- 104 名前：現代数学の系譜 物理工学雑談 古典ガロア理論も読む mailto:sage [2017/08/27(日) 13:44:33.82 ID:iIK8Y/8u.net]
- >>90
おっちゃん、どうも、スレ主です。
>非線形偏微分方程式で表される現象の方がかなり多いと思う。
下記だな
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%81%8F%E5%BE%AE%E5%88%86%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F
偏微分方程式
(抜粋)
非線型偏微分方程式[編集]
以上の例はすべて、 与えられた線形作用素 A と既知関数 f によって、Aψ = f という形に表されるという意味で線型である。 重要な非線型方程式には、
流体を記述するナビエ-ストークス方程式
一般相対性理論におけるアインシュタインの場の方程式
非線形波動を記述するKdV方程式
クレローの方程式
非線形シュレディンガー方程式
などがある。
解法[編集]
線型偏微分方程式は基底関数の集合で未知関数を展開することにより一般的に解かれる事が多い（たとえば正弦波関数を使ったフーリエ級数展開）。展開した個々の解の線型結合がもとの方程式の解である。変数分離法はいくつかの重要な特別の応用をもつ。
非線型な微分方程式には一般に通用する解法というものは存在せず、実際に多くの微分方程式がまったく解析的には解くことが出来ない。しかしながら、いくつかのタイプの方程式には使える方法というのがある。たとえば、ホモトピー原理は過少決定性の方程式系を解くための非常に強力な方法である。
ある場合には、偏微分方程式は解が、解の知られているある方程式の修正であると考えることで摂動解析によって解くことが出来る。別な方法として、単純な有限差分スキームから複雑なマルチグリッド法や有限要素法に至るまでの数値解析の手法が挙げられる。
科学や工学における多くの興味深い問題は高性能のスーパーコンピュータを用いてこのような方法で解かれる。
fill in: ディリクレ-ノイマン境界、双曲的/放物的/楕円的変数分離、フーリエ解析、グリーン関数
(引用終り)
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