- 1 名前：１３２人目の素数さん [2018/02/19(月) 00:21:10.33 ID:uzLAXv/z.net]
- 過去ログ
www3.tokai.or.jp/meta/gokudo-/omoshi-log/
まとめwiki
www6.atwiki.jp/omoshiro2ch/
1 cheese.2ch.net/test/read.cgi/math/970737952/
2 natto.2ch.net/test/read.cgi/math/1004839697/
3 science.2ch.net/test/read.cgi/math/1026218280/
4 science.2ch.net/test/read.cgi/math/1044116042/
5 science.2ch.net/test/read.cgi/math/1049561373/
6 science.2ch.net/test/read.cgi/math/1057551605/
7 science2.2ch.net/test/read.cgi/math/1064941085/
8 science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1074751156/
9 science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1093676103/
10 science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1117474512/
11 science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1134352879/
12 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1157580000/
13 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1183680000/
14 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1209732803/
15 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1231110000/
16 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1254690000/
17 kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1284253640/
18 kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1307923546/
19 uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1320246777/
20 wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1356149858/
21 wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1432255115/
22 rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1464521266/
23 rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1497416499/
24 rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1502016223/
25 rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1502032053/
- 780 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/06(金) 19:16:43.11 ID:jaUkHhY3.net]
- あ、計算間違いした。
>>758は逆三角関数使わないと答え出ないですね。
あまり面白くないかも。
- 781 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/07(土) 00:13:12.37 ID:U4/1+k2M.net]
- >>758撤回します。どえらい値になる。
参考までに
c:(1+√5)/2
としてA(1,0,c), B(c,-1,0),C(c,1,0)は原点が重心の正２０面体のある面の３頂点。
AB,ACを1:2に内分する点をX,YとしてOA,OX,OYと単位球の交点をa,x,yとするとaxyを結ぶ球面三角形△axyは黒い部分の1/100。
∠xay = 2π/5、∠axy = ∠ayx = θとして△axyの面積は2π/5+2θ-π。
あとはθだけど
θ=acos(((sqrt(5)+1)^2/27+(2*((sqrt(5)+1)/2+2))/27)/(sqrt((4*((sqrt(5)+1)/2+2)^2)/81+(4*(sqrt(5)+1)^2)/81)*sqrt((((sqrt(5)+1)*((sqrt(5)+1)/2+2))/6－(sqrt(5)+1)/3)^2+(sqrt(5)+1)^2/36+1/9)))
….orz
- 782 名前：イナ mailto:sage [2018/07/07(土) 02:27:38.43 ID:0Vd5Kb4Y.net]
- >>758
半径1のサッカーボールの表面積は4π･1^2=4π
黒い部分一枚の面積:B
白い部分一枚の面積:W
とおくと、
12B+20W=4π――①
五角形および六角形の一辺をrとすると、
B=r^2･{√(25+10√5)}/4
W=r^2･(3√3)/2
BとWの値を①に代入すると、
3√(25+10√5)r^2+30√3･r^2=4π
r^2=4π/3{√(25+10√5)+10√3}
黒い部分の面積は、
12B=3r^2･{√(25+10√5)}
=4π√(25+10√5)/{√(25+10√5)+10√3}
通分はあるいは必要かと。
- 783 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/07(土) 02:32:14.98 ID:U4/1+k2M.net]
- >>761
何勝手に問題よみかえてんの？球面三角形の面積の出し方わかってる？
- 784 名前：イナ mailto:sage [2018/07/07(土) 03:27:26.25 ID:0Vd5Kb4Y.net]
- 前>>761
=86.4806266/24.2024177
≒3.57322263
黒い部分の面積には丸みがあって、一辺rの正五角形の面積を求めるやり方はおかしいと感じるが、正六角形にも同様に丸みがあり、表面積4πに対する黒い部分と白い部分の割合は球と三十二面体とでそんな変わらないと思う。
- 785 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/07(土) 05:58:50.00 ID:BXrd5bzu.net]
- サッカーボール は多面体か
それとも文字通り球か
題意はどっちよ？
- 786 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/07(土) 06:51:22.31 ID:8oKVVrfK.net]
- 「そんな変わらない」で数学をやられてもなあ。
いい加減数学には向いてないことに気づいて欲しいものだ。
- 787 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/07(土) 08:11:54.48 ID:ny1i6sPl.net]
- 多面体の場合の計算ならこのスレのレベルに合わんでしょ？
ただ球面にすると手計算ではリ～ム～。
- 788 名前：１３２人目の素数さん [2018/07/07(土) 10:32:01.90 ID:nRjTFKp9.net]
- acos((9-r5)/12).
- 789 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/07(土) 10:43:39.52 ID:VCaMax+U.net]
- >>763のトンチンカンぶりを見て、
ずっと昔に某所で球のペーパークラフトを自作しようとしていた
Fラン大学生(本人が紹介ページにそう書いてた)を思い出した。
球を8枚だか16枚だかの同じ形のラグビーボール型のパーツに分解して
それを貼り合わせるという、ごく普通の方式。問題なのは、
そのパーツを自作するときにパーツの算出が全くできてなかったこと。
よく覚えてないが、
「パーツを構成する曲線を厳密に表現しようとしたが、自分の力では難しくて立式できない」
みたいな状況だったはず(この時点で失敗することが確定している)。
- 790 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/07(土) 10:45:47.54 ID:VCaMax+U.net]
- 結局その人は、曲線の算出にある種の近似を使って、その人なりに
何とか計算しようとしていた。そして、出てきた積分を眺めて
「この積分を計算すると球の大円の周長が出てくるはずなのだが、数値計算すると合わない」
みたいなこと言ってた記憶がある。曲線の算出に近似を使ってる時点で、
大円の周長からはズレるに決まってるのだが、その人は理解していない。
また、そのことを俺が指摘しても本人は全く納得せず、
「ここに厳密な積分があるのに、大円の周長に一致しないのが納得いかない」
みたいな感じだった。
君が出した厳密な積分はデタラメな曲線に対する厳密な積分であって、
もともとの大円の曲線に対する厳密な積分ではないだろっていうね。
- 791 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/07(土) 10:48:11.23 ID:VCaMax+U.net]
- で、その近似曲線をもとにしてパーツを自作して貼り合わせたら、
やっぱり球にはならなくて、北極と南極が微妙に尖った、
ラグビーボール型のシロモノになってしまった。本人はそこで
「球になってねーじゃーーーん！」
みたいな愚痴を発して生放送を即座に切っていた。もはやギャグとしか思えない。
学力が低すぎると、自分の意思で選んだ趣味ですら
満足にこなせないんだなって かわいそうになったのを覚えている。
- 792 名前：１３２人目の素数さん [2018/07/07(土) 12:58:04.04 ID:CT2M6a2y.net]
- イナとかいうクソコテも大概だけどグチグチ言ってるやつも相当きめーな
サッカーボールという図形を数学的に厳密に定義してない以上どうとでも解釈出来るだろ
- 793 名前：１３２人目の素数さん [2018/07/07(土) 13:01:21.42 ID:QlJ5hxgi.net]
- >>756
有界閉集合がコンパクトなら完備リーマン多様体
- 794 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/07(土) 13:56:16.14 ID:DOx4W0Fk.net]
- f(x)=x^4-2x^2+6とする。
素数pに対し次の条件(※)を考える。
(※) f(x)≡0 (mod p) は整数解を持たない。
p≦xを満たす素数の数をπ(x)，その中で(※)を満たすものの数をN(x)とする。
lim[x→∞]N(x)/π(x)を求めよ。
- 795 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/08(日) 11:54:50.48 ID:rpQNxWJy.net]
- >>773
f(x) = (xx-1)^2 + 5 だから
(※) (xx-1)^2 ≡ -5 (mod p) は整数解をもたない。
(1) -5が平方非剰余
または
(2) ｛1±√(-5)｝が平方非剰余
(1) 平方剰余の相互法則（と第1補充法則）から
((-5)/p) = ((-1)/p)･(5/p) = (-1)^((p-1)/2)･(p/5)
p≡1 (mod 4) かつ p≡±2 (mod 5)
または
p≡3 (mod 4) かつ p≡±1 (mod 5)
のとき、((-5)/p)=-1 となり、-5 は平方非剰余である。
p=11,13,17,19,31,37,53,59,71,73,79,97,…
(2) はどうするか
p x √(-5)
-----------------------------
p=2 0 1
p=3 0 ±1
p=5 ±1 0
p=7 ±2 ±3
p=23 ±3，±4 ±8
p=29 なし ±13
p=41 ±6 ±6
p=43 ±11，±15 ±9
p=47 なし ±18
p=61 ±9 ±19
p=67 ±11，±22 ±14
p=83 ±5 ±24
p=89 ±44 ±23
p=101 ±37，±42 ±46
p=103 ±24 ±43
- 796 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/08(日) 20:46:41.23 ID:du/lqCAV.net]
- 考えてくれてる人いるので参考までに実際 mod p での解の個数を数えるプログラム組んでみました。
codepad.org/CkKjvyUS
上の方の
#define NPRIMES 3200
#define DEG 4
long coeffs[DEG+1] = {1,0,-2,0,6};
のあたりをいろいろ変えると数値実験できると思います。
この場合の結果は
1998 2 801 0 399
Exited: ExitFailure 10
？？？Exited: ExitFailure 10？？？なにこれ？
C言語よく知らないのでよくわかりませんが、一行目の数値はあっています。
計算量多いのでCでないと苦しいのでやってみましたが素人がやるとだめですね。
対処方法ご存知なら教えて下さい。
次数とか係数とか変えてみるとなんか見えてくるかも。
複２次式からなる４次式は大概これに近い比率になるはずです。
それ以外だと解０個の比率はもう少し減ることが多いはずです。
- 797 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/08(日) 21:01:06.63 ID:du/lqCAV.net]
- わかった！exit(0);で明示的に終わらないとダメみたいですね。
codepad.org/kzgDsy5v
- 798 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/08(日) 23:31:55.79 ID:68ZF08lK.net]
- >>774
7以上の奇素数について
p≡1 (mod 4)，p≡±2 (mod 5) (13,17,37,53,73,97,…)
p≡3 (mod 4)，p≡±1 (mod 5) (11,19,31,59,71,…)
のとき、-5 は平方非剰余
p≡1 (mod 4)，p≡±1 (mod 5) (29,61,89,101,…)
p≡3 (mod 4)，p≡±2 (mod 5) (7,23,67,83,103,…)
のとき、-5 は平方剰余
(1) -5 が平方非剰余となるpの割合は 1/2 に近いかな（?)
(2) {1±√(-5)｝が平方非剰余となるpの割合は？
x π(x) N(x)
-----------------
2 1 1
3 2 2
5 3 3
7 4 4
11 5 4
13 6 4
17 7 4
19 8 4
23 9 5
29 10 5
31 11 5
37 12 5
41 13 6
43 14 7
47 15 7
53 16 7
59 17 7
61 18 8
67 19 9
71 20 9
73 21 9
79 22 9
83 23 10
89 24 11
97 25 11
101 26 12
103 27 13
- 799 名前：１３２人目の素数さん [2018/07/09(月) 15:28:48.27 ID:9xh3iFPU.net]
- ２つほど投稿。前者は息抜き程度、後者は自分ではまだ未解決なのでどなたか一緒に考えていただけたら嬉しいです
(1)qを正の奇数とする。この時、nがどんな整数であっても、qと互いに素な整数a,bを適切に定めることで a+b≡n (mod q) を成り立たせることは可能か。
(2)ユークリッド平面R^2の部分集合Aであって、どんな直線との共通部分も二点集合になるようなものは存在するか。
- 800 名前：１３２人目の素数さん [2018/07/09(月) 19:07:23.34 ID:Al3hwPmB.net]
- >>778 の(2)ですが、有限体で同じことはF_2以外不可能であることが以下の通りわかっています：
A⊂(F_q)^2 が条件を満たすとすると |A|=2qでなければならないから、
Aから異なる二点を選ぶ選び方は q(2q-1) 通り。
一方、(F_q)^2 上の直線は q(q+1) 本。
両者には自然な全単射が存在することから q=2 でなければならない。
- 801 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/10(火) 11:30:55.37 ID:8lYR3TJ8.net]
- >>763
正20面体の外接球の半径Roは
Ro = (1/4)√(10+2√5)･(辺長)
= 0.9510565163・(辺長)
各辺を長さ r：r'：r に3分割して、両側を捨てる。(切頂20面体)
正六角形が残るように３等分すると（r=r')
Ro = 0.9510565163・(2r+r')
= 2.8531695489 r
このときの外接球の半径Rは
R = √{(Ro)^2 -r(r+r')}
= 2.478018659 r
R=1 とおくと r = 0.4035482123
12B = 3√(25+10√5)・rr = 20.6457288 rr ≒ 3.36218088
- 802 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/10(火) 12:22:30.13 ID:8lYR3TJ8.net]
- >>780
フラーレン(Ｃ_60)分子では
r = 0.1455 nm(2)，0.1458 nm，0.1464 nm
r' = 0.1384 nm，0.1385 nm，0.1388 nm(1)，0.1391 nm(2)
R = 0.355 nm
らしい。
(1) J.M.Hawkins et al.: Science, ２５２, p.312-313 (1991)
"Crystal structure of Osmylated C_60：confirmation of the soccer ball framework"
(2) W.F.David et al.: Nature, ３５３, p.147-149 (1991)
"Crystal structure and bonding of ordered C_60"
- 803 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/10(火) 17:28:53.54 ID:9e2HIdsC.net]
- 昔、何かの記事で読んだんだが、何に載っていたのかが思い出せないし、証明も覚えていない。
「素数の累乗で、n ! + k (n, kは自然数) の形に表わせるものが５つだけだったか存在する」
だ
- 804 名前：れか情報を… []
- [ここ壊れてます]
- 805 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/10(火) 17:39:15.40 ID:znafurMV.net]
- nとkに制限ないならなんでもできるやん
2=1!+1
3=1!+2
5=1!+4
‥‥
- 806 名前：１３２人目の素数さん [2018/07/10(火) 18:33:12.92 ID:kWjM72mK.net]
- 簡単な問題設定の割に難しい問題
長さLの一様な重い棒を、鉛直から角θ傾けて倒す。棒が地面に倒れたときの先端の速さを求めよ。
棒の根本は地面との摩擦によって動かないとする。
地面が滑らかな場合はどうか？
- 807 名前：１３２人目の素数さん [2018/07/10(火) 18:41:25.72 ID:okqgU0Wa.net]
- 階乗で検索>階乗 - Wikipedia>ブロカールの問題
- 808 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/10(火) 23:10:21.90 ID:CaZJMDCE.net]
- n^2+n+1は3で割って2余る数を約数としないことを示せ。
- 809 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/11(水) 00:19:16.07 ID:t4/7pAv5.net]
- (m / p) を平方剰余記号として奇素数pに対し
(2n+1)^2+3≡0 (mod p)
⇒(-3 / p) = 1
⇒(p / 3) = 1
⇒p ≡ 1 (mod 3)
- 810 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/11(水) 04:46:20.24 ID:P+BTNckt.net]
- >>786
p=2 に対し
n(n+1) + 1≠ 0 (mod 2)
∴ 2を約数としない。
- 811 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/11(水) 06:42:33.69 ID:P+BTNckt.net]
- >>780
球の中心 ～ 六角形の中心 の距離（垂線の長さ）
{(3+√5)/(4√3)}(2r+r') = 0.794654472291766 Ro
球の中心 ～ 正五角形の中心 の距離（垂線の長さ）
Ro - {1/√(φ√5)}r = Ro - 0.5257311121191336 r,
r'/r = (1/2){√(3 + 6/√5) - 1} = 0.6919817084376
のとき、これらは一致し、
内接球の半径 2.03449563343785 r
- 812 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/11(水) 07:21:29.64 ID:P+BTNckt.net]
- >>784
・根本が動かないとき
(1/2)Iω^2 = (1/2)MgL(cosθ-cosφ),
I は端点のまわりの慣性モーメントで、I = (1/3)ML^2,
v_S = ωL,
v_S(90ﾟ) = √(3gLcosθ),
・地面が滑らかな場合
(1/2)I’ω^2 + (1/2)M(v_G)^2 = (1/2)MgL(cosθ-cosφ),
I’は中心のまわりの慣性モーメントで、I’= (1/12)ML^2
φ=90ﾟのとき、v_S = 2v_G = ωL,
v_S(90ﾟ) = √(3gLcosθ),
- 813 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/11(水) 08:00:21.98 ID:P+BTNckt.net]
- >>780 >>789
r'/r = (1/2){√(3+6/√5) -1} = 0.6919817084376 のとき
内接球の半径 0.794654472291766 Ro
外接球の半径 R = 0.861318645 Ro
比 1.0838907666
- 814 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/11(水) 13:27:42.24 ID:LEvJsMim.net]
- >>773
ヒントです。
というかこれ知らないと多分自力では解けません。
逆にこれ知ってたらあとはチョロチョロ工夫するだけです。
ほんとは以下の定理をさらに発展させた定理もあってそれを使うと一撃で解けるんですが、いい線いってる方針があがっててその方針で進めるなら以下の定理を使うのが筋だと思います。
よかったら挑戦してみて下さい。
-----
Kを代数体、Rをその整数環、vを素イデアル、v∩Z=pZとする。
L/KをGalois拡大、Sをその整数環、wをv=w∩Rを満たすSの素イデアル、F∈Gal((S/w)/(R/v))とする。
このときσ∈Gal(L/K)でσ(v) = vでありσの誘導するGal((S/w)/(R/v))の元がFに一致するものが存在する。
すなわち任意のx∈Sにたいして
σ(x) + w = F(x+w)
を満たすものが存在する。
またL/Kが不分岐のときこのσは唯一存在する。
またw'をv=w'∩Rを満たす他のSの素イデアルとし、同様のσ'を構成するときσとσ'は共役である。
すなわちこの条件をみたすσ∈Gal(L/K)の共役類はvにより一意に定まる。
この共役類をvのFrobenius共役類とよぶ。
-----
Gを有限群とするときGのC値表現ρ:G→GL(n,C)によってtr・ρ:G→Cとかける関数を指標と呼ぶ。
G上の関数fが類関数であるとは同じ共役類に属する元について
- 815 名前：常に等しい値をとる関数とする。
任意の類関数は指標の線形結合として一意にかける。
----
Kを代数体、Oをその整数環、L/Kを有限次Galois拡大とする。
vをL/Kで分岐しない素イデアル、p(v)をv∩Z=p(v)Zを満たす素数、Fr(v)をvのFrobenius共役類、x0を自明指標とする。
f:Gal(L/K)→Cを任意の類関数として、これを
f = Σ[x]c_x x
と分解するとき次が成立する。
lim[x→∞]Σ[p(v)≦x] f(Fr(v))/π(x) = c_x0
とくにfが自明でない指標のときは左辺は0となる。 [] - [ここ壊れてます]
- 816 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/11(水) 13:34:57.73 ID:xru3WaBg.net]
- >>792
π(x) = #{v | p(v) ≦ x }
です。
- 817 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/11(水) 13:58:00.78 ID:VOQaSRny.net]
- イメージしやすいように例を
K = Q、L=K(i)のときR=Z、S=Z[i]、Gal(L/K)={id,σ}
である。(ただしσは複素共役をとる写像でσ(i) = -i。)
――
v=3Rのとき
w=3Sとなる。
このとき
F(i + w) = i^3 + w = -i + w。
故にこのときはFr(v) = σ。
v=5Rのとき
w=(2+i)Sもしくは(2-i)Sのいずれか。
いずれにせよ、このとき
F(i + w) = i^5 + w = i + w。
故にこのときはFr(v) = id。
――
この例では Fr(v) = id ⇔ p(v)≡1 (mod 4) となります。(L/Qがアーベル拡大ならこのようにp(v)のmod ××の類で定まります。)
- 818 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/11(水) 19:42:36.04 ID:zWguNjBa.net]
- >>778
(2) は、
ttps://cybozushiki.cybozu.co.jp/articles/m000434.html
の中で全く同じ問題についての記述がある(解答そのものが載っているわけではない)。
記事によると、超限帰納法によって構成的に描けるとあるが、実際には
選択公理＆超限帰納法 あるいは 選択公理＆超限再帰 のテクニックのことを
指していると思われる。
こちらでやってみたところ、確かに構成できたが、濃度・整列集合に関する
マニアックな知識が必要な上に、きちんと書くと面倒くさい。
しかも、超限再帰の知識が無い人には証明が理解できない。
超限再帰のかわりにツォルンの補題で書き直した証明も出来たが、
結局は濃度・整列集合に関するマニアックな知識が必要で
やることがほとんど同じで面倒くさかった。
選択公理を使わずに構成できるかは知らない。
- 819 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/11(水) 23:13:11.73 ID:t4/7pAv5.net]
- なるほど、超限帰納法使うとできるね。
まぁマニアックかな？
全ての直線を連続体濃度の基数でラベルしといてあるラベル番目の直線の番が回ってきたときその直線より前の直線は高々連続体濃度未満しか無い事を利用するのね。
なるほど。
言われたらわかるんだけどなぁ。
- 820 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/12(木) 01:18:11.20 ID:huavq4lx.net]
- >>792
F はフロベニウス写像？
- 821 名前：778 mailto:sage [2018/07/12(木) 02:22:48.22 ID:/Z2aWdzi.net]
- >>795 >>796
ありがとうごさいます。やはり選択公理が必要になりそうなんですね…
まだ自分では示せていないので、>>796をヒントにして考えてみようと思います。
有理数体のような可算無限な体で同様のことができるかどうかも気になっているのですが、同じ手法で示せるのでしょうか？
- 822 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/12(木) 03:07:48.58 ID:cnnq5teh.net]
- >>798
できる
- 823 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/12(木) 12:42:01.87 ID:/doAfL4Z.net]
- >>797
Yes!
- 824 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/12(木) 13:45:35.27 ID:j/yfJD6O.net]
- >>800
了解
ちょっと考えてみよう
あと>>792のことが載ってる文献とかある？
- 825 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/12(木) 16:26:03.85 ID:sQqagqbK.net]
- >>792
森田先生の東大出版の整数論とか
加藤先生の岩波出版の整数論Iとかには載ってると思う。
ただしどっちも証明完全にはのって�
- 826 名前：ﾈかった希ガス。
確実に証明まで含めてのってるのは
Lang の Algebraic number theory。
池原 Winner Landau の定理を使う証明で若干妙な証明だけどのってます。
まぁ森田先生のはLangの訳本に近い。
間違ってるとこもそのままちゃんと間違ってますwww [] - [ここ壊れてます]
- 827 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/12(木) 18:36:36.53 ID:2xf9EIWs.net]
- Σ[k=2 to n-1] n!/(n-k)! + n! の値を求めよ
- 828 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/12(木) 19:51:18.89 ID:L192+njn.net]
- >>803
これはムズい。見たことない。答え！とか出てくる？
- 829 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/12(木) 20:33:04.82 ID:sQqagqbK.net]
- てか
n!(1/(n-2)! + 1/(n-3)! + ... + 1/1! + 1)
=n!(1/0! + 1/1! + ... + 1/(n-2)!)
こんなんもたまらん希ガス。
- 830 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/12(木) 20:34:18.22 ID:uedcuzUI.net]
- 二項定理で微分してみる？
- 831 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/12(木) 20:57:58.27 ID:xzK6jvxq.net]
- >>805
+n!が完全蛇足になるとおかしいから分母にくるでしょ
- 832 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/12(木) 21:36:53.55 ID:Os9QSTcU.net]
- >>807
分母なんぞに来た日には目も当てられんやん。
- 833 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/12(木) 22:12:02.43 ID:Os9QSTcU.net]
- >>803 >>807
分母でやってみた
codepad.org/itx6rWET
6 % 7
612 % 325
453800 % 155001
3861634830 % 976314031
481961256261492 % 96969788815873
1054761729394054912664 % 176420776601977522329
9379220392541459116676859552 % 1342977541299460819153297325
6871627232977971685604791983162107670 % 860310167933842952793421619070619213
なんのルールも見えん。
ほんまに解けんのこれ？？？？
- 834 名前：１３２人目の素数さん [2018/07/12(木) 22:15:25.17 ID:FNY0485u.net]
- >>803
ガウス記号使えるなら [e･n!]-n-1 という表示は可能だけど、もしかしてこれが答え？
- 835 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/12(木) 22:46:37.28 ID:sQqagqbK.net]
- >>810
それか！
- 836 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/13(金) 00:27:41.14 ID:3AgF2Wt2.net]
- >>802
サンクス
>>773はのんびり考え中
- 837 名前：778 [2018/07/13(金) 00:58:20.39 ID:J3lC7G1w.net]
- >>778 (2)ですが自己解決しました。ヒントくださった方ありがとうございました。
- 838 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/13(金) 12:00:38.73 ID:btBhB1qs.net]
- >>803
元ネタは、たまたま書庫で見た数学セミナーの連載記事 「算私語録」 で、答えは書いてなかったのだ。
続けたまえ！
- 839 名前：１３２人目の素数さん [2018/07/13(金) 14:19:55.91 ID:j1khqgOs.net]
- ハゲのくせになまいきだぞ
- 840 名前：１３２人目の素数さん [2018/07/14(土) 00:32:30.12 ID:kfXPO9Dw.net]
- 半径1のn次元球D^nの体積はπ^[n/2]/(n/2)!
ただし半整数の階乗は1ずつ減らして1/2までの積
これを帰納法使わず証明して欲しい
- 841 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/14(土) 02:32:04.17 ID:5VRLgysv.net]
- >>816
半径rのn次元球の体積を Vn*r^nとすると、
n次元球の表面積は、n*Vn*r^(n-1) となる事を利用して、
次の積分は、Vnを使って、下のように書くことができる。
I_n=∫・・・∫exp[-(x1^2+x2^2+...+xn^2)]dx1・・・dxn ; n次元空間全体での積分
=∫[0,∞]exp[-r^2] n*Vn*r^(n-1)dr
=(n/2)*Vn*∫[0,∞]exp[-y] y^((n/2)-1)dy
=(n/2)*Vn*Γ(n/2)
一方、I_n=(I_1)^n={∫[-∞,∞]exp(-x^2)dx}^n=(√π)^n なので
Vn=π^(n/2)/Γ(n/2+1)
あとはnの偶奇で分け、独自の階乗記号�
- 842 名前：gって書き下せば完了 []
- [ここ壊れてます]
- 843 名前：１３２人目の素数さん [2018/07/14(土) 03:43:23.92 ID:+LT1qx/t.net]
- >>817
この証明のdrって面積素、つまりはハウスドルフ測度のことだよね？だとしたらハウスドルフ測度の定義にはn次元球の体積が必要だから循環論法になるんじゃないの？
- 844 名前：１３２人目の素数さん [2018/07/14(土) 03:45:07.12 ID:+LT1qx/t.net]
- >>818
ごめんdrは半径か失礼しました
その前段階で表面積分してるよね？
- 845 名前：１３２人目の素数さん [2018/07/14(土) 05:21:45.18 ID:kfXPO9Dw.net]
- >>817
漸化式も使わないではできない？
- 846 名前：１３２人目の素数さん [2018/07/14(土) 05:23:31.56 ID:kfXPO9Dw.net]
- >>817
使ってないか失礼
- 847 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/14(土) 09:09:04.02 ID:MrcE29He.net]
- △ABCはAB=3,BC=4,CA=5を満たすとする。
△ABCの外接円をO、内接円をIとする。
異なる3点P,Q,RがO上をPQ,PRがIと接するようにうごくとき、直線QRが通過しない部分の面積を求めよ。
- 848 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/14(土) 14:38:08.75 ID:2fMgdkQ3.net]
- >>773
5/8 と出た。自信は無い。
概略を書くと、
α=√(1+√(-5)), β=√(1-√(-5)) とおく。
f(x) の Q 上の最小分解体は L:=Q(α,β)
Gal(L/Q) は位数 8 の二面体群 D_8 に同型。
σ, τ∈Gal(L/Q) をそれぞれ
σ(α)=β,σ(β)=-α
τ(α)=β,τ(β)=α
を満たすものとする。
D_8 の既約表現は 5 つ。それらを ρ_0,...,ρ_4 とする。ただし ρ_0 は自明な表現。他は省略。
それぞれの表現に対応する指標を x_0,...,x_4 とおく。
有理素数 p に対し、f(x) を mod p で既約多項式に分解すると
(1) 4 つの 1 次式
(2) 2 つの 1 次式と 1 つの 2 次式
(3) 2 つの 2 次式
(4) 1 つの 4 次式
の 4 通りが考えられる。（式の形から (1次式)*(3次式) はあり得ない）
それぞれに対応する Frobenius 共役類は
(1) {id} (2) {στ,σ^3τ} (3) {σ^2} または {τ,σ^2τ} (4) {σ,σ^3}
整数解を持つのは (1),(2) のとき。
よって、類関数 f を
f(ζ)=0 (ζ=id,στ,σ^3τ)
f(ζ)=1 (otherwise)
で定めれば、求める値は
lim[x→∞]Σ[p≦x] f(Fr(pZ))/π(x)
に一致する。なお、分岐する pZ は高々有限個なので無視できる。多分。
f を x_0,...,x_4 で表すと
f=(5x_0+x_1+x_2-3x_3-2x_4)/8
が得られたので、>>792の定理より、求める値は 5/8
- 849 名前：イナ mailto:sage [2018/07/14(土) 15:44:20.32 ID:+kVDeoWP.net]
- >>822
△ABCの外接円Oの半径:5/2
△ABCの内接円Iの半径:1
Pが円Oの周上を一回動くときQRは円Iに接しながら円Oの中かつ円Iの外の領域をくまなく動くので、QRが通らない部分は円Iの中と円Oの外である。
(円Iの面積)=π
(円Oの面積)=25π/4
(QRが通る部分の面積)=(円Oの面積)-(円Iの面積)
21π/4
(QRが通らない部分の面積)=∞+π
→∞
- 850 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/14(土) 16:30:00.48 ID:vTy8qTeq.net]
- >>824
ほぼ正解。線分PRではなく直線PRね。
通らない部分は円Iの内部です。
直線QRがIに接して動く事に気付けば２秒で解ける問題でした。
- 851 名前：１３２人目の素数さん [2018/07/14(土) 16:47:55.75 ID:hjCo+mDv.net]
- 難問です.
一般に、環A上の写像φ:A→Aが加法群の準同型であり、Leibniz rule(i.e.,φ(xy)=φ(x)y+xφ(y))を満たす時、φをA上の導分(微分)と云う.
今、A=ℝ[x] (実数体上の一変数多項式環)とする. 此の時、A上の導分φで、φ(ℝ)≠{0}なるものは存在するか？
- 852 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/14(土) 17:15:23.44 ID:vTy8qTeq.net]
- >>826
φ(1) は0ちゃうん？
- 853 名前：１３２人目の素数さん [2018/07/14(土) 18:46:36.87 ID:hjCo+mDv.net]
- ヒント�
- 854 名前：ﾆしては、先ずℝ上の微分を考えて其れを応用します. []
- [ここ壊れてます]
- 855 名前：１３２人目の素数さん [2018/07/14(土) 18:47:17.58 ID:hjCo+mDv.net]
- ℚの代数閉包までなら自明だから
- 856 名前：１３２人目の素数さん [2018/07/14(土) 19:07:11.95 ID:hjCo+mDv.net]
- >>827
それはそうw
しかしφは加法群の準同型というだけで環準同型ともℝ-加群の準同型とも限らないのでそれだけでは何も言えないw
- 857 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/14(土) 21:23:25.61 ID:SCz7cUJu.net]
- Kを微分体とします(標数0)
K(x)をその純超越拡大とします
a∈K(x)を固定します
Kの導分DがK(x)上の導分でD(x)=aを満たすように一意拡張されますよね？
- 858 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/14(土) 21:46:51.85 ID:vPo4n2qv.net]
- >>830
ああ、R射であることは要求されてないのね。
一般論はよくしらないけど以下の議論でGrand Field Kは標数0として
― 補題 ―
L/M/Kが拡大体、Mは超越拡大M = K(α)、φ:K→Lが導分のとき任意のx∈Lにたいしてφはφ(α) = xをみたす導分:M→Lに拡張される。
(∵) Σp_iα^i ∈ K[α]に対しては、φ(Σp_iα^i) = Σ( φ(p_i) α^i + i p_i α^(i-1) x ) 定め、p(α),q(α)∈ K[α]に対しては
φ(p(α)/q(α)) = (φ(p(α))q(α) - p(α)φ(q(α)/q(α))) / q(α)^2と定めればよい。
以下煩雑であるが初頭的ゆえ略。
― 補題 ―
L/M/Kが拡大体、Mは単項代数拡大M = K(α)、φ:K→Lが導分のとき任意のx∈Lにたいしてφはφ(α) = xをみたす導分:M→Lに拡張される。
(∵) F(x_0,x_1,…,x_n) ∈ K(x_0,x_1,…,x_n)とβ_1,…,β_nをF(x,β_1,…,β_n)がαの最小多項式となるようにとる。∂F/∂x_i = Fiとして
φ(α) = - ΣF_i(α,β_1,…,β_n)φ(β_i)/F_0(α,β_1,…,β_n)と定めれば良い.
以下煩雑であるが初頭的ゆえ略。
で結局
― 補題 ―
任意の導分 K→L は L→L に拡張される。
からQ[x] → Q[x] ⊂ R ⊂ R(x)の導分φをφ(x)≠0となるように定めておいてからR(x)まで拡張すればよい。
煩雑な計算を回避する方法がありそうでなさそうで………
- 859 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/14(土) 22:14:40.55 ID:vPo4n2qv.net]
- >>823
すばらしい！正解！(ホントいうと f の展開のとこチェックしてませんが信じます。)
まさに期待通りの解答です！！
ちなみに>>792のヒントは>>774さんや>>777さんのカキコをみて後付けで思いついて作ったものです。
後日こちらが用意した解答もあげようと思いますけど……いや、すごい！！！
- 860 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/14(土) 22:28:26.61 ID:SCz7cUJu.net]
- >>828
わざわざAを設定したからにはそれ使って示すことを想定してるんかな
ちょい気になるから書いて
- 861 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/15(日) 00:06:50.68 ID:q2k7b01c.net]
- 書きたまえ
- 862 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/15(日) 02:16:45.42 ID:8ME/vsb7.net]
- 今日のことわざ
Ground Field にチャンスは落ちてない。
チャンスは Pitch に落ちている。それを全力で探そう。
- 863 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/15(日) 09:14:23.66 ID:DcTFeZo6.net]
- >>833
お、あってたか。良かった。
>>777の結果が 5/8 にあまり近くなかったのが不安で……
こちらも勉強になった。
ちょうど自分の知識の少し先って感じだったんで楽しかった。
答えを出してから気づいたんだけど、直感的に考えて
-5 が平方非剰余…1/2 の割合
-5 が平方剰余かつ 1+√(-5), 1-√(-5) が共に平方非剰余…1/8 の割合
で、合わせて 5/8 っていう結果と一致するのね。
f の展開をチェックをしてないってことは、元々の解答では f の展開を使わないってことですかね。
楽しみです。
- 864 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/15(日) 23:39:30.12 ID:0Uh0l9mr.net]
- >>837
もうすでに解答が出てるのであれなんですが参考までに用意していた解答を紹介します。
一般にGal(L/K)の部分集合Sとその特性関数(すなわち
- 865 名前：f(x) = 1 iff x∈S,f(x) = 0 otherwise)についてf(x)が類関数であるものを取ります。
d = lim[x→∞] #{ p ≦x | Fr(p) ∈ S}
を計算したい、もちろんそれは>>792をみとめれば
f = Σ[x]c_x x
と展開するときのc_x0です。
ここで有限群の表現論から一般の類関数 f について得られる結果
c_x = (f,x) = 1/#G Σ[σ∈G] f(σ)x^(σ) (x^ はxの複素共役による指標)
(http://gauss.ms.u-tokyo.ac.jp/lecture/algebra3/representation-theory.pdf)
を用いれば今のfについては
c_x0 = (f,x0) = 1/#G Σ[σ∈G] f(σ)x0^(σ) = #S/#G
が得られます。結局この設定のもとにおいては
----定理( チェボタレフの密度定理)----
lim[x→∞] #{ p ≦x | Fr(p) ∈ S} = #S/#G
https://en.wikipedia.org/wiki/Chebotarev%27s_density_theorem
が得られます。
本文においてはGal(L/K) = D4、(4つの解への作用は４次２面体の４頂点に対するそれと同じ)
Z/pZで解がない⇔Fr(p) ∈ {(1234),(4321),(13)(24),(12)(34),(14)(23)} (= Sとおく）
なので結局
lim[x→∞] #{ p ≦x | Fr(p) ∈ S} = #S/#D4 = 5/8
となります。
別の例f(x) = x^4 - 2x+6の場合にするとガロア群はS_4で
解０個⇔Fr(p) ∈ {(1234)...} ← 9個
解１個⇔Fr(p) ∈ {(123)...} ← ８個
解２個⇔Fr(p) ∈ {(12)...} ← 6個
解４個⇔Fr(p) ∈ {e} ← 1個
なのでmod pで解を０個、１個、２個、４個もつ比率は
9:8:6:1
となります。
http://codepad.org/c9fnjakx [] - [ここ壊れてます]
- 866 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/15(日) 23:43:37.83 ID:J7bEvDWH.net]
- >>816
半径rのn次元球の体積を Vn*r^nとすると、
n次元球の表面積は、n*Vn*r^(n-1) となる事を利用して、
次の積分は、Vnを使って、下のように書くことができる。
I_n=∫・・・∫exp[-(x1^2+x2^2+...+xn^2)]dx1・・・dxn ; n次元空間全体での積分
=∫[0,∞]exp[-r^2] n*Vn*r^(n-1)dr
=(n/2)*Vn*∫[0,∞]exp[-y] y^((n/2)-1)dy
=(n/2)*Vn*Γ(n/2)
一方、I_n=(I_1)^n={∫[-∞,∞]exp(-x^2)dx}^n=(√π)^n なので
Vn=π^(n/2)/Γ(n/2+1)
あとはnの偶奇で分け、独自の階乗記号を使って書き下せば完了
- 867 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/16(月) 22:42:48.81 ID:MFtB88ty.net]
- >>838
乙です。
またゆっくり読もうと思います。
- 868 名前：１３２人目の素数さん [2018/07/17(火) 07:36:12.46 ID:Aegngsr/.net]
- >>839
Γ(n/2+1)の値を求めるのに漸化式使うんでなくて？
- 869 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/17(火) 08:14:11.22 ID:8QchSL46.net]
- 問題文読んでから発言してね
- 870 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/17(火) 10:48:14.93 ID:6M1FJ0j2.net]
- 1はできましたが誘導がわかりません A,B,CがD,E,Fに対応しているのはわかりますが
https://i.imgur.com/Ehih0jr.jpg
- 871 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/17(火) 22:02:28.41 ID:qLE42k1Y.net]
- Peter Winklerのパズル本より
――
３つの非負整数の組(a,b,c)に対して次の操作を考える。
(※) (a,b,c)から２つの数 (x,y) (x≧y)を選び、その２数を(x-y,2y)に置き換える。
この操作を何回か繰り返すことにより３数のいずれかを0にできることを示せ。
――
- 872 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/18(水) 15:15:11.43 ID:6M2SJbed.net]
- >>844
任意の自然数nは、正の奇数aと非負整数bを用いてn=a*2^bの形でただ１通りに表せる。
このとき自然数nについての関数fをf(n)=bと定義する。
また、問題で与えられた操作を以下操作Xと呼ぶ。
非負整数の組(a,b,c)に対し操作Xを施してもa+b+cの値は不変であるので、
その値をSとおく。
証明の基本方針：まず以下の命題１，２を示す
命題１
a,b,cがいずれも0でないとき、
min(f(a),f(b),f(c))＜f(S)ならば、
操作Xを有限回数繰り返したものを(A,B,C)として
A,B,Cのいずれかを0とするか、min(f(A),f(B),f(C))=f(S)とすることができる。
命題２
a,b,cがいずれも0でなく、
f(a),f(b),f(c)を小さい方から順に並べたものをm,n,lとしてm=f(S)のとき、
操作Xを有限回数繰り返したものを(A,B,C)として
A,B,Cのいずれかを0とするか、
f(A),f(B),f(C)を小さい方から順に並べたものをM,N,LとしてM=f(S)かつN＞nとすることができる。
ここで、S≠0のとき、2^k≦S＜2^(k+1)を満たす非負整数kを考えて、
ある(a,b,c)に対し操作Xを繰り返して3数のいずれかを0にすることができないと仮
- 873 名前：定すると、
命題１，２より，(a,b,c)に対して操作Xを有限回数繰り返したものを(A,B,C)とし、
f(A),f(B),f(C)を小さい方から順に並べたものをM,N,LとしてN＞kとすることができる。
このときA,B,Cのうちの１つxが x＞Sを満たすこととなり、矛盾。
よって、仮定は誤りであり、
ある(a,b,c)に対し操作Xを繰り返して3数のいずれかを0にすることができる。
以下、命題１，命題２を証明する。 [] - [ここ壊れてます]
- 874 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/18(水) 15:56:29.33 ID:6M2SJbed.net]
- >>844
>>845の続き
命題１の証明
以下、a,b,cはいずれも0でなく、(a,b,c)に操作Xを有限回数繰り返しても0は
出現しないものとする。
f(S)=sとおく。
(x,y,z)は(a,b,c)を並べ替えたもので、f(x)≦f(y)≦f(z)、(m,n,l)=(f(x),f(y),f(z))とすると
p,q,rを奇数として
S=p*2^m + q*2^n + r*2^l = (p+q*2^(n-m)+r*2^(l-m))*2^m
ここで、m＜sのとき
m＜nとすると、p+q*2^(n-m)+r*2^(l-m)は奇数なのでf(S)=mとなり、矛盾
m=n=lとしても、やはりp+q*2^(n-m)+r*2^(l-m)は奇数なので矛盾。
よって、m＜sならば必ずm=n＜lとなる。
このとき、x,yを大きい方からx',y'とおくと、
f(x'-y')≧m+1，f(2y')=m+1となるので、
(a,b,c)を１回の操作Xにより(x'-y',2y',z)を並べ替えたものにすることができて、
このときmin(f(x'-y'),f(2y'),f(z))=m+1
このような操作を繰り返すことで、
min(f(a),f(b),f(c))＜sのとき、操作Xをs-min(f(a),f(b),f(c))回繰り返すことで、
操作後の組(A,B,C)についてmin(f(A),f(B),f(C))=sとすることができる。
以上より、操作の途中で0が出現するケースも含め、命題１が示された。
- 875 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/18(水) 17:17:13.64 ID:6M2SJbed.net]
- >>844
>>845，>>846の続き
補題３
非負整数の非順序対{a,b}について、操作ＹをＹ:{a,b}→{|a-b|,2*min(a,b)}とする。
いま、a,bがいずれも0でなく、M=min(f(a),f(b))，N=max(f(a),f(b))として
N≧M+2とすると、
{a,b}に操作Ｙを有限回施したものを{A,B}として、
min(f(A),f(B))=Mかつmax(f(A),f(B))=N-1とすることができる。
証明：Ｙ：{a,b}→{A,B}として、
a,bがともに0でなく、f(a)≠f(b)、min(f(a),f(b))=mのとき、
A,Bもともに0でなく、f(A)≠f(B)、min(f(A),f(B))=mとなることは容易に示される（略）。
よって、a,bがともに0でなく、f(a)≠f(b)、min(f(a),f(b))=mとなるような{a,b}から始めて、
操作Ｙにより、同じ条件を満たす非負整数の非順序対の列を無限に続けることができる。
一方、操作Ｙは２つの非負整数の和を変えないので、そのような非負整数の非順序対は
有限個しか存在しない。したがって、その列は必ず循環する。
ここで、a,bがともに0でなく、f(a)≠f(b)であるような非負整数の非順序対について、
操作Ｚを、以下のように定義する。
a,bを並べ替えたものをx,yとし、f(x)＜f(y)とするとき、Ｚ:{a,b}→{y/2，y/2+x}
このとき、
f(y)≧f(x)+2のとき、f(y/2)=f(y)-1，f(y/2+x)=f(x)より、f(y/2)＞f(y/2+x)=f(x)であり、
f(y)=f(x)+1のとき、f(y/2)=f(x)，f(y/2+x)≧f(x)+1より、f(y/2+x)＞f(y/2)=f(x)となるので、
明らかに操作Ｚは、a,bがともに0でなく、f(a)≠f(b)であるような非負整数の非順序対
の中で閉じた操作Ｙの逆操作となる。
逆操作が存在するため、前述の{a,b}から始まる無限列はその途中のどこから見ても
逆順に辿って出発点まで遡ることができ、循環節には必ず{a,b}が含まれる。
ここで、補題の設定の{a,b}について、Ｚ：{a,b}→{A,B}とすると、{A,B}は{a,b}から始まる
操作Ｙによる無限列の循環節に含まれることになるので、{a,b}から有限回の操作Ｙで
{A,B}にすることができる。このとき，明らかにmin(f(A),f(B))=Mかつmax(f(A),f(B))=N-1を
満たすので、補題３は成立する。
- 876 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/18(水) 17:44:07.41 ID:6M2SJbed.net]
- >>844
>>845，>>846，>>847の続き
命題２の証明
f(S)=sとおく。
(x,y,z)は(a,b,c)を並べ替えたもので、f(x)≦f(y)≦f(z)、(m,n,l)=(f(x),f(y),f(z))とする。
m=sのとき、s=m＜n≦lまたはs=m=n=lのいずれかとなる。
s=m＜n=lまたはs=m=n=lのとき、
(a,b,c)から１回の操作Ｘで(x,|y-z|,2*min(y,z))とすることができ、
このとき、|y-z|=0となるか、
f(x)=m=s，f(|y-z|)≧n+1＞n，2*min(y,z)=n+1＞nとなる。
s=m＜n＜lのとき、補題３より
{x,z}に対して操作Ｙを有限回繰り返すことで
f(x')=f(x)=m，f(z')=f(z)-1=l-1とすることができる、
すなわち、(a,b,c)に対して操作Ｘを有限回繰り返すことで
f(x')=m，f(y)=n，f(z')=l-1となる(x',y,z')を並べ替えたものにすることができる。
さらに、それを繰り返すことで、
f(x'')=m，f(y)=f(z'')=nとなる(x'',y,z'')を並べ替えたものにすることができる。
そこからさらに１回の操作で(x'',|y-z''|,2*min(y,z''))とすることができ、
このとき、|y-z''|=0となるか、
f(x'')=m=s，f(|y-z''|)≧n+1＞n，2*min(y,z'')=n+1＞nとなる。
以上より、命題２は示された。
- 877 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/18(水) 22:16:47.18 ID:6M2SJbed.net]
- 手順としては
(1) まずmin(f(a),f(b),f(c))=sとなるまで、fの値の小さい2つを対象に操作Ｘを行う
(2) min(f(a),f(b),f(c))=sとなったら、fの値の大きい方から
- 878 名前：2つが一致してない場合は
fの値の一番大きいものと一番小さいものを対象に
fの値の大きい方から2つが一致するまで操作Ｘを繰り返す。
(3) fの値の大きい方から2つが一致していたら、
その2つを対象に操作Ｘを行う。この結果fの値の上から2番目が1増える。
(4) (2)(3)を繰り返す
この流れのどこかで、必ずa,b,cのいずれかが0になる。
たとえば、
(a,b,c)=(13,42,69)からスタートする。このとき
[f(a),f(b),f(c)]=[0,1,0]であり、
S=a+b+c=124、s=f(S)=2
手順(1)
(13,42,69)[0,1,0]
→(26,42,56)[1,1,3]
→(52,16,56)[2,4,3]
手順(2)
→(36,32,56)[2,5,3]
→(4,64,56)[2,6,3]
→(8,60,56)[3,2,3]
手順(3)
→(16,60,48)[4,2,4]
手順(3)
→(32,60,32)[5,2,5]
手順(3)
→(64,60,0)[6,2,-] [] - [ここ壊れてます]
- 879 名前：１３２人目の素数さん [2018/07/18(水) 23:06:36.41 ID:s/ikFyeC.net]
- パズル本だからもっとシンプルな証明があるんじゃないの？
- 880 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/07/18(水) 23:55:04.71 ID:0gAQHTX9.net]
- うむ、そうだな
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