- 196 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む mailto:sage [2018/01/05(金) 00:10:46.45 ID:miqaDy4s.net]
- >>185 つづき
が成り立つようなy, z ∈ R に対して
｜f(z) − f(y)｜ <= ｜f(z) − f(x)｜ + ｜f(x) − f(y)｜ <= N｜z − x｜ + N｜x − y｜ = N(z − y) (＊)
という計算を行えばよい. これはつまり, 補題1.5 そのものである. これでf(x) が出現しなくなる
ので,
BN,M :={x ∈ R ｜ ∀y, z ∈ R[x − 1/M < y < x < z < x +1/M → ｜f(z) − f(y)｜ <= N(z − y)] }
と置けば希望が見えてくる. そして, これで実際に上手く行くのだった. ちなみに, 自分が(＊) の計
算に辿り着いたのは元ネタがある. それは, 次のような補題である.
補題(straddle lemma)
f : R → R は点x ∈ R で微分可能とする. このとき, 次が成り立つ.
∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀y, z ∈ R
[ x − δ <= y <= x <= z <= x + δ)→ ｜f(z) − f(y) − f’(x)(z − y)｜ <= ε(z − y) ] .
この補題がstraddle (またぐ・またがる) と呼ばれているのは, y とz を「x をまたぐように取る」
からである. そして, (＊) の計算は, この補題の証明と同じ考え方を適用したに過ぎない.
結局, 全体としては, 極めてオーソドックスかつ簡単な議論で定理1.7 が証明できたことになる.
QED
以上
|
 |
