- 991 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/09/03(木) 09:49:29.65 ID:A/IUTQfu.net]
- (>>956の続き)
m＝(n－1)! とおくと、m＜n＋( (i_l)^2 /n )＋2i_l＜m＋1 だから、a＝m－nとおけば、
a＜( (i_l)^2 /n )＋2i_l＜a＋1 を得る。従って、an＜2n・i_l＋(i_l)^2＜(a＋1)n から、
n^2＋an ＜ n^2＋2n・i_l＋(i_l)^2 ＜ n^2＋(a＋1)n であって、k_l＝n＋i_lだから、
n^2＋an＜(k_l)^2＜n^2＋(a＋1)n である。従って、an＜(k_l)^2－n^2＜(a＋1)n となる。
(k_l)^2＞n^2であり、2つの整数an, (a＋1)nは両方共にnで割り切れるから、除法の原理より、
或るj_l＝1,…,n-1が存在して、(k_l)^2－n^2＝an＋j_l となる。従って、(n＋i_l)^2＝n^2＋an＋j_l
であり、両辺を整理すると 2n・i_l＋(i_l)^2＝an＋j_l となって、(2i_l－a)n＝j_l－(i_l)^2
を得る。よって、0≡j_l－(i_l)^2 (mod n) から (i_l)^2≡j_l (mod n) 。i_lは正整数なることから
(i_l)^2は正整数であり、更に正整数j_lは 1≦j_l＜n を満たすから、同様に(i_l)^2に対して
或る正整数b_lが存在して、(i_l)^2＝b_l・n＋j_l。これと③から、
n! ＜ n^2＋2n・i_l＋(b_l・n＋j_l) ＜ n!＋n
だから、(n－1)! ＜ n＋2i_l＋b_l＋(j_l /n) ＜ (n－1)!＋1 である。
n＞0と1≦j_l＜nとから 1/n≦j_l /n＜1 であって、n, i_l, b_l は何れも正整数なることから
n＋2i_l＋b_l は正整数だから、(n－1)!, (n－1)!＋1が連続した2つの正整数なることに注意して、
n＋2i_l＋b_l＋(j_l /n) の整数部分を考えると、(n－1)!＝n＋2i_l＋b_l である。
1か2のどちらかを取る添字lは任意だったから、2つの正整数k_1, k_2について
k_1＜k_2 なることに注意して、lを1か2のどちらか、かつ1か2のどちらか片方に限り取るように
任意に動かしつつ、上の議論と同様に考えて行った議論の要点を抽出すると、次のようになる
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