- 489 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/12/18(日) 15:26:16.53 ID:reVBejB0.net]
- >>410
rを開区間 (-1,1) を動く実変数としよう。すると、 |r|＜1。だから、
lim_{r→+1-0}(Σ_{k=1,…,+∞}(-r)^{k-1})＝lim_{r→+1-0}(1/(1+r))＝1/2。
しかし、
Σ_{k=1,…,+∞}(lim_{r→+1-0}(-r)^{k-1})＝Σ_{k=1,…,+∞}(-1)^{k-1}
であって、Σ_{k=1,…,+∞}(-1)^{k-1} は発散級数で、その総和は意味のある和
の値を振り当てない限り値は定まらず振動するから、一般には
lim_{r→+1-0}(Σ_{k=1,…,+∞}(-r)^{k-1})≠Σ_{k=1,…,+∞}(lim_{r→+1-0}(-r)^{k-1})
になる。これは、極限と総和を取る順序を入れ替えることが出来ない一例になる。
