- 307 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む mailto:sage [2018/01/09(火) 07:12:23.59 ID:Xw3gWI4S.net]
- >>278
どうも。スレ主です。
レスありがとう
>Ｘはある空でない集合として固定されてなければならないはず
うーんと、下記で
・定義1.2 (X,O) は、「S は内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる」の定義のために使った
・定理1.7で、”もしR−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば”とあるので、X＝R、位相Oは通常のアルキメデス距離から決まる位相と解せられる
・この後、”証明 仮定から, 高々可算無限個の閉集合Ai ⊆ Rが存在して, 各Aiは内点を持たず, しかもR−Bf ⊆∪i Aiが成り立つ (1) ”としている
・なので、この証明中では、”X＝R、位相Oは通常のアルキメデス距離から決まる位相”で、完結していると思いますが。
（引用）
(>>178)
定義1.2 (X,O) は位相空間とする. S ⊆ X は, 高々可算無限個の閉集合Fi ⊆ X が存在して,
・ 各Fiは内点を持たない,
・ S ⊆∪i Fi
が成り立っているとする. このとき,「S は内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる」と書
くことにする.
(>>180)
定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }
と置く: もしR−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、 f はある開区間の
上でリプシッツ連続である．
(>>181)
証明
仮定から, 高々可算無限個の閉集合Ai ⊆ Rが存在して, 各Aiは内点を持たず, しかもR−Bf ⊆∪i Aiが成り立つ (1)
(引用終り)
以上
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