- 746 名前：現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/09/30(土) 15:39:45.98 ID:RVfojIiC.net]
- >>697 つづき
>>657
>>>（注：標準的自然数と非標準的自然数の明確な境界は存在しない）
>>明確に境界は存在するよ。
>>それは、まず、定義するかどうかから始まるよ。
>
>如何なる定義でも存在し得ません>
>証明して見せましょう
>
>もし。明確な境界、つまり最小の非標準的自然数ｘが存在するとしましょう
>このときｘ−１は標準的自然数となりますが、いかなる標準的自然数も
>それに１を足したものは標準的自然数なので矛盾します
これも必死の論点ずらし、乙です（＾＾
”（注：標準的自然数と非標準的自然数の明確な境界は存在しない）”という、自分の哲学的表現を、数学の定理にしたわけか？（＾＾
笑えるよ。その証明に、なんの意味がある？
境界を、ある集合Ｕにおいて、元ｘ∈Ｕに対し、ｘと他を分ける元ａと定義する
順序集合としての自然数Ｎにおいて、元２∈Ｎに、境界は存在しない。∵２と１の間に元は存在せず、２と３の間にも元は存在しないから。（離散集合の場合）
順序集合としての実数Ｒにおいて、元２∈Ｒに、明確な境界は存在しない。∵２と他の元２±εの間にも、必ずそれ以外の元は存在するから。（連続集合の場合）
だから、離散集合、連続集合とも、あるの集合の一つの元について、上記定義の”境界”という概念は、殆ど数学的意味を持たない
とこで、現代数学においては、デデキント以来の伝統で、”数の概念を集合に拡張する”ということが行われる
有名なところで、イデアルという概念がある。小学生向けには、約数の概念を集合に拡張したと思えば良い。デデキント切断もそうだと言われる
そうすると、“境界”概念を集合（のセット）まで拡張すれば、
（簡単のために 負を除いて、0=<r∈Ｒとして） [0,2)と[2,∞)の集合セット、及び、 [0,2]と(2,∞)の集合セットとして、これを“元２”の左右境界とすることができる。
この場合、境界は必ずしも実数Ｒの元でなくとも良い。自然数の集合Ｎでも同様だ
つづく
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