- 538 名前：１３２人目の素数さん [2017/04/08(土) 12:44:04.12 ID:W7WsQpBq.net]
- ↓の証明ですが、もっと簡単にできませんか？
M, N を距離空間 X の部分集合とする。
M ⊂ N ⇒ { M の触点} ⊂ { N の触点}
を証明せよ。
（証明）
x ∈ { M の触点} とする。
(1) x ∈ M の場合
x ∈ M ⊂ N ⊂ { N の触点}
である。
(2) x ∈ M でない場合
(2-1) x ∈ N の場合
x ∈ N ⊂ { N の触点}
である。
(2-2) x ∈ N でない場合
x ∈ { N の外点} = { N^C の内点} と仮定する。
N^C ⊂ M^C だから、 { N^C の内点} ⊂ { M^C の内点} = { M の外点}
よって、 x ∈ { M の外点} となり、 x ∈ { M の触点} という仮定と矛盾する。
したがって、 x ∈ { N の外点} ではない。
仮定により、 x ∈ N ではないから、
x ∈ { N に属さない N の境界点} ⊂ { N の触点}
である。
（証明終わり）
