にａを与えて表のカードの合計を考えればｎ枚のカードなら最大ｎ（ｎ＋１）／２回で終わる。
最大になるのはすべて表から始めて右が表じゃないカードを選び続けた場合。
- 798 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/06(金) 01:29:11.26 ID:26sRDPd7.net]
- 長方形のテーブルに同じ大きさのｎ枚のコインが並べられています。
隙間はありますが重心をテーブル上からはみ出させないようにもう一枚コインを置こうとするといずれかのコインに重なってしまうとします。
さてこのとき、テーブルからすべてのコインを取り除き、改めて４ｎ枚のコインをうまく並べ直せばテーブル全体を覆い尽くせる事を示して下さい。
- 799 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/06(金) 09:42:24.03 ID:KpmZzWMr.net]
- >>754
コインの半径をrとする。
もう１枚のコインの重心（中心）をテーブル上のどの点に置こうとしても
他のいずれかのコインと重なるので、テーブル上の任意の地点は、
いずれかのコインの中心から距離2r以内にある。
したがって、今置いてあるコインを全て（中心の位置は変えずに）
半径2rのサイズの円盤に置き換えると、テーブル上の全ての点は
その円盤で被覆される。
テーブルの長方形がn枚の半径2rの円盤で被覆された図を1/2に縮小すると、
テーブルの縦横半分のサイズの長方形がn枚の半径rの円盤で被覆された図となるので、
あらためてテーブルを４分割して、各パーツをその図と同様の配置でn枚ずつのコインで
覆えばよい。
- 800 名前：１３２人目の素数さん [2018/07/06(金) 12:37:14.13 ID:rNvMJVFD.net]
- >>741
これって最小となる経路が少なくとも1つは存在することを証明しないとなんじゃないの？
- 801 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/06(金) 16:30:41.30 ID:w9FHNO82.net]
- >>755
素晴らしい！正解‼︎
- 802 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/06(金) 17:39:11.01 ID:jaUkHhY3.net]
- 半径１のサッカーボールの黒い部分の面積は？
- 803 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/06(金) 19:16:43.11 ID:jaUkHhY3.net]
- あ、計算間違いした。
>>758は逆三角関数使わないと答え出ないですね。
あまり面白くないかも。
- 804 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/07(土) 00:13:12.37 ID:U4/1+k2M.net]
- >>758撤回します。どえらい値になる。
参考までに
c:(1+√5)/2
としてA(1,0,c), B(c,-1,0),C(c,1,0)は原点が重心の正２０面体のある面の３頂点。
AB,ACを1:2に内分する点をX,YとしてOA,OX,OYと単位球の交点をa,x,yとするとaxyを結ぶ球面三角形△axyは黒い部分の1/100。
∠xay = 2π/5、∠axy = ∠ayx = θとして△axyの面積は2π/5+2θ-π。
あとはθだけど
θ=acos(((sqrt(5)+1)^2/27+(2*((sqrt(5)+1)/2+2))/27)/(sqrt((4*((sqrt(5)+1)/2+2)^2)/81+(4*(sqrt(5)+1)^2)/81)*sqrt((((sqrt(5)+1)*((sqrt(5)+1)/2+2))/6－(sqrt(5)+1)/3)^2+(sqrt(5)+1)^2/36+1/9)))
….orz
- 805 名前：イナ mailto:sage [2018/07/07(土) 02:27:38.43 ID:0Vd5Kb4Y.net]
- >>758
半径1のサッカーボールの表面積は4π･1^2=4π
黒い部分一枚の面積:B
白い部分一枚の面積:W
とおくと、
12B+20W=4π――①
五角形および六角形の一辺をrとすると、
B=r^2･{√(25+10√5)}/4
W=r^2･(3√3)/2
BとWの値を①に代入すると、
3√(25+10√5)r^2+30√3･r^2=4π
r^2=4π/3{√(25+10√5)+10√3}
黒い部分の面積は、
12B=3r^2･{√(25+10√5)}
=4π√(25+10√5)/{√(25+10√5)+10√3}
通分はあるいは必要かと。
- 806 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/07(土) 02:32:14.98 ID:U4/1+k2M.net]
- >>761
�
- 807 名前：ｽ勝手に問題よみかえてんの？球面三角形の面積の出し方わかってる？ []
- [ここ壊れてます]
- 808 名前：イナ mailto:sage [2018/07/07(土) 03:27:26.25 ID:0Vd5Kb4Y.net]
- 前>>761
=86.4806266/24.2024177
≒3.57322263
黒い部分の面積には丸みがあって、一辺rの正五角形の面積を求めるやり方はおかしいと感じるが、正六角形にも同様に丸みがあり、表面積4πに対する黒い部分と白い部分の割合は球と三十二面体とでそんな変わらないと思う。
- 809 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/07(土) 05:58:50.00 ID:BXrd5bzu.net]
- サッカーボール は多面体か
それとも文字通り球か
題意はどっちよ？
- 810 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/07(土) 06:51:22.31 ID:8oKVVrfK.net]
- 「そんな変わらない」で数学をやられてもなあ。
いい加減数学には向いてないことに気づいて欲しいものだ。
- 811 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/07(土) 08:11:54.48 ID:ny1i6sPl.net]
- 多面体の場合の計算ならこのスレのレベルに合わんでしょ？
ただ球面にすると手計算ではリ～ム～。
- 812 名前：１３２人目の素数さん [2018/07/07(土) 10:32:01.90 ID:nRjTFKp9.net]
- acos((9-r5)/12).
- 813 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/07(土) 10:43:39.52 ID:VCaMax+U.net]
- >>763のトンチンカンぶりを見て、
ずっと昔に某所で球のペーパークラフトを自作しようとしていた
Fラン大学生(本人が紹介ページにそう書いてた)を思い出した。
球を8枚だか16枚だかの同じ形のラグビーボール型のパーツに分解して
それを貼り合わせるという、ごく普通の方式。問題なのは、
そのパーツを自作するときにパーツの算出が全くできてなかったこと。
よく覚えてないが、
「パーツを構成する曲線を厳密に表現しようとしたが、自分の力では難しくて立式できない」
みたいな状況だったはず(この時点で失敗することが確定している)。
- 814 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/07(土) 10:45:47.54 ID:VCaMax+U.net]
- 結局その人は、曲線の算出にある種の近似を使って、その人なりに
何とか計算しようとしていた。そして、出てきた積分を眺めて
「この積分を計算すると球の大円の周長が出てくるはずなのだが、数値計算すると合わない」
みたいなこと言ってた記憶がある。曲線の算出に近似を使ってる時点で、
大円の周長からはズレるに決まってるのだが、その人は理解していない。
また、そのことを俺が指摘しても本人は全く納得せず、
「ここに厳密な積分があるのに、大円の周長に一致しないのが納得いかない」
みたいな感じだった。
君が出した厳密な積分はデタラメな曲線に対する厳密な積分であって、
もともとの大円の曲線に対する厳密な積分ではないだろっていうね。
- 815 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/07(土) 10:48:11.23 ID:VCaMax+U.net]
- で、その近似曲線をもとにしてパーツを自作して貼り合わせたら、
やっぱり球にはならなくて、北極と南極が微妙に尖った、
ラグビーボール型のシロモノになってしまった。本人はそこで
「球になってねーじゃーーーん！」
みたいな愚痴を発して生放送を即座に切っていた。もはやギャグとしか思えない。
学力が低すぎると、自分の意思で選んだ趣味ですら
満足にこなせないんだなって かわいそうになったのを覚えている。
- 816 名前：１３２人目の素数さん [2018/07/07(土) 12:58:04.04 ID:CT2M6a2y.net]
- イナとかいうクソコテも大概だけどグチグチ言ってるやつも相当きめーな
サッカーボールという図形を数学的に厳密に定義してない以上どうとでも解釈出来るだろ
- 817 名前：１３２人目の素数さん [2018/07/07(土) 13:01:21.42 ID:QlJ5hxgi.net]
- >>756
有界閉集合がコンパクトなら完備リーマン多様体
- 818 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/07(土) 13:56:16.14 ID:
]
- [ここ壊れてます]
- 819 名前：DOx4W0Fk.net mailto: f(x)=x^4-2x^2+6とする。
素数pに対し次の条件(※)を考える。
(※) f(x)≡0 (mod p) は整数解を持たない。
p≦xを満たす素数の数をπ(x)，その中で(※)を満たすものの数をN(x)とする。
lim[x→∞]N(x)/π(x)を求めよ。 [] - [ここ壊れてます]
- 820 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/08(日) 11:54:50.48 ID:rpQNxWJy.net]
- >>773
f(x) = (xx-1)^2 + 5 だから
(※) (xx-1)^2 ≡ -5 (mod p) は整数解をもたない。
(1) -5が平方非剰余
または
(2) ｛1±√(-5)｝が平方非剰余
(1) 平方剰余の相互法則（と第1補充法則）から
((-5)/p) = ((-1)/p)･(5/p) = (-1)^((p-1)/2)･(p/5)
p≡1 (mod 4) かつ p≡±2 (mod 5)
または
p≡3 (mod 4) かつ p≡±1 (mod 5)
のとき、((-5)/p)=-1 となり、-5 は平方非剰余である。
p=11,13,17,19,31,37,53,59,71,73,79,97,…
(2) はどうするか
p x √(-5)
-----------------------------
p=2 0 1
p=3 0 ±1
p=5 ±1 0
p=7 ±2 ±3
p=23 ±3，±4 ±8
p=29 なし ±13
p=41 ±6 ±6
p=43 ±11，±15 ±9
p=47 なし ±18
p=61 ±9 ±19
p=67 ±11，±22 ±14
p=83 ±5 ±24
p=89 ±44 ±23
p=101 ±37，±42 ±46
p=103 ±24 ±43
- 821 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/08(日) 20:46:41.23 ID:du/lqCAV.net]
- 考えてくれてる人いるので参考までに実際 mod p での解の個数を数えるプログラム組んでみました。
codepad.org/CkKjvyUS
上の方の
#define NPRIMES 3200
#define DEG 4
long coeffs[DEG+1] = {1,0,-2,0,6};
のあたりをいろいろ変えると数値実験できると思います。
この場合の結果は
1998 2 801 0 399
Exited: ExitFailure 10
？？？Exited: ExitFailure 10？？？なにこれ？
C言語よく知らないのでよくわかりませんが、一行目の数値はあっています。
計算量多いのでCでないと苦しいのでやってみましたが素人がやるとだめですね。
対処方法ご存知なら教えて下さい。
次数とか係数とか変えてみるとなんか見えてくるかも。
複２次式からなる４次式は大概これに近い比率になるはずです。
それ以外だと解０個の比率はもう少し減ることが多いはずです。
- 822 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/08(日) 21:01:06.63 ID:du/lqCAV.net]
- わかった！exit(0);で明示的に終わらないとダメみたいですね。
codepad.org/kzgDsy5v
- 823 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/08(日) 23:31:55.79 ID:68ZF08lK.net]
- >>774
7以上の奇素数について
p≡1 (mod 4)，p≡±2 (mod 5) (13,17,37,53,73,97,…)
p≡3 (mod 4)，p≡±1 (mod 5) (11,19,31,59,71,…)
のとき、-5 は平方非剰余
p≡1 (mod 4)，p≡±1 (mod 5) (29,61,89,101,…)
p≡3 (mod 4)，p≡±2 (mod 5) (7,23,67,83,103,…)
のとき、-5 は平方剰余
(1) -5 が平方非剰余となるpの割合は 1/2 に近いかな（?)
(2) {1±√(-5)｝が平方非剰余となるpの割合は？
x π(x) N(x)
-----------------
2 1 1
3 2 2
5 3 3
7 4 4
11 5 4
13 6 4
17 7 4
19 8 4
23 9 5
29 10 5
31 11 5
37 12 5
41 13 6
43 14 7
47 15 7
53 16 7
59 17 7
61 18 8
67 19 9
71 20 9
73 21 9
79 22 9
83 23 10
89 24 11
97 25 11
101 26 12
103 27 13
- 824 名前：１３２人目の素数さん [2018/07/09(月) 15:28:48.27 ID:9xh3iFPU.net]
- ２つほど投稿。前者は息抜き程度、後者は自分ではまだ未解決なのでどなたか一緒に考えていただけたら嬉しいです
(1)qを正の奇数とする。この時、nがどんな整数であっても、qと互いに素な整数a,bを適切に定めることで a+b≡n (mod q) を成り立たせることは可能か。
(2)ユークリッド平面R^2の部分集合Aであって、どんな直線との共通部分も二点集合になるようなものは存在するか。
- 825 名前：１３２人目の素数さん [2018/07/09(月) 19:07:23.34 ID:Al3hwPmB.net]
- >>778 の(2)ですが、有限体で同じことはF_2以外不可能であることが以下の通りわかっています：
A⊂(F_q)^2 が条件を満たすとすると |A|=2qでなければならないから、
Aから異なる二点を選ぶ選び方は q(2q-1) 通り。
一方、(F_q)^2 上の直線は q(q+1) 本。
両者には自然な全単射が存在することから q=2 でなければならない。
- 826 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/10(火) 11:30:55.37 ID:8lYR3TJ8.net]
- >>763
正20面体の外接球の半径Roは
Ro = (1/4)√(10+2√5)･(辺長)
= 0.9510565163・(辺長)
各辺を長さ r：r'：r に3分割して、両側を捨てる。(切頂20面体)
正六角形が残るように３等分すると（r=r')
Ro = 0.9510565163・(2r+r')
= 2.8531695489 r
このときの外接球の半径Rは
R = √{(Ro)^2 -r(r+r')}
= 2.478018659 r
R=1 とおくと r = 0.4035482123
12B = 3√(25+10√5)・rr = 20.6457288 rr ≒ 3.36218088
- 827 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/10(火) 12:22:30.13 ID:8lYR3TJ8.net]
- >>780
フラーレン(Ｃ_60)分子では
r = 0.1455 nm(2)，0.1458 nm，0.1464 nm
r' = 0.1384 nm，0.1385 nm，0.1388 nm(1)，0.1391 nm(2)
R = 0.355 nm
らしい。
(1) J.M.Hawkins et al.: Science, ２５２, p.312-313 (1991)
"Crystal structure of Osmylated C_60：confirmation of the soccer ball framework"
(2) W.F.David et al.: Nature, ３５３, p.147-149 (1991)
"Crystal structure and bonding of ordered C_60"
- 828 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/10(火) 17:28:53.54 ID:9e2HIdsC.net]
- 昔、何かの記事で読んだんだが、何に載っていたのかが思い出せないし、証明も覚えていない。
「素数の累乗で、n ! + k (n, kは自然数) の形に表わせるものが５つだけだったか存在する」
だれか情報を…
- 829 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/10(火) 17:39:15.40 ID:znafurMV.net]
- nとkに制限ないならなんでもできるやん
2=1!+1
3=1!+2
5=1!+4
‥‥
- 830 名前：１３２人目の素数さん [2018/07/10(火) 18:33:12.92 ID:kWjM72mK.net]
- 簡単な問題設定の割に難しい問題
長さLの一様な重い棒を、鉛直から角θ傾けて倒す。棒が地面に倒れたときの先端の速さを求めよ。
棒の根本は地面との摩擦によって動かないとする。
地面が滑らかな場合はどうか？
- 831 名前：１３２人目の素数さん [2018/07/10(火) 18:41:25.72 ID:okqgU0Wa.net]
- 階乗で検索>階乗 - Wikipedia>ブロカールの問題
- 832 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/10(火) 23:10:21.90 ID:CaZJMDCE.net]
- n^2+n+1は3で割って2余る数を約数としないことを示せ。
- 833 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/11(水) 00:19:16.07 ID:t4/7pAv5.net]
- (m / p) を平方剰余記号として奇素数pに対し
(2n+1)^2+3≡0 (mod p)
⇒(-3 / p) = 1
⇒(p / 3) = 1
⇒p ≡ 1 (mod 3)
- 834 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/11(水) 04:46:
]
- [ここ壊れてます]
- 835 名前：20.24 ID:P+BTNckt.net mailto: >>786
p=2 に対し
n(n+1) + 1≠ 0 (mod 2)
∴ 2を約数としない。 [] - [ここ壊れてます]
- 836 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/11(水) 06:42:33.69 ID:P+BTNckt.net]
- >>780
球の中心 ～ 六角形の中心 の距離（垂線の長さ）
{(3+√5)/(4√3)}(2r+r') = 0.794654472291766 Ro
球の中心 ～ 正五角形の中心 の距離（垂線の長さ）
Ro - {1/√(φ√5)}r = Ro - 0.5257311121191336 r,
r'/r = (1/2){√(3 + 6/√5) - 1} = 0.6919817084376
のとき、これらは一致し、
内接球の半径 2.03449563343785 r
- 837 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/11(水) 07:21:29.64 ID:P+BTNckt.net]
- >>784
・根本が動かないとき
(1/2)Iω^2 = (1/2)MgL(cosθ-cosφ),
I は端点のまわりの慣性モーメントで、I = (1/3)ML^2,
v_S = ωL,
v_S(90ﾟ) = √(3gLcosθ),
・地面が滑らかな場合
(1/2)I’ω^2 + (1/2)M(v_G)^2 = (1/2)MgL(cosθ-cosφ),
I’は中心のまわりの慣性モーメントで、I’= (1/12)ML^2
φ=90ﾟのとき、v_S = 2v_G = ωL,
v_S(90ﾟ) = √(3gLcosθ),
- 838 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/11(水) 08:00:21.98 ID:P+BTNckt.net]
- >>780 >>789
r'/r = (1/2){√(3+6/√5) -1} = 0.6919817084376 のとき
内接球の半径 0.794654472291766 Ro
外接球の半径 R = 0.861318645 Ro
比 1.0838907666
- 839 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/11(水) 13:27:42.24 ID:LEvJsMim.net]
- >>773
ヒントです。
というかこれ知らないと多分自力では解けません。
逆にこれ知ってたらあとはチョロチョロ工夫するだけです。
ほんとは以下の定理をさらに発展させた定理もあってそれを使うと一撃で解けるんですが、いい線いってる方針があがっててその方針で進めるなら以下の定理を使うのが筋だと思います。
よかったら挑戦してみて下さい。
-----
Kを代数体、Rをその整数環、vを素イデアル、v∩Z=pZとする。
L/KをGalois拡大、Sをその整数環、wをv=w∩Rを満たすSの素イデアル、F∈Gal((S/w)/(R/v))とする。
このときσ∈Gal(L/K)でσ(v) = vでありσの誘導するGal((S/w)/(R/v))の元がFに一致するものが存在する。
すなわち任意のx∈Sにたいして
σ(x) + w = F(x+w)
を満たすものが存在する。
またL/Kが不分岐のときこのσは唯一存在する。
またw'をv=w'∩Rを満たす他のSの素イデアルとし、同様のσ'を構成するときσとσ'は共役である。
すなわちこの条件をみたすσ∈Gal(L/K)の共役類はvにより一意に定まる。
この共役類をvのFrobenius共役類とよぶ。
-----
Gを有限群とするときGのC値表現ρ:G→GL(n,C)によってtr・ρ:G→Cとかける関数を指標と呼ぶ。
G上の関数fが類関数であるとは同じ共役類に属する元について常に等しい値をとる関数とする。
任意の類関数は指標の線形結合として一意にかける。
----
Kを代数体、Oをその整数環、L/Kを有限次Galois拡大とする。
vをL/Kで分岐しない素イデアル、p(v)をv∩Z=p(v)Zを満たす素数、Fr(v)をvのFrobenius共役類、x0を自明指標とする。
f:Gal(L/K)→Cを任意の類関数として、これを
f = Σ[x]c_x x
と分解するとき次が成立する。
lim[x→∞]Σ[p(v)≦x] f(Fr(v))/π(x) = c_x0
とくにfが自明でない指標のときは左辺は0となる。
- 840 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/11(水) 13:34:57.73 ID:xru3WaBg.net]
- >>792
π(x) = #{v | p(v) ≦ x }
です。
- 841 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/11(水) 13:58:00.78 ID:VOQaSRny.net]
- イメージしやすいように例を
K = Q、L=K(i)のときR=Z、S=Z[i]、Gal(L/K)={id,σ}
である。(ただしσは複素共役をとる写像でσ(i) = -i。)
――
v=3Rのとき
w=3Sとなる。
このとき
F(i + w) = i^3 + w = -i + w。
故にこのときはFr(v) = �
- 842 名前：ﾐ。
v=5Rのとき
w=(2+i)Sもしくは(2-i)Sのいずれか。
いずれにせよ、このとき
F(i + w) = i^5 + w = i + w。
故にこのときはFr(v) = id。
――
この例では Fr(v) = id ⇔ p(v)≡1 (mod 4) となります。(L/Qがアーベル拡大ならこのようにp(v)のmod ××の類で定まります。) [] - [ここ壊れてます]
- 843 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/11(水) 19:42:36.04 ID:zWguNjBa.net]
- >>778
(2) は、
ttps://cybozushiki.cybozu.co.jp/articles/m000434.html
の中で全く同じ問題についての記述がある(解答そのものが載っているわけではない)。
記事によると、超限帰納法によって構成的に描けるとあるが、実際には
選択公理＆超限帰納法 あるいは 選択公理＆超限再帰 のテクニックのことを
指していると思われる。
こちらでやってみたところ、確かに構成できたが、濃度・整列集合に関する
マニアックな知識が必要な上に、きちんと書くと面倒くさい。
しかも、超限再帰の知識が無い人には証明が理解できない。
超限再帰のかわりにツォルンの補題で書き直した証明も出来たが、
結局は濃度・整列集合に関するマニアックな知識が必要で
やることがほとんど同じで面倒くさかった。
選択公理を使わずに構成できるかは知らない。
- 844 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/11(水) 23:13:11.73 ID:t4/7pAv5.net]
- なるほど、超限帰納法使うとできるね。
まぁマニアックかな？
全ての直線を連続体濃度の基数でラベルしといてあるラベル番目の直線の番が回ってきたときその直線より前の直線は高々連続体濃度未満しか無い事を利用するのね。
なるほど。
言われたらわかるんだけどなぁ。
- 845 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/12(木) 01:18:11.20 ID:huavq4lx.net]
- >>792
F はフロベニウス写像？
- 846 名前：778 mailto:sage [2018/07/12(木) 02:22:48.22 ID:/Z2aWdzi.net]
- >>795 >>796
ありがとうごさいます。やはり選択公理が必要になりそうなんですね…
まだ自分では示せていないので、>>796をヒントにして考えてみようと思います。
有理数体のような可算無限な体で同様のことができるかどうかも気になっているのですが、同じ手法で示せるのでしょうか？
- 847 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/12(木) 03:07:48.58 ID:cnnq5teh.net]
- >>798
できる
- 848 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/12(木) 12:42:01.87 ID:/doAfL4Z.net]
- >>797
Yes!
- 849 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/12(木) 13:45:35.27 ID:j/yfJD6O.net]
- >>800
了解
ちょっと考えてみよう
あと>>792のことが載ってる文献とかある？
- 850 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/12(木) 16:26:03.85 ID:sQqagqbK.net]
- >>792
森田先生の東大出版の整数論とか
加藤先生の岩波出版の整数論Iとかには載ってると思う。
ただしどっちも証明完全にはのってなかった希ガス。
確実に証明まで含めてのってるのは
Lang の Algebraic number theory。
池原 Winner Landau の定理を使う証明で若干妙な証明だけどのってます。
まぁ森田先生のはLangの訳本に近い。
間違ってるとこもそのままちゃんと間違ってますwww
- 851 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/12(木) 18:36:36.53 ID:2xf9EIWs.net]
- Σ[k=2 to n-1] n!/(n-k)! + n! の値を求めよ
- 852 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/12(木) 19:51:18.89 ID:L192+njn.net]
- >>803
これはムズい。見たことない。答え！とか出てくる？
- 853 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/12(木) 20:33:04.82 ID:sQqagqbK.net]
- てか
n!(1/(n-2)! + 1/(n-3)! + ... + 1/1! + 1)
=n!(1/0! + 1/1! + ... + 1/(n-2)!)
こんなんもたまらん希ガス。
- 854 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/12(木) 20:34:18.22 ID:uedcuzUI.net]
- 二項定理で微分してみる？
- 855 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/12(木) 20:57:58.27 ID:xzK6jvxq.net]
- >>805
+n!が
- 856 名前：完全蛇足になるとおかしいから分母にくるでしょ []
- [ここ壊れてます]
- 857 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/12(木) 21:36:53.55 ID:Os9QSTcU.net]
- >>807
分母なんぞに来た日には目も当てられんやん。
- 858 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/12(木) 22:12:02.43 ID:Os9QSTcU.net]
- >>803 >>807
分母でやってみた
codepad.org/itx6rWET
6 % 7
612 % 325
453800 % 155001
3861634830 % 976314031
481961256261492 % 96969788815873
1054761729394054912664 % 176420776601977522329
9379220392541459116676859552 % 1342977541299460819153297325
6871627232977971685604791983162107670 % 860310167933842952793421619070619213
なんのルールも見えん。
ほんまに解けんのこれ？？？？
- 859 名前：１３２人目の素数さん [2018/07/12(木) 22:15:25.17 ID:FNY0485u.net]
- >>803
ガウス記号使えるなら [e･n!]-n-1 という表示は可能だけど、もしかしてこれが答え？
- 860 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/12(木) 22:46:37.28 ID:sQqagqbK.net]
- >>810
それか！
- 861 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/13(金) 00:27:41.14 ID:3AgF2Wt2.net]
- >>802
サンクス
>>773はのんびり考え中
- 862 名前：778 [2018/07/13(金) 00:58:20.39 ID:J3lC7G1w.net]
- >>778 (2)ですが自己解決しました。ヒントくださった方ありがとうございました。
- 863 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/13(金) 12:00:38.73 ID:btBhB1qs.net]
- >>803
元ネタは、たまたま書庫で見た数学セミナーの連載記事 「算私語録」 で、答えは書いてなかったのだ。
続けたまえ！
- 864 名前：１３２人目の素数さん [2018/07/13(金) 14:19:55.91 ID:j1khqgOs.net]
- ハゲのくせになまいきだぞ
- 865 名前：１３２人目の素数さん [2018/07/14(土) 00:32:30.12 ID:kfXPO9Dw.net]
- 半径1のn次元球D^nの体積はπ^[n/2]/(n/2)!
ただし半整数の階乗は1ずつ減らして1/2までの積
これを帰納法使わず証明して欲しい
- 866 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/14(土) 02:32:04.17 ID:5VRLgysv.net]
- >>816
半径rのn次元球の体積を Vn*r^nとすると、
n次元球の表面積は、n*Vn*r^(n-1) となる事を利用して、
次の積分は、Vnを使って、下のように書くことができる。
I_n=∫・・・∫exp[-(x1^2+x2^2+...+xn^2)]dx1・・・dxn ; n次元空間全体での積分
=∫[0,∞]exp[-r^2] n*Vn*r^(n-1)dr
=(n/2)*Vn*∫[0,∞]exp[-y] y^((n/2)-1)dy
=(n/2)*Vn*Γ(n/2)
一方、I_n=(I_1)^n={∫[-∞,∞]exp(-x^2)dx}^n=(√π)^n なので
Vn=π^(n/2)/Γ(n/2+1)
あとはnの偶奇で分け、独自の階乗記号を使って書き下せば完了
- 867 名前：１３２人目の素数さん [2018/07/14(土) 03:43:23.92 ID:+LT1qx/t.net]
- >>817
この証明のdrって面積素、つまりはハウスドルフ測度のことだよね？だとしたらハウスドルフ測度の定義にはn次元球の体積が必要だから循環論法になるんじゃないの？
- 868 名前：１３２人目の素数さん [2018/07/14(土) 03:45:07.12 ID:+LT1qx/t.net]
- >>818
ごめんdrは半径か失礼しました
その前段階で表面積分してるよね？
- 869 名前：１３２人目の素数さん [2018/07/14(土) 05:21:45.18 ID:kfXPO9Dw.net]
- >>817
漸化式も使わないではできない？
- 870 名前：１３２人目の素数さん [2018/07/14(土) 05:23:31.56 ID:kfXPO9Dw.net]
- >>817
使ってないか失礼
- 871 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/14(土) 09:09:04.02 ID:MrcE29He.net]
- △ABCはAB=3,BC=4,CA=5を満たすとする。
△ABCの外接円をO、内接円をIとする。
異なる3点P,Q,RがO上をPQ,PRがIと接するようにうごくとき、直線QRが通過しない部分の面積を求めよ。
- 872 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/14(土) 14:38:08.75 ID:2fMgdkQ3.net]
- >>773
5/8 と
- 873 名前：出た。自信は無い。
概略を書くと、
α=√(1+√(-5)), β=√(1-√(-5)) とおく。
f(x) の Q 上の最小分解体は L:=Q(α,β)
Gal(L/Q) は位数 8 の二面体群 D_8 に同型。
σ, τ∈Gal(L/Q) をそれぞれ
σ(α)=β,σ(β)=-α
τ(α)=β,τ(β)=α
を満たすものとする。
D_8 の既約表現は 5 つ。それらを ρ_0,...,ρ_4 とする。ただし ρ_0 は自明な表現。他は省略。
それぞれの表現に対応する指標を x_0,...,x_4 とおく。
有理素数 p に対し、f(x) を mod p で既約多項式に分解すると
(1) 4 つの 1 次式
(2) 2 つの 1 次式と 1 つの 2 次式
(3) 2 つの 2 次式
(4) 1 つの 4 次式
の 4 通りが考えられる。（式の形から (1次式)*(3次式) はあり得ない）
それぞれに対応する Frobenius 共役類は
(1) {id} (2) {στ,σ^3τ} (3) {σ^2} または {τ,σ^2τ} (4) {σ,σ^3}
整数解を持つのは (1),(2) のとき。
よって、類関数 f を
f(ζ)=0 (ζ=id,στ,σ^3τ)
f(ζ)=1 (otherwise)
で定めれば、求める値は
lim[x→∞]Σ[p≦x] f(Fr(pZ))/π(x)
に一致する。なお、分岐する pZ は高々有限個なので無視できる。多分。
f を x_0,...,x_4 で表すと
f=(5x_0+x_1+x_2-3x_3-2x_4)/8
が得られたので、>>792の定理より、求める値は 5/8 [] - [ここ壊れてます]
- 874 名前：イナ mailto:sage [2018/07/14(土) 15:44:20.32 ID:+kVDeoWP.net]
- >>822
△ABCの外接円Oの半径:5/2
△ABCの内接円Iの半径:1
Pが円Oの周上を一回動くときQRは円Iに接しながら円Oの中かつ円Iの外の領域をくまなく動くので、QRが通らない部分は円Iの中と円Oの外である。
(円Iの面積)=π
(円Oの面積)=25π/4
(QRが通る部分の面積)=(円Oの面積)-(円Iの面積)
21π/4
(QRが通らない部分の面積)=∞+π
→∞
- 875 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/14(土) 16:30:00.48 ID:vTy8qTeq.net]
- >>824
ほぼ正解。線分PRではなく直線PRね。
通らない部分は円Iの内部です。
直線QRがIに接して動く事に気付けば２秒で解ける問題でした。
- 876 名前：１３２人目の素数さん [2018/07/14(土) 16:47:55.75 ID:hjCo+mDv.net]
- 難問です.
一般に、環A上の写像φ:A→Aが加法群の準同型であり、Leibniz rule(i.e.,φ(xy)=φ(x)y+xφ(y))を満たす時、φをA上の導分(微分)と云う.
今、A=ℝ[x] (実数体上の一変数多項式環)とする. 此の時、A上の導分φで、φ(ℝ)≠{0}なるものは存在するか？
- 877 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/14(土) 17:15:23.44 ID:vTy8qTeq.net]
- >>826
φ(1) は0ちゃうん？
- 878 名前：１３２人目の素数さん [2018/07/14(土) 18:46:36.87 ID:hjCo+mDv.net]
- ヒントとしては、先ずℝ上の微分を考えて其れを応用します.
- 879 名前：１３２人目の素数さん [2018/07/14(土) 18:47:17.58 ID:hjCo+mDv.net]
- ℚの代数閉包までなら自明だから
- 880 名前：１３２人目の素数さん [2018/07/14(土) 19:07:11.95 ID:hjCo+mDv.net]
- >>827
それはそうw
しかしφは加法群の準同型というだけで環準同型ともℝ-加群の準同型とも限らないのでそれだけでは何も言えないw
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