- 1 名前：１３２人目の素数さん [2017/08/06(日) 19:43:43.46 ID:Yz98zcu8.net]
- 過去ログ
www3.tokai.or.jp/meta/gokudo-/omoshi-log/
まとめwiki
www6.atwiki.jp/omoshiro2ch/
1 cheese.2ch.net/test/read.cgi/math/970737952/
2 natto.2ch.net/test/read.cgi/math/1004839697/
3 science.2ch.net/test/read.cgi/math/1026218280/
4 science.2ch.net/test/read.cgi/math/1044116042/
5 science.2ch.net/test/read.cgi/math/1049561373/
6 science.2ch.net/test/read.cgi/math/1057551605/
7 science2.2ch.net/test/read.cgi/math/1064941085/
8 science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1074751156/
9 science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1093676103/
10 science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1117474512/
11 science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1134352879/
12 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1157580000/
13 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1183680000/
14 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1209732803/
15 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1231110000/
16 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1254690000/
17 kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1284253640/
18 kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1307923546/
19 uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1320246777/
20 wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1356149858/
21 wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1432255115/
22 rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1464521266/
23 itest.2ch.net/rio2016/test/read.cgi/math/1497416499/
- 331 名前：￥ mailto:sage [2017/08/20(日) 06:20:21.97 ID:vRIJh8/a.net]
- ￥
- 332 名前：￥ mailto:sage [2017/08/20(日) 06:20:39.93 ID:vRIJh8/a.net]
- ￥
- 333 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/08/20(日) 08:40:11.59 ID:CA5pAFRj.net]
- 前々スレの>>797で出てきた距離空間(Y,D)について、A∈Yを中心とした半径rの開球を U(A,r)と表記する。
非可算で非交和なT字(と同相な図形)の集合をΛとおき、
各λ∈Λに対して
ε_λ = sup{ε≧0 | U(λ,ε)∩Λ は高々可算 }
と定めると、距離空間(Y,D)の第二可算性、すなわち強リンデレフ性より、
∪(U(λ,ε_λ)∩Λ)
λ∈Λ
ε_λ>0
は、高々可算な部分被覆
∪(U(λ,ε_λ)∩Λ)
λ∈Λ'
を持つ。
Λ''=Λ＼Λ'
とおけば、任意のλ∈Λ''とε>0について
U(λ,ε)∩Λ''
は非可算となることがわかる。
- 334 名前：１３２人目の素数さん [2017/08/20(日) 12:49:07.23 ID:JLMgw50d.net]
- >>331
位相は軽く知識は入れたがまだ使いこなせるレベルではないのだが...
Λ'と相異なる集合を持ってきて非可算だから矛盾とはならない気がしている
- 335 名前：￥ mailto:sage [2017/08/20(日) 13:30:53.58 ID:vRIJh8/a.net]
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- 336 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/08/20(日) 13:34:52.13 ID:xe9ko7E/.net]
- >>318
ありがとう、そっちの方が、わかりがいいね
- 337 名前：￥ mailto:sage [2017/08/20(日) 13:55:26.27 ID:vRIJh8/a.net]
- ￥
- 338 名前：￥ mailto:sage [2017/08/20(日) 13:55:44.79 ID:vRIJh8/a.net]
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- 339 名前：￥ mailto:sage [2017/08/20(日) 13:56:01.71 ID:vRIJh8/a.net]
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- 340 名前：￥ mailto:sage [2017/08/20(日) 13:56:18.34 ID:vRIJh8/a.net]
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- 341 名前：￥ mailto:sage [2017/08/20(日) 13:56:36.83 ID:vRIJh8/a.net]
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- 342 名前：￥ mailto:sage [2017/08/20(日) 13:56:52.08 ID:vRIJh8/a.net]
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- 343 名前：￥ mailto:sage [2017/08/20(日) 13:57:07.94 ID:vRIJh8/a.net]
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- 344 名前：￥ mailto:sage [2017/08/20(日) 13:57:23.82 ID:vRIJh8/a.net]
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- 345 名前：￥ mailto:sage [2017/08/20(日) 13:57:41.83 ID:vRIJh8/a.net]
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- 346 名前：￥ mailto:sage [2017/08/20(日) 13:57:59.07 ID:vRIJh8/a.net]
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- 347 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/08/20(日) 14:58:03.66 ID:3G28KL4V.net]
- >>332
うん。まだ矛盾までは行ってない。
ただ、もしある非可算なΛが存在するとしたら、その部分集合Λ''で
任意のλ∈Λ''がΛ''の非可算個の点の集積点になっているようなものが存在する、ということ。いくらでも近い点が欲しい時に使えるかもと思って示した
- 348 名前：￥ mailto:sage [2017/08/20(日) 15:29:18.95 ID:vRIJh8/a.net]
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- 349 名前：１３２人目の素数さん [2017/08/20(日) 21:22:40.84 ID:JLMgw50d.net]
- まあ無事解決されたようだね...
2つの自然数n,mがある。
- 350 名前：
n,mを素数pで割った余りをn_p,m_pとして、
全ての素数pに対しn_p≦m_pとなる時、n=mとなる事を証明せよ。 [] - [ここ壊れてます]
- 351 名前：￥ mailto:sage [2017/08/20(日) 22:02:16.00 ID:vRIJh8/a.net]
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- 352 名前：￥ mailto:sage [2017/08/20(日) 22:39:23.16 ID:vRIJh8/a.net]
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- 353 名前：￥ mailto:sage [2017/08/20(日) 22:39:39.85 ID:vRIJh8/a.net]
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- 354 名前：￥ mailto:sage [2017/08/20(日) 22:39:55.32 ID:vRIJh8/a.net]
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- 355 名前：￥ mailto:sage [2017/08/20(日) 22:40:11.57 ID:vRIJh8/a.net]
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- 356 名前：￥ mailto:sage [2017/08/20(日) 22:40:29.56 ID:vRIJh8/a.net]
- ￥
- 357 名前：￥ mailto:sage [2017/08/20(日) 22:40:50.06 ID:vRIJh8/a.net]
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- 358 名前：￥ mailto:sage [2017/08/20(日) 22:41:05.02 ID:vRIJh8/a.net]
- ￥
- 359 名前：￥ mailto:sage [2017/08/20(日) 22:41:20.69 ID:vRIJh8/a.net]
- ￥
- 360 名前：￥ mailto:sage [2017/08/20(日) 22:41:37.99 ID:vRIJh8/a.net]
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- 361 名前：306 mailto:sage [2017/08/20(日) 23:23:56.50 ID:PI3mCvs6.net]
- >>319
思うんだけど、Tと同相な図形まで一般化すると、反例がでてくるのかも
まだあんまり確かめてないからわからんけど、角度とかないぐらい二本の直線の間を狭めればなんかできそうな
- 362 名前：￥ mailto:sage [2017/08/20(日) 23:34:29.67 ID:vRIJh8/a.net]
- ￥
- 363 名前：１３２人目の素数さん [2017/08/20(日) 23:47:37.52 ID:UScuK3/3.net]
- 同相なら「の形でもいいから、左上の点を対角線上に配置するようにすれば非可算個いけるはず
- 364 名前：306 mailto:sage [2017/08/21(月) 00:12:01.62 ID:QeouXuhX.net]
- さっきちょっと考えたのは例えば、
p>1に対して
（-1,1）上のx^pのグラフと、
（0,1上の）x^p+e^｛-1/x｝のグラフを合わせたもの
掛けたりlogにしたりの調整は必要かもしれないが、これならpを動かして非可算個かけるんじゃないかと思ってる
まとまったらまた
- 365 名前：306 mailto:sage [2017/08/21(月) 00:12:48.39 ID:QeouXuhX.net]
- >>360
棒はTとは同型にならないんじゃないか？
- 366 名前：306 mailto:sage [2017/08/21(月) 00:12:59.33 ID:QeouXuhX.net]
- 同型じゃないや同相
- 367 名前：306 mailto:sage [2017/08/21(月) 00:32:23.39 ID:QeouXuhX.net]
- 実数には無限小はないから、二本の線分の角度をどんなに小さくとって重ねていこうとしても、稠密性から有理数と対応ついちゃってだめだけど
実数パラメータpに対応するx^pに対してならlogxみたいなある意味無限小に対応するものがあるので、議論を正当化できる、みたいな
実際線分に限定する時点で自由度はある意味でℵ_2からℵ_1におちてるので、曲線を自由に取れる場合にはℵ_2のままなので非可算個書けるというのは自然な帰結かもしれない
- 368 名前：１３２人目の素数さん [2017/08/21(月) 00:53:24.66 ID:cODrTQNN.net]
- >>362
いや棒じゃなくて「ね
Lでもいいけど
- 369 名前：￥ mailto:sage [2017/08/21(月) 01:12:37.37 ID:zqnQwMkT.net]
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- 370 名前：￥ mailto:sage [2017/08/21(月) 01:12:58.69 ID:zqnQwMkT.net]
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- 371 名前：￥ mailto:sage [2017/08/21(月) 01:13:16.81 ID:zqnQwMkT.net]
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- 372 名前：￥ mailto:sage [2017/08/21(月) 01:13:35.13 ID:zqnQwMkT.net]
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- 373 名前：￥ mailto:sage [2017/08/21(月) 01:13:52.84 ID:zqnQwMkT.net]
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- 374 名前：￥ mailto:sage [2017/08/21(月) 01:14:10.78 ID:zqnQwMkT.net]
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- 375 名前：￥ mailto:sage [2017/08/21(月) 01:14:27.54 ID:zqnQwMkT.net]
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- 376 名前：￥ mailto:sage [2017/08/21(月) 01:14:46.69 ID:zqnQwMkT.net]
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- 377 名前：￥ mailto:sage [2017/08/21(月) 01:15:03.65 ID:zqnQwMkT.net]
- ￥
- 378 名前：￥ mailto:sage [2017/08/21(月) 01:15:21.78 ID:zqnQwMkT.net]
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- 379 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/08/21(月) 07:58:20.65 ID:7qnBXiRY.net]
- >>365
なんだこいつ
棒と「 と L は同相だろ
んで棒と T は同相ではない
(よって 「 と T は同相ではなく、L と T は同相ではない)
- 380 名前：￥ mailto:sage [2017/08/21(月) 08:21:09.79 ID:zqnQwMkT.net]
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- 381 名前：306 mailto:sage [2017/08/21(月) 10:32:18.57 ID:mBbzGmPU.net]
- >>361
>>364
やっぱりこの方法じゃ駄目でした…
よく考えてみたら連続関数は自由度ℵ_1 ですしね
ちょっと難しい問題なのでまた答えがわかるまでおいて置きます
- 382 名前：￥ mailto:sage [2017/08/21(月) 10:37:28.93 ID:zqnQwMkT.net]
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- 383 名前：￥ mailto:sage [2017/08/21(月) 12:37:17.02 ID:zqnQwMkT.net]
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- 384 名前：￥ mailto:sage [2017/08/21(月) 12:37:33.44 ID:zqnQwMkT.net]
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- 385 名前：￥ mailto:sage [2017/08/21(月) 12:37:49.82 ID:zqnQwMkT.net]
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- 386 名前：￥ mailto:sage [2017/08/21(月) 12:38:06.90 ID:zqnQwMkT.net]
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- 387 名前：￥ mailto:sage [2017/08/21(月) 12:38:24.28 ID:zqnQwMkT.net]
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- 388 名前：￥ mailto:sage [2017/08/21(月) 12:38:42.29 ID:zqnQwMkT.net]
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- 389 名前：￥ mailto:sage [2017/08/21(月) 12:38:59.79 ID:zqnQwMkT.net]
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- 390 名前：￥ mailto:sage [2017/08/21(月) 12:39:16.51 ID:zqnQwMkT.net]
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- 391 名前：￥ mailto:sage [2017/08/21(月) 12:39:33.80 ID:zqnQwMkT.net]
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- 392 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/08/21(月) 12:48:33.20 ID:EUiKP99w.net]
- >>297の解決の糸口になるかも知れないから一応書いておく。
結論から言うと、『存在しない』が答だと思う。
(証明)
X=[0,1]^2 とおく。X上の文字Tを
T={(x,y)∈X | y=0 または x=1/2 }
とおき、Xの閉集合でTと同相なもの全体からなる集合をYとおく。
Y上の距離Dを
D(A,B) = inf_[同相写像ψ:A→B] max_[a∈A] d(a,ψ(a))
により定める。 …(★0)
この時、距離空間(Y,D)は第二可算
- 393 名前：公理を満たす。 …(★1)
Yの部分集合Λについて、Λのどの異なる2つの元も共通部分を持たないならば、Λの各元は孤立点である。 …(★2)
(★1)と(★2)より、Λは可算集合でなければならない。□
★0が実際に距離を定めることは確認したから、あとは★1と★2が示せたら証明が完成する。
★1はおそらく、有理点を頂点に持つ有限な折れ線をうまく使えば、可算で稠密な部分集合を構成できると思う。
★2は、どんなλ∈Λについても、ε>0を十分小さくとれば ( D(λ,y)<ε ならば λ∩y≠φ ) が成り立つ、という方法が吉かと [] - [ここ壊れてます]
- 394 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/08/21(月) 12:50:04.43 ID:EUiKP99w.net]
- 『存在しない』じゃない、『不可能』ね
- 395 名前：￥ mailto:sage [2017/08/21(月) 13:51:09.48 ID:zqnQwMkT.net]
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- 396 名前：￥ mailto:sage [2017/08/21(月) 13:51:26.46 ID:zqnQwMkT.net]
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- 397 名前：￥ mailto:sage [2017/08/21(月) 13:51:41.32 ID:zqnQwMkT.net]
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- 398 名前：￥ mailto:sage [2017/08/21(月) 13:51:57.73 ID:zqnQwMkT.net]
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- 399 名前：￥ mailto:sage [2017/08/21(月) 13:52:14.08 ID:zqnQwMkT.net]
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- 400 名前：￥ mailto:sage [2017/08/21(月) 13:52:31.79 ID:zqnQwMkT.net]
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- 401 名前：￥ mailto:sage [2017/08/21(月) 13:52:49.15 ID:zqnQwMkT.net]
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- 402 名前：￥ mailto:sage [2017/08/21(月) 13:53:06.67 ID:zqnQwMkT.net]
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- 403 名前：￥ mailto:sage [2017/08/21(月) 13:53:23.79 ID:zqnQwMkT.net]
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- 404 名前：￥ mailto:sage [2017/08/21(月) 13:53:41.16 ID:zqnQwMkT.net]
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- 405 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/08/21(月) 18:04:12.14 ID:THxs4ELM.net]
- >>389を直接やるより多少簡単な方法があった
TからXへの連続写像全体の集合をY'とおき、Y'上の距離D'を
D'(f,g) = max_[t∈T] d(f(t),g(t))
により定めると、距離空間(Y',D')は第二可算公理を満たす。
>>389と同様にΛをとり、各λ∈Λに対して同相写像ψ_λを１つ定め、
Λ' = { ψ_λ∈Y' | λ∈Λ }
とおくと、Λ'⊂Y'は離散集合である。
ゆえに、Λ'は可算集合でなければならない □
特に★1にあたる部分が大幅に簡単になったお陰でようやく示すことができたから後で清書する予定。
あとは★2にあたる部分だけ
- 406 名前：￥ mailto:sage [2017/08/21(月) 18:39:36.99 ID:zqnQwMkT.net]
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- 407 名前：￥ mailto:sage [2017/08/21(月) 18:39:54.99 ID:zqnQwMkT.net]
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- 408 名前：￥ mailto:sage [2017/08/21(月) 18:40:10.83 ID:zqnQwMkT.net]
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- 409 名前：￥ mailto:sage [2017/08/21(月) 18:40:26.24 ID:zqnQwMkT.net]
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- 410 名前：￥ mailto:sage [2017/08/21(月) 18:40:42.63 ID:zqnQwMkT.net]
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- 411 名前：￥ mailto:sage [2017/08/21(月) 18:40:58.00 ID:zqnQwMkT.net]
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- 412 名前：￥ mailto:sage [2017/08/21(月) 18:41:14.53 ID:zqnQwMkT.net]
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- 413 名前：￥ mailto:sage [2017/08/21(月) 18:41:29.99 ID:zqnQwMkT.net]
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- 414 名前：￥ mailto:sage [2017/08/21(月) 18:41:47.00 ID:zqnQwMkT.net]
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- 415 名前：￥ mailto:sage [2017/08/21(月) 18:42:03.11 ID:zqnQwMkT.net]
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- 416 名前：216 mailto:sage [2017/08/23(水) 02:42:38.67 ID:/2bRMp5Z.net]
- >>216の(1)
1+2^a+2^(2a+1)=b^2
を満たす自然数の組
【解答】
(与式)
⇔2^a*(1+2^(a+1))=(b+1)(b-1) …★
b+1,b-1の偶奇は一致する。
左辺は偶数だから、b+1,b-1はともに偶数である。このとき、どちらか一方は4の倍数である。
よって左辺は8の倍数でありa≧3。
(i) b+1が偶数かつ4で割りきれない、b-1が4で割りきれるとき
b-1は2^(a-1)で割りきれて2^aで割りきれないから、b-1=2^(a-1)*m（mは奇数）とおける。
これを★に代入すると
2^a*(1+2^(a+1))=2^(2a-2)*m^2+2^a*m
⇔1+2^(a+1)=2^(a-2)*m^2+m
⇔1-m=2^(a-2)*(m^2-8)
m=1で左辺が0、右辺が負
m≧3で左辺が負、右辺が正
だから、これを満たす奇数mはない。
(ii) b+1が4で割りきれる、b-1が偶数かつ4で割りきれないとき
同様にb+1=2^(a-1)*mとおいて★に代入して整理すると
1+m=2^(a-2)*(m^2-8) …☆
∴1+m≧2*(m^2-8)
2m^2-m-17≦0を満たす奇数mはm=1,3
m=1で☆の左辺は2、右辺は7の倍数で不適
m=3で☆よりa=4、よってb=2^3*4-1=23
(a,b)=(4,23)は与式を満たす。
以上より、(a,b)=(4,23) ■
- 417 名前：216 mailto:sage [2017/08/23(水) 02:44:58.98 ID:/2bRMp5Z.net]
- b+1,b-1の素因数に含まれる2の数で分類している。
元の問題では全ての整数の組を求めさせていた。
明らかにa≧0とb≠0
a=0でb=±2
(a,b)が答えのとき(a,-b)も答えだから、a>0でb>0として以下同じ。
(a,b)=(0,2),(0,-2),(4,23),(4,-23) ■
出典：IMO2006-4
- 418 名前：￥ mailto:sage [2017/08/23(水) 04:45:08.78 ID:7o98x7xr.net]
- ￥
- 419 名前：￥ mailto:sage [2017/08/23(水) 04:45:25.52 ID:7o98x7xr.net]
- ￥
- 420 名前：￥ mailto:sage [2017/08/23(水) 04:45:43.40 ID:7o98x7xr.net]
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- 421 名前：￥ mailto:sage [2017/08/23(水) 04:46:00.05 ID:7o98x7xr.net]
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- 422 名前：￥ mailto:sage [2017/08/23(水) 04:46:17.01 ID:7o98x7xr.net]
- ￥
- 423 名前：￥ mailto:sage [2017/08/23(水) 04:46:34.48 ID:7o98x7xr.net]
- ￥
- 424 名前：￥ mailto:sage [2017/08/23(水) 04:46:51.14 ID:7o98x7xr.net]
- ￥
- 425 名前：￥ mailto:sage [2017/08/23(水) 04:47:09.16 ID:7o98x7xr.net]
- ￥
- 426 名前：￥ mailto:sage [2017/08/23(水) 04:47:26.63 ID:7o98x7xr.net]
- ￥
- 427 名前：￥ mailto:sage [2017/08/23(水) 04:47:43.15 ID:7o98x7xr.net]
- ￥
- 428 名前：１３２人目の素数さん [2017/08/23(水) 19:24:57.49 ID:UkFhzZzs.net]
- 相加・相乗平均の大小関係(a>0,b>0の時
(a+b)/2>=√(a×b))
を図を使
- 429 名前：って証明せよ []
- [ここ壊れてます]
- 430 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2017/08/23(水) 20:08:20.52 ID:2WLZ1Wh5.net]
-
- 431 名前：１３２人目の素数さん [2017/08/23(水) 20:21:30.48 ID:hpry1v4G.net]
- √a,√bの長さをもつ長方形の面積S=√(ab)
その対角線の長さは√(a+b)で三角形2つの面積を足し合わせれば
S≦1/2*(√(a+b)/2)*√(a+b)*2=(a+b)/2
(上の不等号は0＜x＜πのとき0＜sinx≦1による)
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