- 310 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/12/19(火) 18:03:55.90 ID:bELCiM4Y.net]
- (>>289の続き)
[命題] Iを開区間とする。任意のIの有理点で不連続、かつ任意のIの無理点で微分可能となる実関数 f(x) は存在しない。
証明) [第６段]：Iを定義域とし、任意のIの有理点で不連続、かつ任意のIの無理点で微分可能となる実関数 f(x) が存在するとする。
すると、上で示した命題の対偶を取って考えると、連結な距離空間 R から誘導される通常の位相について、
高々1個の正の実数εに対し、高々2個のIの異なる有理点 a,b に対してそれぞれ定まって得られるような、
連結距離空間 R 上の閉区間 [a−ε, a＋ε]、[b−ε, b＋ε] を完全集合とすることは出来ない。
つまり、連結な距離空間 R から誘導される通常の位相について、高々1個の正の実数εに対し、高々2個のIの異なる有理点 a,b に対して
それぞれ定まって得られるような、連結距離空間 R 上の閉区間 [a−ε, a＋ε]、[b−ε, b＋ε] を完全集合とはならない。
しかし、連結な距離空間 R から誘導される通常の位相について、連結距離空間 R 上の閉区間は完全集合である。
従って、連結な距離空間 R から誘導される通常の位相について、任意の正の実数εに対し、任意のIの異なる2個の有理点 a,b に対して
それぞれ定まって得られるような、連結距離空間 R 上の閉区間 [a−ε, a＋ε]、[b−ε, b＋ε] は完全集合となる。
これは矛盾である。背理法が適用出来るから、任意のIの有理点で不連続、かつ任意のIの無理点で微分可能となる実関数 f(x) は存在しない。
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