- 577 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/11/24(金) 12:27:01.13 ID:oy9GryqM.net]
- (>>530の続き)
1)：q≧k のとき。このとき、1/(q^{n+1})＜|a−p/q|＜1/q^n となる。
2)：q＜k のとき。cの定義から、k＞q≧c≧2 であり、1/(k・q^n)＜|a−p/q|＜1/c^n≦1/2^n、
従って、高々有限個の J(n,a) の両方共に或る (p',q')＝1 なる正整数 p', q' を用いて表された
有理数 p'/q' が存在して、1/( (q')^{n+1} )＜|a−p'/q'|＜1/(q')^n となる。
1)、2)から、nに対して高々有限個の J(n,a) の両方共に或る (p_n, q_n)＝1 なる
正整数 p_n, q_n を用いて表された既約分数 p_n/q_n が定まって、各 (p_n, q_n) について
p＝p_n, q＝q_n と略記することにすれば、高々有限個の J(n,a) の
有理数 p/q が定まって、1/( q^{n+1} )＜|a−p/q|＜1/q^n となる。
正整数nは任意であるから、nを条件 n≧1 の下で走らせれば、任意の正整数nに対して、同様なことが成り立つ。
[第２段]：任意の正整数nに対して、高々有限個の J(n,a) の両方共に或る (p,q)＝1 なる正整数 p,q を用いて表された
有理数 p/q が定まって、1/( q^{n+1} )＜|a−p/q|＜1/q^n となるとする。このとき、任意の正整数nに対して
0＜|a−p/q|＜1/q^n なる J(n,a) の有理数 p/q が存在するから、超越数 a∈R はリウビル数である。
[第３段]：これで命題は示された。
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