- 33 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2016/07/16(土) 06:14:55.60 ID:6gtR58FD.net]
- >>29 つづき
”任意の（有限）実数 a に対して -∞ ≦ a ≦ +∞ と置くことにより、実数直線 R における順序の拡張として、補完数直線 R は全順序集合になる。”
とある
一方、>>18 "上記の形で自然数について定式化された数学的帰納法は、任意の整列集合に対して次のように一般化することができる。"とある
だから、おそらくは、補完数直線 R についても、数学的帰納法は適用可能なのだ
が、一つ注意が必要だろう
いま、自分が考えている前提が、（通常の）実数なのか拡張実数なのか、適宜確認が必要だろう
下記では、”通常の実数は有限実数と呼んで区別する[1]”などとある
だが、有限実数の”有限”とは、集合の濃度のことではない。集合の濃度としては、連続無限だ
また、有限実数の範囲の自然数（つまり集合の元として無限大を除く）を取り出しても、自然数の濃度は可算無限（その集合の元に上限は無いという意味で無限）
ここも押さえておきたい。つまり、集合の濃度としての無限と、集合の元として無限大の区別もまた、意識しておく必要があると
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8B%A1%E5%A4%A7%E5%AE%9F%E6%95%B0
新しく付け加えられた元（無限大、無限遠点）は（通常の）実数ではないが、文脈によってはこれらを含めた全ての拡張実数を指して便宜的に「実数」と呼ぶこともあり、その場合通常の実数は有限実数と呼んで区別する[1]。
拡張実数の概念は、微分積分学や解析学（特に測度論と積分法）において種々の函数の極限についての記述を簡素化するのに有効である。
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