- 47 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/09/03(日) 13:46:33.03 ID:bEBpcPP5.net]
- 2-2)；r＞0 のとき。n個から重複を許さずにr個を選び組合せる場合の数を C(n,r) とする。
同じn個から重複を許さずに r+1 個を選び組合せる場合の数を C(n,r+1) とする。
合計n個の中から重複を許さずにr個を選び組合せて
更に同じn個の中から重複を許さずに r+1 個を選び組合せる場合の数をXとする。
合計 2n 個の中の n+1 個から重複を許して 2r+1 個選ぶときに
2n 個の中の n+1 個から重複を許さずに r+1 個を選び組合せる場合の数をYとする。
C(n,r) の定義から、C(n,r)＝nCr 通り。また、同様に C(n,r+1) の定義から、C(n,r+1)＝nC(r+1) 通り。
故に、C(n,r)、C(n,r+1)、Xの定義から、X＝C(n,r)＋C(n,r+1)＝nCr＋nC(r+1) 通り。
Xの定義から、Xは合計が同じn個を重複を許して2回考えたときの個数 n+n＝2n 個の中から、
丁度 r+1 個が重複を許さないように考えてからその丁度 r+1 個を選び組合せることで定義される。
同様に、Yの定義から、Yは 2n 個の中から丁度 r+1 個が重複を許さずに選び組合せることで定義される。
よって、X、Yの定義から X＝Y。Yの定義から、Y＝(n+1)C(r+1) 通り。故に、nCr＋nC(r+1)＝(n+1)C(r+1) を得る。
2-1)、2-2)については、2以上の整数nを任意に取ってから n＞r≧0 なる非負整数rを任意に取ったことになるから、
n＞r≧0 なる非負整数rを走らせてから2以上の整数nを走らせればよい。
1)、2)から、証明終わり。
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