- 1 名前：１３２人目の素数さん [2018/02/19(月) 00:21:10.33 ID:uzLAXv/z.net]
- 過去ログ
www3.tokai.or.jp/meta/gokudo-/omoshi-log/
まとめwiki
www6.atwiki.jp/omoshiro2ch/
1 cheese.2ch.net/test/read.cgi/math/970737952/
2 natto.2ch.net/test/read.cgi/math/1004839697/
3 science.2ch.net/test/read.cgi/math/1026218280/
4 science.2ch.net/test/read.cgi/math/1044116042/
5 science.2ch.net/test/read.cgi/math/1049561373/
6 science.2ch.net/test/read.cgi/math/1057551605/
7 science2.2ch.net/test/read.cgi/math/1064941085/
8 science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1074751156/
9 science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1093676103/
10 science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1117474512/
11 science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1134352879/
12 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1157580000/
13 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1183680000/
14 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1209732803/
15 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1231110000/
16 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1254690000/
17 kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1284253640/
18 kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1307923546/
19 uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1320246777/
20 wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1356149858/
21 wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1432255115/
22 rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1464521266/
23 rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1497416499/
24 rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1502016223/
25 rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1502032053/
- 280 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/04/22(日) 11:30:13.38 ID:7rjXNdwL.net]
- >>268 >>271
1 - ζ(2)/2 - 1/n = 1 - ππ/12 - 1/n = 0.17753296657588678 - 1/n
- 281 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/04/22(日) 19:06:49.87 ID:XmgrwCPE.net]
- >>268
(1/n^2)Σ[k=1,n]n%k
=(1/n^2)Σ[t=1,m]Σ[k: t≦(n/k)<t+1](n-tk) + O(1/m)
=(1/n^2)Σ[t=1,m] ( n･(n/t-n/(t+1)) - t･((n/t)^2-(n/(t+1))^2)/2 + O(n) ) +O(1/m)
=-Σ[t=1,m](2t+1)/(2t(t+1)^2) +1+O(m/n)+O(1/m)
=-(1/2)Σ[t=1,m]1/(t+1)^2+1/(t(t+1)) +1+O(1/√n) (m=[√n]と定めた時)
→1-(π^2)/12 (n→∞の時)
- 282 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/04/22(日) 23:03:16.50 ID:P1+U9/oN.net]
- a[0]=1, a[n+1]=a[n]+√(1+a[n]^2) とするとき lim[n→∞]a[n]/2^n を求めよ
- 283 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/04/23(月) 09:05:17.63 ID:WRc1u9WC.net]
- >>268
この問題の系として
自然数mの正約数の総和をS_mとするとき
lim[n→∞](S_1+S_2+...+S_n)/n^2＝(π^2)/12
になると言えますが、初等的に(高校数学で)証明するやり方はありますか？
- 284 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/04/23(月) 10:14:07.56 ID:csHJcyqY.net]
- >>275
cot(θ/2) = (cosθ +1)/(sinθ +0) = cotθ + 1/sinθ = cotθ + √{1+(cotθ)^2},
と漸化式を見比べて
a[n] = cot(c/2^n)
= cot{π/2^(n+2)}, ｛←a[0] = cot(π/4)｝
∴求める極限は 4/π
- 285 名前：￥ mailto:sage [2018/04/23(月) 14:00:11.33 ID:HBynUzNE.net]
- ￥
- 286 名前：￥ mailto:sage [2018/04/23(月) 14:00:31.07 ID:HBynUzNE.net]
- ￥
- 287 名前：￥ mailto:sage [2018/04/23(月) 14:00:52.33 ID:HBynUzNE.net]
- ￥
- 288 名前：￥ mailto:sage [2018/04/23(月) 14:01:12.19 ID:HBynUzNE.net]
- ￥
- 289 名前：￥ mailto:sage [2018/04/23(月) 14:01:32.24 ID:HBynUzNE.net]
- ￥
- 290 名前：￥ mailto:sage [2018/04/23(月) 14:01:53.13 ID:HBynUzNE.net]
- ￥
- 291 名前：￥ mailto:sage [2018/04/23(月) 14:02:13.77 ID:HBynUzNE.net]
- ￥
- 292 名前：￥ mailto:sage [2018/04/23(月) 14:02:34.01 ID:HBynUzNE.net]
- ￥
- 293 名前：￥ mailto:sage [2018/04/23(月) 14:02:55.93 ID:HBynUzNE.net]
- ￥
- 294 名前：￥ mailto:sage [2018/04/23(月) 14:03:14.91 ID:HBynUzNE.net]
- ￥
- 295 名前：１３２人目の素数さん [2018/04/24(火) 13:22:19.46 ID:imaaXaqT.net]
- 単位正方形の面積を3等分する曲線(分岐あり)の長さの最小値を求めよ
- 296 名前： mailto:sage [2018/04/25(水) 00:12:48.01 ID:Y0UXfQnX.net]
- >>288√3じゃないかな？
- 297 名前：１３２人目の素数さん [2018/04/25(水) 00:17:03.92 ID:s9HOMEtU.net]
- >>289
不正解です
もっと短く出来ます
- 298 名前： mailto:sage [2018/04/25(水) 00:20:21.67 ID:Y0UXfQnX.net]
- 前>>289
正方形をＹの字で区切る。三つの区切り線それぞれの長さをxとすると、
x＝(√3)/3
∴3x＝√3
- 299 名前： mailto:sage [2018/04/25(水) 00:25:41.12 ID:Y0UXfQnX.net]
- >>290
面積(1/3)の三つのエリアがパッツンパッツンのパンティー履いた太ももになります。前>>291
それとも脚をななめらせろと？
- 300 名前：１３２人目の素数さん [2018/04/25(水) 00:31:52.28 ID:s9HOMEtU.net]
- ちなみに答えは直線じゃないです
>>291
直線の場合でも
正三角形よりもう少し折れたほうが短くなります
- 301 名前：１３２人目の素数さん [2018/04/25(水) 00:34:09.51 ID:s9HOMEtU.net]
- 正三角形というか120°に折れたY字というか
- 302 名前： mailto:sage [2018/04/25(水) 00:36:28.57 ID:Y0UXfQnX.net]
- 素直にＴの字にします。
(与式)＝1＋2/3＝5/3
前>>292
1.66……＜√3 たしかに。
- 303 名前：１３２人目の素数さん [2018/04/25(水) 00:42:46.17 ID:s9HOMEtU.net]
- >>295
線分だけパターンでももっとそれより短く出来ます
- 304 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/04/25(水) 00:43:05.10 ID:CPKgHcHK.net]
- 以下を証明せよ。
(1) 奇素数pが a^2 + b^2 (a、b∈Z) の約数で、aとbをともに割り切らないならば、p≡1 (mod 4).
(2) 奇素数pが a^2 + 2b^2 (a、b∈Z) の約数で、aとbをともに割り切らないならば、p≡1 (mod 8) または p≡3 (mod 8).
- 305 名前： mailto:sage [2018/04/25(水) 00:52:37.09 ID:Y0UXfQnX.net]
- ふつうのＹ字のパンティーよりＴバックのほうがよりパッツンパッツンとは、おもしろい問題ですね。
前>>295
>>296え、もっとパッツンパッツンにできる!?
ふんどし型か？
ちょっとおもしろいから、答え言わないで。また考えましょう。
- 306 名前：１３２人目の素数さん [2018/04/25(水) 01:03:20.48 ID:KoaEOy7E.net]
- >>297
(a/p)を平方剰余記号として
(1) (-1/p) = 1よりp≡1 (mod 4)
(2) (-2/p) = 1よりp≡1,3 (mod 8)
実質補充法則(2)の第二補充法則の証明は初等的とはいえ、そんなにスカッとは解けない希ガス
- 307 名前：イナ mailto:sage [2018/04/25(水) 01:18:15.36 ID:Y0UXfQnX.net]
- やっぱりＹ字のきわどい
- 308 名前：パンティーのほうがＴバックよりパッツンパッツンと仮定します。
太ももの境界をx、パンティーの境界をyとして(さっきはすべてxにしてた)、やり直し。
前>>298
(与式)＝x＋2y
＝1/3－(√3)/12＋2(√3/3)
＝1/3＋(7√3)/12
≪(＜(5/3)＜√3)
かなり小さい。 [] - [ここ壊れてます]
- 309 名前：１３２人目の素数さん [2018/04/25(水) 01:27:52.71 ID:s9HOMEtU.net]
- >>300
さすがにそこまで短くはなりません
計算間違えてないですか？
- 310 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/04/25(水) 01:43:11.01 ID:i3CGBkWM.net]
- >>296 >>300
y = √{(1/2)^2 + (4/3 - 2x)^2} （←等積条件）
x + 2y ≧ (8+3√15)/12 = 1.6349
x = 2/3 - 1/(4√15) = 2/3 - (tanδ)/4 = 0.60212
sinδ = 1/4,
- 311 名前：１３２人目の素数さん [2018/04/25(水) 01:46:01.43 ID:s9HOMEtU.net]
- >>302
そうですね
線分パターンだとこれが最適になります
ただ曲線にするともっと短くなります
- 312 名前：イナ mailto:sage [2018/04/25(水) 01:55:47.69 ID:Y0UXfQnX.net]
- >>301パンティー部分の半分(台形)の面積を1/3にしてました。1/6でした。
前>>300
x＝2/3－(√3)/12
y＝(√3)/3
(与式)＝x＋2y
＝2/3＋(7√3)/12
＝(8＋7√3)12
- 313 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/04/25(水) 02:23:12.49 ID:Q7D+oEWF.net]
- >>288
最小である根拠はないけど
一辺から中心方向に2/3+√3/4-π/6の長さの垂直二等分線を引き、そこから両隣の辺に向けて単位円の12分の1円弧を引いた場合(分岐点における接線の角をそれぞれ120°とし、各辺との交点における接線を辺と直交するように引く)
分割線の長さの総和＝2/3+√3/4+π/6≒1.623
- 314 名前：イナ mailto:sage [2018/04/25(水) 03:00:37.62 ID:Y0UXfQnX.net]
- やっぱり脚をななめらせたほうがいいということですか。
前>>304
半径ｒの四分円に対角線を差した音叉のような形に三分割します。
(1/4)πｒ~2＝1/3
ｒ~2＝4/(3π)
ｒ＝2/√(3π)
四分円の弧の部分
＝(1/4)2πｒ
＝(1/2)π×2/√(3π)
＝√(3π)/3
対角線部分＝(√2)－ｒ
＝√2－2/√(3π)
(与式)＝(1/2)π×2/√(3π)＋√2－2/√(3π)
＝π√(3π)/3π＋√2－2√(3π)/3π
＝{(π－2)√(3π)}/3π＋√2
- 315 名前：イナ mailto:sage [2018/04/25(水) 04:45:57.16 ID:Y0UXfQnX.net]
- 前>>306だめだ、脚が長すぎる。
単位正方形を左右対称な音叉のような形で三分割するとして、脚は一辺(底辺)に垂直に立てじゅうぶん短くします。音叉の弧と単位正方形でできる上下逆の蒲鉾形の面積は1/3であり、上に尖った扇形に等積変形できる。
(つづく)
- 316 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/04/25(水) 06:45:37.98 ID:C3c2S/2O.net]
- >>305 が正解っぽい
左右の対称性を仮定して
J(f,λ)=2∫[0,1/2]√(f'(x)^2+1)dx+f(1/2)-λ(∫[0,1/2]f(x)dx-1/3)
の変分δJ(f,λ)=0を解くと
f(x)=√(1-x^2)+2/3-√3/4-π/6, λ=2
のとき極小値
J(f,λ)=2/3+√3/4+π/6
をとる
- 317 名前：１３２人目の素数さん [2018/04/25(水) 07:34:20.20 ID:spy7pyf4.net]
- それができたら次は立方体でやってね
- 318 名前：１３２人目の素数さん [2018/04/25(水) 07:37:39.84 ID:KwSfzGxO.net]
- >>305
>>308
おーすごい まさか一晩で解かれるとは
正解です
厳密には相分離モデルを応用して平均曲率が局所一定になることを示してそこから円、線分の組み合わせということが分かってあとは頑張る感じです
- 319 名前：１３２人目の素数さん [2018/04/25(水) 07:45:41.00 ID:KwSfzGxO.net]
- >>309
3次元の場合は3等分くらいなら出来るかもしれませんが未解決なケースもかなり多いので解こうとするのは危険かもしれないです
- 320 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/04/25(水) 08:56:04.91 ID:CPKgHcHK.net]
- >>264
> >>192 (2) を弄ってみた
> (2)’ 素数 p, q が、p≡1 (mod 4)、q=2p+1 をみたすとき、2 は q の原始根であることを示せ。
少し弄ってみた。
(2)’’ 素数 p, q が、p≡1 (mod 4)、q=4p+1 をみたすとき、2 は q の原始根であることを示せ。
- 321 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/04/25(水) 08:57:43.06 ID:CPKgHcHK.net]
- >>312
訂正。
(2)’’ 素数 p, q が q=4p+1 をみたすとき、2 は q の原始根であることを示せ。
- 322 名前：１３２人目の素数さん [2018/04/25(水) 10:33:13.41 ID:qlUN5/CP.net]
- >>313
q≡5 (mod 8)より2は法qの平方剰余ではない。よって2^2q≡1 (mod q)ではない。
q≠3,5より2^4≡1 (mod q)ではない。
- 323 名前：１３２人目の素数さん [2018/04/25(水) 11:10:45.49 ID:qlUN5/CP.net]
- >>314
訂正
×：よって2^2q≡1 (mod q)ではない。
○：よって2^2p≡1 (mod q)ではない。
- 324 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/04/25(水) 15:03:46.70 ID:CPKgHcHK.net]
- つまり、こうでござるな。
(2)’’’ p≡±1 (mod 8) をみたす素数pに対して、2 は q の原始根でない
- 325 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/04/25(水) 16:35:50.56 ID:CPKgHcHK.net]
- p、qは奇素数で、pが 2^q -1 の約数ならば、2はpの平方剰余であることを示せ。
- 326 名前：１３２人目の素数さん [2018/04/25(水) 17:02:41.21 ID:+BsFnCRa.net]
- >>317
qはp-1の約数であるがqは奇数だから(p-1)/2の約数でもある。よって2^((p-1)/2)≡1(mod p)。
- 327 名前：イナ mailto:sage [2018/04/25(水) 17:21:59.72 ID:Y0UXfQnX.net]
- 単位正方形の中心の真上ｒの位置を要とした半径ｒの扇形を描く。弧の中間点から底辺に垂線を下ろし、孤と垂線で三分割する。
前>>307
扇形の面積は1/3
扇の端は単位正方形と単位正方形の上から(ｒ^2)/4－1/16(0より大きく1/3より小さい)の点で接する。
∴1/2＜ｒ＜5/6
弧の長さ＝2/(3ｒ)
弧の中間点から単位正方形の底辺までの距離＝1＋(ｒ^2)/4－1/16－ｒ
境界線の合計f(ｒ)＝1＋(ｒ^2)/4－1/16－ｒ＋2/(3ｒ)
＝(ｒ^2)/4－ｒ＋15/16＋2/(3ｒ)
＝(－24ｒ^2＋45ｒ＋48)/48ｒ
微分f'(ｒ)＝0とすると、
3ｒ^3－6ｒ^2＝4
f(ｒ)＝－ｒ/2＋15/16＋1/ｒ
扇形の面積について、
2/(3ｒ)×ｒ×(1/2)＝(πｒ^2)/3
∴πｒ^2＝3
ｒ＝√3/√π
(つづく)
- 328 名前：イナ mailto:sage [2018/04/25(水) 17:43:03.01 ID:Y0UXfQnX.net]
- 前>>319修正
単位正方形の中心の真上ｒの位置を要とした半径ｒの扇形を描く。弧の中間点から底辺に垂線を下ろし、孤と垂線で三分割する。
前>>307
扇形の面積は1/3
扇の端は単位正方形と単位正方形の上から(ｒ^2)/4－1/16(0より大きく1/3より小さい)の点で接する。
∴1/2＜ｒ＜5/6
弧の長さ＝2/(3ｒ)
弧の中間点から単位正方形の底辺までの距離＝1＋(ｒ^2)/4－1/16－ｒ
境界線の合計f(ｒ)＝1＋(ｒ^2)/4－1/16－ｒ＋2/(3ｒ)
＝(ｒ^2)/4－ｒ＋15/16＋2/(3ｒ)
＝(－24ｒ^2＋45ｒ＋48)/48ｒ
微分f'(ｒ)＝0とすると、
3ｒ^3－6ｒ^2＝4
f(ｒ)＝－ｒ/2＋15/16＋1/ｒ
扇形の面積について、
2/(3ｒ)×ｒ×(1/2)＝(πｒ^2)/3
∴πｒ^2＝1
ｒ＝1/√π
f(ｒ)＝15/16＋√π－1/(2√π)
ちがうか。
(答え)不思議なルートパイ
- 329 名前：イナ mailto:sage [2018/04/25(水) 19:00:00.75 ID:Y0UXfQnX.net]
- やっぱりπｒ^2＝1ではない。前>>320
シャボン玉を正方形のタイルの上で三個均等にくっつけるみたいなことか。タイルの形の影響で、分岐点からタイルの一辺までが垂直なら境界線は直線で、そうでないなら曲線になるんじゃないか。
シャボン玉の境界は辺に対してより垂直になろうとするんじゃないか。
＿
γ]
￣
- 330 名前：イナ mailto:sage [2018/04/25(水) 21:09:49.78 ID:Y0UXfQnX.net]
- 正方形の土地をなるべく短い境界線で金をかけずに塀を作り三人の息子たちに分け与えたい父の気持ちを想像する。
「だれが曲線の塀などこしらえるものか。こっちは有り金をなるべくむだにしたくないんじゃ!!」父は言った。「直線や、直線や!!」
前>>321「まず長男に北側の一辺をやろう。次男は東側の一辺のうち北からaだけいったところに杭を立てよ。三男は西側の一辺のうち北からbだけいったところに杭を立てよ。次男と三男の境界は東からcのところに、
0＜a＜b＜c＜1/2
となるように杭を立てよ。正方形の土地のまん真ん中に杭を立て、あとは縄を張って地境を決めろ」
息子のだれかが計算した。
「ただの三連立の一次方程式やないか」独りごちながら。
a＝1/12
b＝1/4
c＝5/12
∴示された。
- 331 名前：１３２人目の素数さん [2018/04/25(水) 21:48:01.05 ID:BcUTTOXX.net]
- ナニコレ？
- 332 名前：イナ mailto:sage [2018/04/25(水) 21:58:48.29 ID:Y0UXfQnX.net]
- a＝1/12,b＝1/4,c＝5/12
前>>322補足。
長男と次男の境界＝√{(1/2)^2＋(1/2－a)^2}
＝√{1/4＋(5/12)^2}
＝(√61)/12
長男と三男の境界＝√{(1/2)^2＋(1/4)^2}
＝√(1/4＋1/16)
＝(√5)/4
次男と三男の境界＝√{(1/2)^2＋(1/12)^2}
＝(√37)/12
境界線の合計＝(√61)/12＋(√5)/4＋(√37)/12
≒0.65＋0.559＋0.507
≒1.716
厳しいなぁ!! 縄ピンと張っても1.6台にならない。
- 333 名前：イナ mailto:sage [2018/04/25(水) 22:11:32.58 ID:Y0UXfQnX.net]
- >>323問題は>>288です。
最短の境界線1.6台が出てます。
前>>324
T字帯の1.66……よりも長いとは。
- 334 名前：イナ mailto:sage [2018/04/25(水) 23:56:24.99 ID:Y0UXfQnX.net]
- 前>>325単位正方形の左下に半径ｒ、面積1/3の四分円を描く。
πｒ^2＝4/3
ｒ＝2/√(3π)≒0.65147
四分円の孤ABと右辺に直交するように孤MCを描くと中心角は最大π/4だと思う。
(弧の長さ×半径÷2＝扇形の面積)より、逆に面積×2を半径で割って境界線の長さを出す。
境界線AB＝(1/3)×2÷2/(√3π)
＝√π/√3
境界線ABとMCの最大値は作図によりこれの1.5倍と考えられる。
(√π/√3)×1.5
＝1.0233256……×1.5
＝1.5349884……
- 335 名前： mailto:sage [2018/04/26(木) 00:07:50.72 ID:TQ9j6XC/.net]
- 前>>326訂正。
最大値→最小値
- 336 名前： mailto:sage [2018/04/26(木) 00:23:24.70 ID:TQ9j6XC/.net]
- 1.5倍は感覚的ですが、
前>>327
式で書くと、
境界線の最小値
＝√(3π)/2
- 337 名前：１３２人目の素数さん [2018/04/26(木) 00:50:30.83 ID:ip5ulRQt.net]
- もうすでに>>305で解かれてるのに何やってんのこいつ？
- 338 名前：１３２人目の素数さん [2018/04/26(木) 08:00:01.14 ID:3zpz03fU.net]
- 解かれていない。
- 339 名前：イナ mailto:sage [2018/04/27(金) 02:33:17.21 ID:KVwn7NU0.net]
- Ｔ字
1＋(2/3)
＝1.66666666……
Ｙ字(X＋2Y)
＝(8＋7√3)÷12
＝1.67702964……
これらを踏まえ、三本の境界線を分岐点からX＝0.55ずつとり、一本は底辺の垂直二等分線上、底辺から上に0.55の位置でＹ字に分岐させ、あとの二本は左辺または右辺と分岐点の高さよりaだけ上の位置で交差させる。
分割した一つの体積(台形)＝(0.55＋0.55＋a)×(1/2)÷2＝1/3
a＝(4/3)－1.1
＝0.2333……
Ｙ字(3X)
＝1.65
前>>328
- 340 名前：イナ mailto:sage [2018/04/27(金) 03:14:53.35 ID:KVwn7NU0.net]
- 底辺の垂直二等分線上、底辺から上に0.54(＞0.5 ∵左右の辺に届かないといけないから)の位置に分岐点をとると、
分割した一つの体積(台形)＝(0.54＋0.54＋a)×(1/2)÷2＝1/3
a＝(4/3)－1.08
＝0.25333……
Ｙ字(3X)
＝1.62
前>>331これ1.6
- 341 名前：イナ mailto:sage [2018/04/27(金) 03:19:06.23 ID:KVwn7NU0.net]
- 底辺の垂直二等分線上、底辺から上に0.53の位置に分岐点をとると、
分割した一つの体積(台形)＝(0.53＋0.53＋a)×(1/2)÷2＝1/3
a＝(4/3)－1.06
＝0.27333……
Ｙ字(3X)
＝1.59
前>>332これ1.6切った!!
- 342 名前：１３２人目の素数さん [2018/04/27(金) 09:30:37.15 ID:NFZEifrM.net]
- >>333
>>303でも言いましたが線分だけの場合は>>302が最短になります
0.6を切ることはあり得ません
- 343 名前：１３２人目の素数さん [2018/04/27(金) 09:31:18.84 ID:NFZEifrM.net]
- 0.6→1.6でした
- 344 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/04/27(金) 09:48:01.79 ID:X11p0gVK.net]
- 数学じゃないやん
- 345 名前：イナ mailto:sage [2018/04/27(金) 15:35:18.85 ID:KVwn7NU0.net]
- 三本の境界線を分岐点からXずつとり、一本は底辺の垂直二等分線上、底辺から上にXの位置でＹ字に分岐させ、あとの二本は左辺または右辺と分岐点の高さよりaだけ上の位置で交差させる。
分割した一つの面積(台形)＝{X＋(X＋a)}×(1/2)÷2＝1/3
a＝(4/3)－2X――①
斜めの分割線について三平方の定理より、
(1/2)^2＋a^2＝X^2――②
①を②に代入して整理すると、
108X^2－192X＋73＝0
1/2＜X＜1に注意して、
X＝(16－√37)/18
3X＝(16－√37)/6
＝1.65287291……
前>>333
- 346 名前：１３２人目の素数さん [2018/04/27(金) 16:17:47.03 ID:v+crcbPI.net]
- 等積条件下で長さ最小⇒定曲率
はどうやって示すんですか？
- 347 名前：イナ mailto:sage [2018/04/27(金) 17:53:53.21 ID:KVwn7NU0.net]
- 底辺の垂直二等分線上の分岐を120°、1/12円弧が左右の辺に直交するとして、
境界線の最小値
＝X＋2Y＋πｒ/3
前>>337
円弧の半径ｒ＝1－Y√3
(1/2)^2＋X^2＝Y^2＋ｒ^2
整理すると、
3X＋6Yｒ＋πｒ^2＝4
3X＋6Y(1－Y√3)＋π(1－Y√3)^2＝4
3X＋6Y－6√3･Y^2＋π－2π√3･Y＋3Y^2＝4
X＝4/3－(2－2π√3/3)Y＋Y^2
境界線の合計F(Y)＝X＋2Y＋π(1－Y√3)/3
＝4/3－(2－2π√3/3)Y＋Y^2＋2Y＋πｒ/3
＝4/3＋(2π√3/3)Y＋Y^2＋π(1－Y√3)/3
＝Y^2＋(π√3/3)Y＋π＋(4/3)
(つづく)
- 348 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/04/27(金) 20:42:46.25 ID:nJOWrXzq.net]
- 1 以上 1000000 以下の自然数のうち、各桁の数が 0, 1, 2 のいずれかであるような 7 の倍数は何個あるか。
- 349 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/04/27(金) 21:00:23.04 ID:H9W3Gi8S.net]
- >>340
[3^6/7]=104
- 350 名前：イナ mailto:sage [2018/04/27(金) 21:24:55.98 ID:KVwn7NU0.net]
- 底辺から底辺の垂直二等分線上の分岐点までをXとして120°の角度で分岐し、半径1の1/12円弧が左右の辺に直交するとして、
境界線の合計＝X＋π/3
前>>339
分割した面積＝X(1/√3)X(1/2)＋π/12－(1/2－X/√3)(1/2－X/√3)√3(1/2)＝1/3
＝(1/2√3)X^2＋π/12－(√3)/2･(1/2)^2－(√3)/2･(X/√3)^2＋(2X/√3)(√3/2)＝1/3
(1/2√3)X^2＋π/12－(√3)/8－(√3)/6X^2＋X＝1/3
π/12－(√3)/8＋X/2＝1/3
X/2＝1/3＋(√3)/8－π/12X＝2/3＋(√3)/4－π/6
境界線の最小値＝X＋π/3
＝2/3＋(√3)/4＋π/6
＝0.6666666……＋0.4330127……＋0.5235987……
≒1.623278
- 351 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/04/27(金) 21:25:36.12 ID:nJOWrXzq.net]
- >>341
正解です
解説はどなたかの希望があれば
- 352 名前：１３２人目の素数さん [2018/04/27(金) 22:05:10.47 ID:ldwAt9sW.net]
- >>343
定曲率になる解説をおながいしまつ
- 353 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/04/28(土) 11:41:45.00 ID:9CKS2DSq.net]
- 〔ウィア=フェラン予想〕
3次元空間を体積Vの泡に分割するとき、境界面積が最小になるのはウィア=フェラン構造（Weaire-Phelan structure)か？
D.Weaire & R.Phelan： Phil. Mag. Lett., ６９, p.107-110 (1994) "A counter-example to Kelvin's conjecture on minimal surfaces"
- 354 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/04/28(土) 12:22:19.38 ID:9CKS2DSq.net]
- >>345
切頂８面体（ケルビン14面体）の境界面積は
S = (3/4){4^(1/3)}(1+√12) V^(2/3) = 5.3147397 V^(2/3)
Weaire-Phelan 構造の境界面積はこれより約 0.3% 小さい。
S = 5.30 V^(2/3)
- 355 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/04/28(土) 22:31:07.34 ID:Q7JYuciE.net]
- 岩波 数学公式IIIのp.2より引用の公式:
Γ(1/4)=2^(3/4)√π[(3/5)・(7/9)・(11/13)・(15/17)…]^(1/2)
は正しいか？もし誤りであれば誤りの原因を考察し訂正せよ。
- 356 名前：１３２人目の素数さん [2018/04/29(日) 00:45:55.20 ID:FNqzl5v2.net]
- >>347
無限積のところ０にいくなぁ
- 357 名前：１３２人目の素数さん [2018/04/29(日) 01:50:32.50 ID:FNqzl5v2.net]
- 無限乗積表示
Γ(1/4) = 1/4e^(γ/4)Π((4m+1)/4m)e^(-1/4m)
Γ(3/4) = 3/4e^(3γ/4)Π((4m+3)/4m)e^(-3/4m)
と倍角公式
Γ(1/2) = Γ(1/4)Γ(1/4 + 1/2)/√(2π)
をうまくつかってΓ(3/4)を消去しようとして失敗したくさいねぇ。無限乗積はΠ((4m+1)/4m)とかΠ((4m+3)/4m)は各々単独では収束しないからあとのe^~と切り離せないのに。信じられんミスですな。
- 358 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/04/29(日) 02:00:09.16 ID:LZWvDOTX.net]
- >>347
岩波「数学公式I」p.229 を見ると
Γ(1/4) = 2 π^(1/4) √Ｋ(1/√2),
Ｋ(1/√2) = 1.85407467730137191843385034719526 (*)
Γ(1/4) = 3.625609908221908311930685155867672
(*) Ｋ(k) は第１種の完全楕円積分。
Ｋ(k) = ∫[0，π/2] 1/√{1 - (k･sinθ)^2} dθ
= (π/2){1 + Σ[r=1，∞] {(2r-1)!!/(2r)!!}^2･k^(2r) }
- 359 名前：１３２人目の素数さん [2018/04/29(日) 02:57:34.53 ID:FNqzl5v2.net]
- 正しくΓ(3/4)を消去すれば
Γ(1/4)^4 = 48√2π Π(1+3/4m)/(1+1/2m)^3
ですな。
- 360 名前：１３２人目の素数さん [2018/04/29(日) 03:01:03.51 ID:FNqzl5v2.net]
- 訂正
Γ(1/4)^4 = 48√2π Π(1+3/(4m))/(1+1/(4m))^3
- 361 名前：１３２人目の素数さん [2018/04/29(日) 03:14:07.86 ID:FNqzl5v2.net]
- >>349の左辺も正しくは逆数ですね。
まぁまぁあうなぁ
gamma(1/4)^4,numer;
48*sqrt(2)*%pi*(product ((1+3/4/i)/(1+1/4/i)^3, i, 1, 10000)),numer;
(%o45) 172.7922660636603
(%o46) 172.7955056790521
- 362 名前：１３２人目の素数さん [2018/04/29(日) 03:35:41.70 ID:us7WqjTP.net]
- 岩波の関係者見てるか～？
はよ改訂しろや
- 363 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/04/29(日) 10:14:34.00 ID:n1kfIHw7.net]
- >>352
正解ですがsinの無限乗積を用いれば、もう少しきれいな形にできて
√2=2sin(π/4)=(π/2)Π(1-1/(4m)^2)
から√2を消去して
Γ(1/4)^4 = 24π^2 Π(1-1/(4m))(1+3/(4m))/(1+1/(4m))^2
= 8π^2 (3/1)・(3/5)・(7/5)・(7/9)・(11/9)・(11/13)・(15/13)…
が得られ、これを1/4乗したのが訂正式だと思われます。
ここまでの式は正しいのですが、不用意に分母を1つずらして
二乗でくくってしまうと例の誤りの公式になります。
- 364 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/04/29(日) 23:20:19.24 ID:LZWvDOTX.net]
- >>341
フェルマーの小定理から
10「abcdef」-「bcdefa」= (10^6 - 1)a ≡ 0 (mod 7)
∴ ローテートしても剰余は変わらない。
（1000000は7の倍数でないから省いてよい）
- 365 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/04/29(日) 23:27:58.63 ID:LZWvDOTX.net]
- >>356
まちがえた。
・剰余が0の場合はつねに0
・剰余が0でない場合は1～6を巡回する。
- 366 名前：１３２人目の素数さん [2018/04/30(月) 01:03:27.45 ID:bKuKTDT2.net]
- >>357
それが示せたとしてちょうど７個に一個は７の倍数ってしめせる？
そもそも>>340は６桁以下である意味ほとんどないけど。１０桁以下でも[3^10/7]だよ。
- 367 名前：１３２人目の素数さん [2018/04/30(月) 01:47:49.00 ID:2V4BpPyt.net]
- >>340の話題まだ続いてたの？
「1 以上 1000000 以下の自然数のうち、各桁の数が 0, 1, 2 のいずれかであるような数」の集合は
S_10={s|s=Σa_i・10^iかつa_i∈{0,1,2}かつ1≦s≦10^6}となるが、この集合は
S_3={s|s=Σa_i・3^iかつa_i∈{0,1,2}かつ1≦s≦3^6}と、同一の有限数列{a_i}を持つ要素同士での一対一対応がある。
(S_10とS_3のいずれの定義でも、異なる{a_i}に対してsの値が異なるから)
また、10≡3 (mod 7) だから Σa_i・10^i≡Σa_i・3^i (mod 7) であり、これらのことから、S_10 と S_3 に含まれる7の倍数の個数は等しい。
S_3 は1以上3^6以下の自然数の集合となる。したがって、S_3 に含まれる 7 の倍数の個数は[3^6/7]個。
S_10 に含まれる 7 の倍数の個数もこれと等しく[3^6/7]=104個。
- 368 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/04/30(月) 07:45:47.91 ID:unf6uQw9.net]
- >>347 の類題まだあるようです
岩波 数学公式IIIのp.13、Eulerの定数γの積分表示
γ = ∫[0,1] log|log t|dt
は正しいか？
- 369 名前：IQの低い人 mailto:ｄｄｄ [2018/04/30(月) 13:55:59.72 ID:tdDKI26q.net]
- 数学公式なんて必要なの
インターネットでじゅうぶんじゃないの？
- 370 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/04/30(月) 15:31:22.71 ID:unf6uQw9.net]
- 一般化して考えると、人間の発見した数学の知識は本にする必要があるか？
電子化してしまえば便利で使い勝手が良いではないか？
という質問になると思うけど、難しい質問ですね。
- 371 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/04/30(月) 16:06:10.16 ID:i8B+Bi+E.net]
- 人類の紙離れハードコピー離れの問題とか言った方がいいのでは
- 372 名前：１３２人目の素数さん [2018/04/30(月) 16:16:13.98 ID:9GopzljD.net]
- そりゃ書籍なんてどんどん厚くなってくわけだし
OEISみたいにとっとと電子化した方がよい
- 373 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/04/30(月) 16:28:40.42 ID:YkZppX/u.net]
- 電子化に「頼り切った」場合、データが吹っ飛んだ場合の復旧は大丈夫なのか。
紙なら数百年は持つが。
- 374 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/04/30(月) 16:31:07.19 ID:1Sw4S+sv.net]
- 今日の朝日新聞にそんな記事が出ていたような
- 375 名前：１３２人目の素数さん [2018/04/30(月) 20:39:39.75 ID:lihGKJI8.net]
- >>365
データ構造とか
資料と知識ある人が亡くなれば
ブラックボックス化してしまうよな
- 376 名前：１３２人目の素数さん [2018/04/30(月) 20:43:00.98 ID:mYEYW+f+.net]
- そういえばCOBOLみたいな化石言語を使える後継者がいなくて、システムの維持が困難だとかあるらしいね
- 377 名前：１３２人目の素数さん [2018/04/30(月) 21:22:05.39 ID:EyjNbgxA.net]
- 卒業アルバムをCD-ROMで配布したら数十年後にはみんな読めなくなってるみたいな
- 378 名前：１３２人目の素数さん [2018/04/30(月) 21:51:16.80 ID:f2DvPYO1.net]
- >>360
は数値計算させてみると
romberg(exp(-x)*log(x),x,0.01,1)+romberg(exp(-x)*x,1,500)+501*exp(-500),numer;
%gamma,numer;
(%o51) －.005043828410193907
(%o52) .5772156649015329
でo51＞∫[0,1] log|log t|dt
だから全然ダメっぽいけど何をどう間違ったのかはさっぱりわからんorz
- 379 名前：１３２人目の素数さん [2018/04/30(月) 22:04:36.48 ID:f2DvPYO1.net]
- あれ？wikipediaにはいけるって書いてある？
https://en.wikipedia.org/wiki/Euler%E2%80%93Mascheroni_constant
- 380 名前：１３２人目の素数さん [2018/04/30(月) 22:07:54.94 ID:f2DvPYO1.net]
- ああ、>>360は-抜けてるだけか。
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