面白い問題おしえて〜な 26問目

1 名前：１３２人目の素数さん [2018/02/19(月) 00:21:10.33 ID:uzLAXv/z.net] 過去ログ www3.tokai.or.jp/meta/gokudo-/omoshi-log/ まとめwiki www6.atwiki.jp/omoshiro2ch/ 1 cheese.2ch.net/test/read.cgi/math/970737952/ 2 natto.2ch.net/test/read.cgi/math/1004839697/ 3 science.2ch.net/test/read.cgi/math/1026218280/ 4 science.2ch.net/test/read.cgi/math/1044116042/ 5 science.2ch.net/test/read.cgi/math/1049561373/ 6 science.2ch.net/test/read.cgi/math/1057551605/ 7 science2.2ch.net/test/read.cgi/math/1064941085/ 8 science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1074751156/ 9 science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1093676103/ 10 science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1117474512/ 11 science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1134352879/ 12 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1157580000/ 13 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1183680000/ 14 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1209732803/ 15 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1231110000/ 16 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1254690000/ 17 kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1284253640/ 18 kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1307923546/ 19 uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1320246777/ 20 wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1356149858/ 21 wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1432255115/ 22 rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1464521266/ 23 rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1497416499/ 24 rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1502016223/ 25 rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1502032053/ 142 名前：１３２人目の素数さん mailto:っっｓ [2018/03/27(火) 23:51:18.51 ID:e+rcH4+R.net] https://www.youtube.com/watch?v=IERchVzO17Q 143 名前：１３２人目の素数さん [2018/03/28(水) 00:14:07.38 ID:6Bea2jrG.net] >>4 アホくさ (1) (��)正三角形を含む場合 AB=BC=CA=yと置く DA,DB,DCの内2つは等しい DB=DCと置く DはBCの垂直二等分線に在る (��-1)DA=yの場合 DBCが頂角30度の二等辺三角形の形の答えと、凧型の答えを得る (��-2)DB=y の場合(自動的にDC=y) 1つの候補はDとAが重なり、もう1つの候補から内角60度の菱形という1つの答えを得る (i-3)何方でも無い場合 DA=DB=DC DがABCの重心に在る場合という1つの答えを得る (��)正三角形を含ま無い場合 AB=AC=x, BC=yと置く DA,DB,DCのうち2つは等しい (ii-1)DB=DCの場合 DB=DC=yだと正三角形ができるのでDB=DC=xの場合を考えれば良い 更にAD=xだとABDが正三角形なのでAD=yを考えれば良い ABDCが正方形という1つの答えを得る (ii-2)DA=DB の場合 同様にDA=DB=yの場合を考えれば良い DC=yだとDBCが正三角形なのでDC=xを考えれば良い 辺の長さから△BAC≡△ACD ACを底辺と扱うと点B,DのACからの距離は同じなのでBD//AC 故に4点は等脚台形を為す 対角線が長い方の平行辺と長さが等しい図という答えに至る (2) A,B,C,Dが与えられた時のEの候補は次の2つに分けられる ・EA=EB=EC の場合のような場合3点の外接円(4種類) ・EA=EB, EC=EDの場合2点と2点に分けて垂直二等分線の交点(3種類) と考えて全部を検討するのが漏れなく其れなりに効率良さそうな1つの考え方だ ABCDが正方形の時だけは対辺の垂直二等分線が一致し点が定まらず、更に長さを考えるか、或いは視点を変えてBCDEも又(1)の形を為すと要求すると不可能であると分かる (3) BCDEFも(2)の形を為すと要求するとF=Aと成るしか無く不適 144 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/03/28(水) 04:54:36.75 ID:v6aRBv4c.net] p≡1 (mod 4) のとき 1 p≡-1 (mod 4) のとき -1 これをまとめると、(-1)^{(p-1)/2} p≡±1 (mod 8) のとき 1 p≡±3 (mod 8) のとき -1 これをまとめると、(-1)^{(p^2-1)/8} ---------------------------------------------- 問題. (1)〜(4)のそれぞれについて、(-1)^x の形で表せ。 (1) p≡1,3 (mod 8) のとき 1 p≡-1,-3 (mod 8) のとき -1 (2) p≡±1 (mod 5) のとき 1 p≡±2 (mod 5) のとき -1 (3) p≡1,3,7,9 (mod 20) のとき 1 p≡-1,-3,-7,-9 (mod 20) のとき -1 (4) p≡±1 (mod 12) のとき 1 p≡±5 (mod 12) のとき -1 145 名前：１３２人目の素数さん [2018/03/28(水) 23:36:57.84 ID:rYPiNLPi.net] そろそろ>>62の正解 初等幾何の諸定理より（リンク先参照）、n=kのときの明るさはn=k-1のときと等しく、 後ろ向きの帰納法を用いると、任意のnのときの明るさは(π^2)/4である。 また、無限に大きい円の場合、観測者が受ける光の明るさは、「数直線上の原点にいる観測者が、…,-5,-3,-1,1,3,5,…の点にある光源から受ける光の明るさα」と同等である。 よって α = 2Σ[t=1,∞] 1/(2t-1)^2 = (π^2)/4 すなわち奇数の二乗の逆数和は(π^2)/8に収束することが導ける。 更に、「数直線上の原点にいる観測者が、…,-6,-4,-2,2,4,6,…の点にある光源から受ける光の明るさβ」は、逆二乗則より「数直線上の原点にいる観測者が、…,-3,-2,-1,1,2,3,…の点にある光源から受ける光の明るさγ」の1/4になるになるはずである。 γ=α+β=(π^2)/4+(1/4)γよりγ=(π^2)/3, β=(π^2)/12 よって β = 2Σ[t=1,∞] 1/(2t)^2 = (π^2)/12 γ = 2Σ[t=1,∞] 1/(t^2) = (π^2)/3 すなわち 偶数の二乗の逆数和は(π^2)/24に収束し、 自然数の二乗の逆数和は(π^2)/6に収束する（バーゼル問題）。 146 名前：１３２人目の素数さん [2018/03/28(水) 23:37:59.71 ID:rYPiNLPi.net] 物理学で対応する事象を用いたバーゼル問題の初等的・幾何的・直感的な証明は今世紀に入ってから発表されたものである。 論文 www.math.chalmers.se/~wastlund/Cosmic.pdf 動画 youtu.be/d-o3eB9sfls 147 名前：１３２人目の素数さん [2018/03/29(木) 11:59:27.65 ID:ihUI7uvJ.net] a,bを自然数とする。a^2+b^2をa+bで割った商をq、余りをrとすると、q^2+r=1977が成り立つという。 (a,b)を全て求めよ。 （もちろんq,rは非負整数でありr<a+b） ヒント：r<2qを示せて、q,rが確定する。 148 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/03/29(木) 12:48:02.60 ID:MHic9gzf.net] >>143 qq+r = 1977，r<2q から q=44, r=41 が確定する。 aa+bb = 44(a+b) +41，a+b>r=41 から｛a，b｝=｛7，50｝｛37，50｝ 149 名前：１３２人目の素数さん [2018/03/29(木) 17:31:24.50 ID:ihUI7uvJ.net] >>144 解答は合ってるけどさすがにダメ 150 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/03/29(木) 19:20:38.00 ID:9DT8+Pw9.net] うむ、大事なのは過程だ 151 名前：１３２人目の素数さん [2018/03/29(木) 22:45:57.64 ID:/OSBVUz8.net] >>4 >>139 許される距離がm種類だったり、空間にしてみたり拡張を考えたくなる できるかは別として 152 名前：１３２人目の素数さん [2018/03/29(木) 23:54:31.17 ID:ihUI7uvJ.net] >>143 (a+b)q+r=a^2+b^2≧(a+b)(a+b)/2よりq≧(a+b)/2-r/(a+b)≧(a+b)/2 ∴2q≧a+b>r q^2+r=1977で2q>rを満たすのは(q,r)=(44,41)のみである。 このときa^2+b^2=44(a+b)+41⇔(a-22)^2+(b-22)^2=1009 1009は2平方数の和では(±15)^2+(±28)^2, (±28)^2+(±15)^2とのみ表されるから (a-22,b-22)=(15,28),(-15,28),(28,15),(28,-15)　（∵a-22≧-21, b-22≧-21） よって(a,b)=(37,50),(7,50),(50,37),(50,7) 一昔前（1977年）の数オリだけど、難問揃いの近年では考えられないくらい簡単 153 名前：１３２人目の素数さん [2018/03/30(金) 00:07:07.17 ID:Bx07PAfT.net] 簡単と言いながら間違える。 154 名前：１３２人目の素数さん [2018/03/30(金) 16:45:22.96 ID:9jey3GD7.net] >>55 (1) E.T. the Extra-Terrestrial 『E.T.』 (2) The Matrix 『マトリックス』 (3) Velocity (4) Leaving Las Vegas 『リービング・ラスベガス』 (5) La La Land 『ラ・ラ・ランド』 (6) 12 Monkeys 『12モンキーズ』 (7) Pi 『π』 (8) Dr. No 『007 ドクター・ノオ』 (9) Seven 『セブン』 (10) Home Alone 『ホーム・アローン』 (11) The Green Mile 『グリーンマイル』 (12) The Lord of the Rings: The Fellowship of the Ring 『ロード・オブ・ザ・リング』 (13) Catch Me If You Can 『キャッチ・ミー・イフ・ユー・キャン』 (14) Gravity 『ゼロ・グラビティ』 (15) All the Money in the World 『ゲティ家の身代金』 (16) The Da Vinci Code 『ダ・ヴィンチ・コード』 (17) 2001: A Space Odyssey 『2001年宇宙の旅』 (18) Dial M for Murder 『ダイヤルMを廻せ!』 (19) Signs 『サイン』 (20) 8 Mile 『8 Mile』 有力な別解 (3) Speed 『スピード』 reddit.com/r/math/comments/815ojr 155 名前：１３２人目の素数さん [2018/04/01(日) 00:24:31.04 ID:VCG34iJE.net] (0,1),(1,1)を結ぶ曲線のx軸周りの回転体の表面積の最小値を求めよ. 156 名前：１３２人目の素数さん [2018/04/01(日) 00:28:40.25 ID:VCG34iJE.net] >>151 ごめんなさいミスです (0,0),(1,1)を結ぶ曲線です 157 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/04/01(日) 01:15:57.53 ID:noFB9/4S.net] >>151 適当にサイクロイドと予想しておく 158 名前：１３２人目の素数さん [2018/04/01(日) 01:39:38.11 ID:VCG34iJE.net] >>153 違います 159 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/04/01(日) 01:40:18.92 ID:noFB9/4S.net] >>154 有名な曲線になる？ 160 名前：１３２人目の素数さん [2018/04/01(日) 01:41:16.70 ID:VCG34iJE.net] >>155 名前は付いてるよ 161 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/04/01(日) 01:42:08.50 ID:noFB9/4S.net] >>156 じゃあアステロイド 162 名前：１３２人目の素数さん [2018/04/01(日) 01:42:46.67 ID:VCG34iJE.net] >>157 違うかな 日常でも良く現れる曲線です 163 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/04/01(日) 01:43:08.83 ID:noFB9/4S.net] ごめんな解くのがめんどいんだわ 解くのが面白い問題じゃないだろうし、ひたすら計算って、問題としてはつまんねーし 164 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/04/01(日) 01:43:33.79 ID:noFB9/4S.net] >>158 カテナリー これ以上はレスやめとくわ 165 名前：１３２人目の素数さん [2018/04/01(日) 01:44:58.65 ID:VCG34iJE.net] >>159 まあ計算ゲーではあるけども 厳密にそれが最小解であることを証明するのはかなり高度な抽象論必要だし面白いと思う >>160 そうです 166 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/04/01(日) 02:24:24.08 ID:yIshEAEB.net] 有名ナリー 167 名前：イナ mailto:sage [2018/04/01(日) 17:17:42.23 ID:+Kemoei8.net] ＿人人＿/＿/＿/＿/＿/ （＿^_)_/＿/＿/＿/＿/ _((-_-)_/＿/＿∩∩＿/ _(っц)~/＿/_(^)　)_/ _(`γ)＿/＿/_,U⌒ヽ_/ ＿υυ＿/＿/(＿＿＿)/＿/＿/＿/＿/＿/＿/UU/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/要はろくろだろ。扇形なら小さくなるし、放物線なら大きくなるし、指数関数にすればもっと大きくなるんじゃない？ 168 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/04/01(日) 17:55:01.26 ID:kw1PD5xS.net] 101頭の牛がいてどの牛も体重は整数�sである どの1頭を除いても残りの100頭を総体重が等しい50頭ずつのグループに分けることができる このとき全ての牛の体重は同じであることを示せ 169 名前：１３２人目の素数さん [2018/04/01(日) 23:17:44.11 ID:Sq5gTv4H.net] 3人の女性A,B,Cがいる。 この3人は、 100%本当のことを言う正直者 50%の確率で本当のことを言う気まぐれ 0%の確率で本当のことを言う嘘つき が一人ずつであるが、あなたは誰がどれに対応するかはわからない。 女性間では誰がどれに対応するかわかっている。 あなたは彼女らに｢はい｣、｢いいえ｣で答えられる質問を2回行う。 2回目の質問で｢はい｣と答えさせることができればあなたの勝ちである。 2回の質問をどう行うと� 170 名前：ﾇいか？ ただし、各質問は一人ずつにしか行えない。 [] [ここ壊れてます] 171 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/04/02(月) 00:56:48.50 ID:66IqDDyK.net] １回目：Aさんに質問 「もしあなたに『Bさんは気まぐれですか』と尋ねたら『はい』と答えますか」 ２回目：１回目の答えが「はい」の場合はCさんに、「いいえ」の場合はBさんに質問 「あなたは正直者ですか」 １回目の質問で「少なくとも気まぐれではない１人」を探すのがポイント。 気まぐれでさえないことがわかっていれば、事実を聞き出したり特定の答えに誘導するのは簡単。 172 名前：１３２人目の素数さん [2018/04/02(月) 01:21:42.33 ID:ZjjiJzGw.net] >>166 お見事。 論理の2回反転で嘘つきを正直者にする解法ですね。 エイプリルフールなので出してみました あ、エイプリルフールが終わってしまったようですw 173 名前：１３２人目の素数さん [2018/04/02(月) 10:00:45.81 ID:rDlRBZ4q.net] >>164 整数kgの101頭の牛に於いて同じ体重であるもの同士を同じグループとして分類せよ 全ての牛の体重が同じであることは無いとすれば2グループ以上に分類できる筈である n(n≧2)グループに分類されたとせよ 其々のグループの牛の体重を A[i]kg(i=1,2,3,…,n)とせよ 則ちA[n]>A[n-1]>…>A[2]>A[1]の大小関係が従う D[i]=A[i+1]−A[i](i=1,2,3,…,n−1)とせよ D[i]の最小値をmとし、其の時のi(かつiの中でも最小であるもの)をpとせよ m|{D[i]|i=1,2,...n-1} 今グループA[p]の牛の1頭Xを除いて100頭の牛が総体重が等しい50頭ずつのαグループとβグループに分かれていたとせよ 此処でXの代わりにグループA[p+1]の牛の1頭Yと入れ替え、Yを除く100頭の牛の牛を総体重が等しい50頭ずつのグループに分ける操作を考えよ Yを除外する前にYはαグループに存在していたとせよ。単純にYとXを交換しただけなれば、則ちグループαの総体重がmだけ減る 2つのグループの総体重を均衡させるにはグループαの総体重をm/2kg増やし、グループβの総体重をm/2kg減らすことが必要…★ αとβグループで牛を交換する操作で此れを行う必要があるが、A[1],A[2],…,A[n]のグループ間の体重差はmの整数倍, 則ちαグループ、βグループ間でいくら牛を交換した所で★は達成され得無い 故に全ての牛の体重は同じである 174 名前：１３２人目の素数さん [2018/04/02(月) 10:30:56.56 ID:qydp8iS9.net] IMO系統の問題だね 175 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/04/02(月) 19:51:00.50 ID:UtRAneS5.net] >>168 A[1],A[2],…,A[n]のグループ間の体重差はmの整数倍というのが何故言えるのかが分からないです 176 名前：１３２人目の素数さん [2018/04/02(月) 22:04:17.89 ID:ZjjiJzGw.net] >>170 確かにmの整数倍で無い mより大きな体重差の牛を入れ替えてm/2kgの体重差を±し均衡させることは不可能という流れだろう 177 名前：１３２人目の素数さん [2018/04/02(月) 22:30:49.48 ID:ZjjiJzGw.net] >>168 いや、論理が破綻していた様だ 178 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/04/04(水) 00:46:02.74 ID:f//H+LBj.net] >>164 ちょっとだけ一般化。 問題 2n+1枚のカードが有り、全てに正整数が書かれていていて どの一枚を除いても、残り2n枚を、和が等しいn枚ずつに分けることができるとする。 この時、全てのカードには同じ正整数が書かれていることを示せ。 解答 2n+1枚の和が奇数の時、和の合計から、偶数が書かれているカードがあるとすれば、 偶数枚でないといけないが、取り除くカードとして偶数のカードを選んだとき 「どの一枚を除いても、残り2n枚を、和が等しいn枚ずつに分けることができるとする。」 ができないから、和が奇数の時は、全てのカードは奇数で無ければならない。 2n+1枚の和が偶数の時も同様の理由から、全てのカードは偶数でなければならないことがわかる。 和が正で、奇数の時は、全てのカードから１を減じ、偶数の時は、２で割る。この操作を繰り返しても、 「どの一枚を除いても、残り2n枚を、和が等しいn枚ずつに分けることができるとする。」という性質は 維持される。１を減じるか、２で割る、という操作を繰り返すと、いつかは必ず、０に到達する。 これは、最初に書かれていた正整数が、全て等しかったことを意味する。 179 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/04/04(水) 01:18:28.03 ID:EmPoqxOk.net] >>152 曲線の式を y=f(x) とする。 曲面の表面積は S[f] = ∫[0,1] 2πf(x) √{1 + [f'(x)]^2} dx, これは Ｌ[f，f'] = 2πf(x)･√{1 + [f '(x)]^2}, を Lagrangian とする変分問題。 S[f] = ∫[0,1] Ｌ[f，f '] dx を f(x) で変分すると、 δS[f] = ∫[0,1] δＬ dx = ∫[0,1] {(∂L/∂f)δf +(∂L/∂f')δf'｝dx = ∫[0,1] {(∂L/∂f）-（d/dx)(∂L/∂f')}δf dx + [ (∂L/∂f')δf ](x=0,1) 　↑　部分積分した。 f(0) と f(1) が固定されていて δf= 0（x=0，x=1）のときは右辺第２項は０ 任意の変分 δf に対して 右辺第１項が０となることから、 （∂L/∂f）-（d/dx)(∂L/∂f ') = 0,　　…　Euler-Lagrange方程式 本問では 　f(x）f "(x） - ｛f '(x)}^2 = 1, により、懸垂曲面（カテナリー） 180 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/04/04(水) 01:19:38.47 ID:KWWHvJS5.net] x^2 ≡176 (mod 353) を解け 181 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/04/04(水) 01:39:21.53 ID:EmPoqxOk.net] >>175 176 ≡ 529 = 23^2　　(mod 353) x ≡ 23，330　(mod 353) 182 名前：１３２人目の素数さん [2018/04/04(水) 07:19:54.51 ID:xFWQXFxC.net] >>174 その微分方程式の一般解はf(x)=Acosh((x+B)/A)になると思うけどどんなA,Bに対しても(0,0)は通らなくね？ 183 名前：１３２人目の素数さん [2018/04/04(水) 09:11:37.84 ID:E749QQfH.net] (0,0)-(1,0)-(1,1). 最小値π。 184 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/04/04(水) 11:07:27.37 ID:vqWKdTt9.net] >>173 素晴らしいです！ この問題が載ってた本の解答では、最軽量の牛の体重を全ての牛から引いて体重0�sの牛1頭と100頭の牛にするという手法でした 185 名前：１３２人目の素数さん [2018/04/04(水) 12:21:21.04 ID:DuTnz6IW.net] >>165 誰にでもいいから2回目に「あなたはこの質問に正直に答えますか」で良くないか？ 186 名前：１３２人目の素数さん [2018/04/04(水) 19:20:46.19 ID:EqC9nuEi.net] >>8 近大数コン問題2つの解説 競争に参加するには去年から事前申し込みが必要になった [24-437] 2005年A4 imgur.com/Fl4qnjr.jpg [23-937,24-30] 2009年A6 imgur.com/dxasE4H.jpg 本は『白熱！無差別級数学バトル』 競技数学、趣味数学の本として面白いので買おう（ダイマ） 187 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/04/05(木) 01:41:09.43 ID:nYP4IxmW.net] >>181 なんて本？ 188 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/04/05(木) 01:41:36.09 ID:nYP4IxmW.net] 追記を見逃してた。すまんかった 189 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/04/05(木) 05:22:21.39 ID:tNZmVP8T.net] x^4 ≡7 (mod 19) を解け。 190 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/04/05(木) 13:20:46.75 ID:HpOHoLwn.net] >>140 これ、x を p の有理数係数多項式で表す問題だと思ってたんだけど それでは(2)が不可能であることが証明できてしまった。 （ちなみに(1)は、上の例をずらして x=((p-2)^2-1)/8 でできる。） 以下、分母が奇数であるような分数として表せる有理数全体の集合を U とし、 2U={ 2u | u ∈ U } とする。 すなわち、2U は分母が奇数、分子が偶数であるような分数として表せる有理数全体の集合である。 [補題] f(x) を有理数係数多項式とすると、十分大きい正整数 k が存在して、 任意の整数 n に対し f(n+2^k)-f(n) ∈ 2U が成り立つ。 [証明] f(x) が単項式の場合: f(x)=ax^d とおく。 a*2^k ∈ 2U となるような正整数 k をとる。 すると、 　f(n+2^k)-f(n) = a{(n+2^k)^d-n^d} = a*2^k*(整数) ∈ 2U となる。 f(x) が一般の多項式の場合: 各項に対して上のような k をとり、その最大値をとればよい。□ [命題] x が p の有理数係数多項式であると� 191 名前：ｫ、>>140の(2)は成り立たない。 [証明] f(p) を p の有理数係数多項式とし、 　p≡±1 (mod 5) のとき (-1)^f(p)=1 　p≡±2 (mod 5) のとき (-1)^f(p)=-1 が成り立つと仮定する。 f(p) に対し、補題のように k をとる。 　5a + 2^k*b = 1 を満たすように整数 a,b をとる。すると 　5a + 1 + 2^k*b = 2 である。補題より、 　f(2) - f(5a + 1) = f(5a + 1 + 2^k*b) - f(5a + 1) ∈ 2U である。一方、仮定より f(2) は奇数、f(5a + 1) は偶数であるから、 f(2) - f(5a + 1) は奇数であり、f(2) - f(5a + 1) ∈ 2U に反する。　□ [] [ここ壊れてます] 192 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/04/05(木) 13:21:12.21 ID:HpOHoLwn.net] で、有理数係数多項式以外で何かしら綺麗に表す方法がないか探した結果、 一応次のようなものがあった。 　x=(cos(2pπ/5)-cos(2π/5))/(cos(4π/5)-cos(2π/5)) ただ、これを許してしまうと(3),(4)も三角関数と多項式補完の組み合わせですぐにできてしまうので なんだかなあという感じ。 193 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/04/05(木) 23:21:09.59 ID:DTitQ5x8.net] >>184 x^4 ≡ 7 ≡ 7 + 19*126 = 2401 = 7^4　(mod 19) (x+7)(x-7)(xx+49) ≡ 0　(mod 19) -49 ≡ 8 は平方非剰余なので x ≡ ±7　(mod 19) 194 名前：１３２人目の素数さん [2018/04/06(金) 22:34:30.05 ID:hYTmrE4N.net] 一辺1の正n角形の各辺（頂点除く）に1点ずつとって作ったn角形の周長をl(n)とする。 3/2≦l(3)　　（Fagnanoの問題の特別な場合） 2√2≦l(4)　［『美しい不等式の世界』 演2.59］ 3√3≦l(6)　［『美しい不等式の世界』 演2.60］ を示せ。 195 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/04/07(土) 11:33:38.40 ID:ozKr5R4w.net] >>188 正n角形の頂点をA_i、辺A_i A_{i+1} 上にとった点をB_i とする。（i=1,2,…,n） ∠A_i = π - 2π/n, B_{i-1｝A_i = x，A_i B_i = y とおくと、 第２余弦定理より （B_{i-1｝B_i)^2 = xx + yy +2cos(2π/n）xy 　= {cos(π/n)・(x+y)}^2 + {sin(π/n)・(x-y)}^2 　≧｛cos(π/n)・(x+y)}^2, （x+y）cos(π/n）≦ B_{i-1｝B_i ≦ x+y, １周にわたって和をとれば 　n cos(π/n）≦ I(n) ≦ n, ・別解 　参考書のp.189の図に示されているように、辺に関する鏡映を使う。 ・参考書 　佐藤淳郎（訳）『美しい不等式の世界』朝倉書店(2013) 196 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/04/07(土) 11:47:52.45 ID:ozKr5R4w.net] >>188 等号成立条件（左側）は x=y より 　nが奇数のとき　…　B_i は A_i A_{i+1｝の中点 　nが偶数のとき　…　互い違いに並ぶ 197 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/04/07(土) 14:57:33.20 ID:CMb00bLi.net] （*ﾟ∀ﾟ）=3ﾊｧﾊｧ 198 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/04/08(日) 05:24:00.36 ID:EiOPZE4m.net] (1)　p≡1 (mod 4) をみたす素数pに対して、gがpの原始根ならば、-gもpの原始根であることを示せ。 (2)　p≡1 (mod 4) をみたす素数pに対して、2はpの原始根であることを示せ。 (3)　Σ[k=1 to 2001] k^(2001) を13で割った余りを求めよ。 199 名前：￥ mailto:sage [2018/04/08(日) 06:25:22.19 ID:Q7nh09vl.net] ￥ 200 名前：￥ mailto:sage [2018/04/08(日) 06:25:43.36 ID:Q7nh09vl.net] ￥ 201 名前：￥ mailto:sage [2018/04/08(日) 06:26:02.55 ID:Q7nh09vl.net] ￥ 202 名前：￥ mailto:sage [2018/04/08(日) 06:26:23.73 ID:Q7nh09vl.net] ￥ 203 名前：￥ mailto:sage [2018/04/08(日) 06:26:51.24 ID:Q7nh09vl.net] ￥ 204 名前：￥ mailto:sage [2018/04/08(日) 06:27:22.72 ID:Q7nh09vl.net] ￥ 205 名前：￥ mailto:sage [2018/04/08(日) 06:27:50.60 ID:Q7nh09vl.net] ￥ 206 名前：￥ mailto:sage [2018/04/08(日) 06:28:17.09 ID:Q7nh09vl.net] ￥ 207 名前：￥ mailto:sage [2018/04/08(日) 06:28:38.67 ID:Q7nh09vl.net] ￥ 208 名前：￥ mailto:sage [2018/04/08(日) 06:29:05.31 ID:Q7nh09vl.net] ￥ 209 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/04/09(月) 22:05:46.90 ID:3IHyrdU+.net] >>192の続き (4)　2^n + n^2 (n∈N、n≧2)が素数ならば、n≡3 (mod 6) を示せ。 (5)　x≡1 (mod 24)、ab=x (a、b∈N) のとき、24 | a+b を示せ。 (6)　m^2 + n、m^2 - n (m、n∈N) がともに平方数ならば、24 | m を示せ。 (7)　1111^6666 + 2222^5555 + 3333^4444 + 4444^3333 + 5555^2222 + 6666^1111 を7で割った余りを求めよ。 210 名前：１３２人目の素数さん [2018/04/09(月) 22:22:00.84 ID:uw9d+xOY.net] 24|(a-b). 211 名前：１３２人目の素数さん [2018/04/10(火) 10:55:04.05 ID:Hhk3lh1l.net] 24| 212 名前：n. [] [ここ壊れてます] 213 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/04/11(水) 01:14:00.27 ID:ixEOJ+I8.net] >>192 (1) 　フェルマーの小定理 g^(p-1）≡ 1（mod p）より　g^{(p-1)/2｝= ±1（mod p) 　gがＦpの原始根　⇔　g^{(p-1)/2｝≠ 1（mod p）⇔　g^{(p-1)/2｝≡ -1（mod p) 　題意より p≡1 (mod4)，(-1)^{(p-1)/2｝= 1 だから、(-g)^{(p-1)/2｝= g^{(p-1)/2} (2) p ≡ ±1 (mod 8）のとき2は平方剰余だからＦpの原始根でない。しかし 　　p ≡ ±3（mod 8）のとき2は平方非剰余だがＦpの原始根とは限らない。｛2^14≡1（mod 43)} (3) 　k^2001 = k^(12*166)・k^9 ≡ k^9 (mod 13) 　Σ[k=0,13-1] k^9 = 0^9 + Σ[k=1,6] {k^9 + (13-k)^9} ≡ Σ[k=1,6] (k^9 - k^9) = 0 (mod 13) 　Σ[k=0,2001] k^9 = Σ[k=0,13*154-1] k^9 ≡ 0 (mod 13) 214 名前：１３２人目の素数さん [2018/04/11(水) 02:11:52.51 ID:qdN2rXjI.net] 偶数の逆数 の 偶数個の和 で1を表すのは可能（1/2+1/2=1） 偶数の逆数 の 奇数個の和 で1を表すのは可能（1/2+1/4+1/4=1） 相異なる偶数の逆数 の 偶数個の和 で1を表すのは不可能（∵1未満になる） 相異なる偶数の逆数 の 奇数個の和 で1を表すのは不可能（∵同上） 奇数の逆数 の 偶数個の和 で1を表すのは【A】（∵【B】） 奇数の逆数 の 奇数個の和 で1を表すのは可能（1/3+1/3+1/3=1） 相異なる奇数の逆数 の 偶数個の和 で1を表すのは【A】（∵【B】） 相異なる奇数の逆数 の 奇数個の和 で1を表すのは【C】（【D】） 215 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/04/11(水) 02:19:04.46 ID:ixEOJ+I8.net] >>203 (4) 2^n は偶数だから nは奇数に限る。 　　n = 6m±1 のとき、2^n + n^2 ≡ 8 + 1 = 9 (mod 12) ゆえ3の倍数。 　　∴ n = 6m+3. (5)　ab ≡ 1 (mod 24) より、a，b は正則元（24と互いに素） 　正則元｛±1，±5，±7，±11｝は位数がすべて2 　　aa ≡ bb ≡ 1　(mod 24) 　　24｜(a-b) 　 (7)　 　1111^6666 ≡ 1111^0 = 1, 　2222^5555 ≡ 3^5 ≡ -2, 　3333^4444 ≡ 1^4 = 1, 　4444^3333 ≡ (-1)^3 = -1, 　5555^2222 ≡ (-3)^2 ≡ 2, 　6666^1111 ≡ 2^1 = 2 　(mod 7) より、3 216 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/04/11(水) 02:23:45.86 ID:ixEOJ+I8.net] >>208　訂正 　 (5) 　1以外の正則元は位数が2 217 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/04/11(水) 15:27:22.39 ID:BsknsPEs.net] >>203 死んでお詫びを。 誤 (6)　24 | m を示せ。 正 (6)　24 | n を示せ。 218 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/04/12(木) 10:08:16.60 ID:TgaFEakF.net] >>8 >>181 〔類題〕 3^k + 4^l + 5^m = 6^n を満たす非負整数の組 (k，l，m，n) をすべて求めよ。 (3,3,3,3) (3,1,1,2) (0,1,0,1) 219 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/04/12(木) 15:16:06.76 ID:TgaFEakF.net] >>181 の続き Aが大阪市 の場合 θ_A = 35．69ﾟN φ_A = 135．50ﾟE 大円Oの法線ｎは、 経度φ_A = 135．50ﾟE、南緯54．31ﾟS の海面を向く。 大円Oの方程式は ｎ・ｒ = 0, 経度φの経線上では |φ-φ_A| ≦ 90ﾟ のとき　北緯 Arctan(γcos(φ-φ_A)) N |φ-φ_A| ≧ 90ﾟ のとき　南緯 Arctan(-γcos(φ-φ_A)) S をとおる。ここに、γ = tan(θ_A) = tan(35．69ﾟ) = 0．7184 220 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/04/12(木) 15:23:48.18 ID:TgaFEakF.net] >>212 修正 Aが大阪市 の場合 θ_A = 34．69ﾟN 大円Oの法線ｎは、…　南緯55．31ﾟS の海面を向く。 ここに、γ = tan(θ_A) = tan(34．69ﾟ) = 0．69225 221 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/04/12(木) 15:47:43.51 ID:FlEPV0Tu.net] >>207 1/2+1/4+1/6+1/12=1 1/2+1/4+1/6+1/18+1/36=1 A:不可能、B:分母を払えば左辺が偶数、右辺が奇数となり矛盾するため。 C:可能。D:1/1=1. もしくは 1=(1/3+1/5+1/7+1/9+1/15+1/21+1/105)(1/1+1/11)+1/385+1/495+1/693. 222 名前：１３２人目の素数さん [2018/04/12(木) 17:15:57.35 ID:Mo9lTPQZ.net] >>214 確かに 相異なる偶数の逆数 の 偶数個の和 で1を表す 相異なる偶数の逆数 の 奇数個の和 で1を表す は両方可能ですね… なぜか2のべきの逆数を考えていました A,B,C,D正解 Dは9個の和である 1/3+1/5+1/7+1/9+1/11+1/15+1/35+1/45+1/231=1 を用意していた 223 名前：￥ mailto:sage [2018/04/14(土) 04:54:24.84 ID:bAtIsTge.net] ￥ 224 名前：￥ mailto:sage [2018/04/14(土) 04:54:43.45 ID:bAtIsTge.net] ￥ 225 名前：￥ mailto:sage [2018/04/14(土) 04:55:00.62 ID:bAtIsTge.net] ￥ 226 名前：￥ mailto:sage [2018/04/14(土) 04:55:20.26 ID:bAtIsTge.net] ￥ 227 名前：￥ mailto:sage [2018/04/14(土) 04:55:42.71 ID:bAtIsTge.net] ￥ 228 名前：￥ mailto:sage [2018/04/14(土) 04:56:06.07 ID:bAtIsTge.net] ￥ 229 名前：￥ mailto:sage [2018/04/14(土) 04:56:25.45 ID:bAtIsTge.net] ￥ 230 名前：￥ mailto:sage [2018/04/14(土) 04:56:48.31 ID:bAtIsTge.net] ￥ 231 名前：￥ mailto:sage [2018/04/14(土) 04:57:11.45 ID:bAtIsTge.net] ￥ 232 名前：￥ mailto:sage [2018/04/14(土) 04:57:37.70 ID:bAtIsTge.net] ￥ 233 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/04/14(土) 23:00:50.00 ID:EFpCaC7z.net] 奇数の完全数Xは平方数にはならないので、すべての約数の個数が偶数個になる。だから、X自身以外の約数の和は完全数だからXであり、それをXで割れば、各項は分子が1で分母が奇数の和であり、合計は1になる。つまり、この奇数個の相異なる奇数の逆数の和は1になる。 だから、奇数個の相異なる奇数で逆数の和が1になるものを見つけたければ奇数の完全数を見つけてくれば簡単に求まる。 楽勝だな。 234 名前：１３２人目の素数さん [2018/04/15(日) 04:31:16.64 ID:fBnHdB0x.net] 今この板で話題のネタはNG 235 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/04/15(日) 05:26:49.63 ID:daJLkWTC.net] >>227 今元気な奇数の完全数屋がいたのかｗ 236 名前：１３２人目の素数さん [2018/04/15(日) 11:22:36.90 ID:LGgAg+xm.net] Σ[n=1〜∞] 1/(n^2 -n -1) の値を求めよ 237 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/04/15(日) 14:33:10.20 ID:MMDE1Y6Y.net] >>229 n^2-n-1はn=1/2で対称なのでΣ[n=1,∞]1/(n^2-n-1)=(1/2)Σ[n=-∞,∞]1/(n^2-n-1) f(z)=πcot(πz)/(z^2-z-1)と置いて (1-i)(N+1/2),(1+i)(N+1/2),(-1+i)(N+1/2),(-1-i)(N+1/2)を頂点とする正方形の周囲を 反時計回りに回る積分∫[C]を考えると、留数定理より ∫[C]f(z)dz = Res[z=(1-√5)/2]f(z)+Res[z=(1+√5)/2]f(z)+Σ[n=-N,N]Res[z=(1-√5)/2]f(z) =-πcot(π(1-√5)/2)/√5+πcot(π(1+√5)/2)/√5+Σ[n=-N,N]1/(n^2-n-1) =-2πtan(π√5/2)/√5+Σ[n=-N,N]1/(n^2-n-1) ここでN→∞とすると、C上で|f(z)|=O(1/N^2)だから|∫[C]f(z)dz|→0 したがって Σ[n=1,∞]1/(n^2-n-1)=πtan(π√5/2)/√5 238 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/04/15(日) 15:26:52.87 ID:ZO3/JPf/.net] >>229 　a>0 として Σ[n=1,∞] 1/{nn-n+(1/4-aa)} = Σ[n=1,∞] 1/{(n-1/2-a)(n-1/2+a)} = (1/2a)Σ[n=1,∞] {1/(n-1/2-a) - 1/(n-1/2+a)} = (π/2a)tan(πa), 239 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/04/15(日) 21:21:21.49 ID:ZO3/JPf/.net] >>231 (蛇足) 　S(a) = Σ[m∈Z] 1/(m -k/2 -a)　｛|m| の小さい順にたす｝ 　= (π/2a)tan(πa)　　(a>0) 　= ππ/2　　　(a=0) a>0，k∈Z として Σ[n=1，∞] 1/{nn-kn+(kk/4-aa)} = Σ[n=1，∞] 1/{(n-k/2-a)(n-k/2+a)} = (1/2a)Σ[n=1，∞] {1/(n-k/2-a) - 1/(n-k/2+a)}, k=1 のとき = S(a), k<1 のとき = S(a) - Σ[m=0，|k|] 1/(m+k/2-a), k>1 のとき = S(a) + Σ[m=1，k-1] 1/(m-k/2-a), 240 名前：１３２人目の素数さん [2018/04/16(月) 04:41:29.91 ID:0tJfbhfE.net] ストローに穴はいくつある？ 0？1つ？2つ？ 241 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2018/04/16(月) 15:52:07.44 ID:Cr9cwYX2.net] >>203 > (5)　x≡1 (mod 24)、ab=x (a、b∈N) のとき、24 | a+b を示せ。 >>208 > (5)　ab ≡ 1 (mod 24) より、a，b は正則元（24と互いに素） > 　正則元｛±1，±5，±7，±11｝は位数がすべて2 > 　　aa ≡ bb ≡ 1　(mod 24) > 　　24｜(a-b) 解答の３行目から、いきなり４行目の結論が出せるん？ ３行目から、(a+b)(a-b) ≡ 0　(mod 24) が得られて、 そこから a-b ≡ 0　(mod 24) って言えるの？ 法24に対して零因子になっていることはないのかな？ 242 名前：１３２人目の素数さん [2018/04/16(月) 16:00:26.90 ID:gRqM/Sq4.net] >>234 そもそも問題間違ってない？ a=b=x=1のとき x≡1 (mod 24)、ab=x (a、b∈N) だけど 24 | a+b にならん希ガス

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